大學(xué)物理教案(第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué))

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)物理學(xué)是研究物質(zhì)最廣泛、最基本的運(yùn)動(dòng)形式的基本規(guī)律的一門學(xué)科,這些運(yùn)動(dòng)形式包含機(jī)械運(yùn)動(dòng)、分子熱運(yùn)動(dòng)、電磁運(yùn)動(dòng)、原子和原子核運(yùn)動(dòng)以及其余微觀粒子運(yùn)動(dòng)等。機(jī)械運(yùn)動(dòng)是這些運(yùn)動(dòng)中最簡單、最常有的運(yùn)動(dòng)形式,其基本形式有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。在平動(dòng)過程中,若物體內(nèi)各點(diǎn)的地點(diǎn)沒有相對(duì)變化,那么各點(diǎn)所挪動(dòng)的路徑完整同樣,可用物體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來代表整個(gè)物體的運(yùn)動(dòng),進(jìn)而可研究物體的地點(diǎn)隨時(shí)間而改變的狀況。在力學(xué)中,這部分內(nèi)容稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)。1．1參照系時(shí)間和空間的丈量1．參照系坐標(biāo)系一、參照系在自然界中全部的物體都在不斷地運(yùn)動(dòng),絕對(duì)靜止不動(dòng)的物體是沒有的。在察看一個(gè)物體的地點(diǎn)及地點(diǎn)的變化時(shí),總要選用其余物體作為標(biāo)準(zhǔn),選用的標(biāo)準(zhǔn)物不一樣,對(duì)物體運(yùn)動(dòng)狀況的描繪也就不同，這就是運(yùn)動(dòng)描繪的相對(duì)性。為描繪物體的運(yùn)動(dòng)而選的標(biāo)準(zhǔn)物叫做參照系。不一樣的參照系對(duì)同一物體運(yùn)動(dòng)狀況的描繪是不一樣的。所以,在敘述物體的運(yùn)動(dòng)狀況時(shí),一定指明是對(duì)什么參照系而言的。參照系的選擇是隨意的。在議論地面上物體的運(yùn)動(dòng)時(shí),往常選地球作為參照系。二、坐標(biāo)系：成立在參照系上的計(jì)算系統(tǒng)確立好參照系后，只好定性地描繪物體的運(yùn)動(dòng)狀況，為了定量地描繪運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即為了能給出物體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，則需在參照系中成立坐標(biāo)系。常用的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系，此外還有極坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系和柱面坐標(biāo)系。時(shí)間和空間1、時(shí)間：時(shí)間反應(yīng)物理事件的先后次序和連續(xù)性。2、空間反應(yīng)物體地點(diǎn)的變化和物體的大小。長度的丈量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的矢量描繪質(zhì)點(diǎn)物體都有大小和形狀,運(yùn)動(dòng)方式又都各不同樣。比如,太陽系中,行星除繞自己的軸線自轉(zhuǎn)外,還繞太陽公轉(zhuǎn)；從槍口射出的子彈,它在空中向前飛翔的同時(shí),還繞自己的軸轉(zhuǎn)動(dòng)；有些雙原子分子,除了分子的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)外,分子內(nèi)各個(gè)原子還在振動(dòng)。這些事實(shí)都說明,物體的運(yùn)動(dòng)狀況是十分復(fù)雜的。物體的大小、形狀、質(zhì)量也都是千差萬其余。假如我們研究某一物體的運(yùn)動(dòng),能夠忽視其大小和形狀,或許能夠只考慮其平動(dòng),那么,我們便可把物體看作是一個(gè)有必定質(zhì)量的點(diǎn),這樣的點(diǎn)往常叫做質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)是經(jīng)過科學(xué)抽象而形成的物理模型。把物體看作質(zhì)點(diǎn)是有條件的、相對(duì)的,而不是無條件的、絕對(duì)的,因此對(duì)詳細(xì)狀況要作詳細(xì)剖析。比如研究地球繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)，因?yàn)榈厍蛑撂柕木鶆蚓嚯x約為地球半徑的104倍,故地球上各點(diǎn)相關(guān)于太陽的運(yùn)動(dòng)能夠看作是同樣的,所以在研究地球公轉(zhuǎn)時(shí)能夠把地球看作質(zhì)點(diǎn)?？墒?在研究地球上物體的運(yùn)動(dòng)狀況時(shí),就不可以再把地球看作質(zhì)點(diǎn)辦理了。應(yīng)該指出,把物體視為質(zhì)點(diǎn)這種抽象的研究方法,在實(shí)踐上和理論上都有重要意義的。當(dāng)我們所研究的運(yùn)動(dòng)物體不可以視為質(zhì)點(diǎn)時(shí),可把整個(gè)物體當(dāng)作是由很多質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的,弄清這些質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),能夠弄清楚整個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)。所以,研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是研究物體運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。地點(diǎn)矢量運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程一．地點(diǎn)矢量r描繪質(zhì)點(diǎn)在空間所處地點(diǎn)的矢量稱為地點(diǎn)矢量，一般為坐標(biāo)系的原點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)所在地點(diǎn)的矢量，地點(diǎn)矢量也稱為位矢或矢徑。在如右圖所示的直角坐標(biāo)系中，在時(shí)間t，質(zhì)點(diǎn)P在座標(biāo)系里的地點(diǎn)可用地點(diǎn)矢量r(t)來表示。地點(diǎn)矢量簡稱位矢，它是一個(gè)有向線段，其始端位于坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，尾端則與質(zhì)點(diǎn)P在時(shí)刻t的地點(diǎn)重合。從圖中能夠看出，位矢r在ox軸、oy軸和oz軸上的投影(即質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo))分別為x、y和z。所以，質(zhì)點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系中的地點(diǎn)，既能夠用位矢r來表示，也能夠用坐標(biāo)x、y和z來表示。那么位矢r亦可寫成rxiyjzk其值為rx2y2z2位矢r的方向余弦由下式確立cosxyzcosrcosrrr二、運(yùn)動(dòng)方程當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的位矢r是隨時(shí)間而變化的。所以，r是時(shí)間的函數(shù)，即rr(t)x(t)iy(t)jz(t)k上式叫做質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；而x(t)、y(t)和z(t)則是運(yùn)動(dòng)方程的重量式，從中消去參數(shù)t便獲得了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程,所以它們也是軌跡的參數(shù)方程。應(yīng)該指出,運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要任務(wù)之一就是找出各樣詳細(xì)運(yùn)動(dòng)所按照的運(yùn)動(dòng)方程。速度和加快度一、位移在如圖O-xy平面直角坐標(biāo)系中，有一質(zhì)點(diǎn)沿曲線從時(shí)刻t1的點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻t2的點(diǎn)B，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)O的位矢由rA變化到rB。顯然，在時(shí)間間隔tt2t1內(nèi)，位矢的長度和方向都發(fā)生了變化。我們將由開端點(diǎn)A指向終點(diǎn)B的有向線段AB稱為點(diǎn)A到點(diǎn)B的位移矢量，簡稱位移。位移AB反應(yīng)了質(zhì)點(diǎn)位矢的變化。如把AB寫作r，則質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)到點(diǎn)B的位移為rrBrA亦可寫成rrBrA(xBxA)i(yByA)j上式表示，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的位移等于在x軸和y軸上的位移矢量和。若質(zhì)點(diǎn)在三維空間運(yùn)動(dòng)，則在直角坐標(biāo)系Oxyz中其位移為rrBrA(xBxA)i(yByA)j(zB-zA)k應(yīng)該注意,位移是描繪質(zhì)點(diǎn)地點(diǎn)變化的物理量,它只表示地點(diǎn)變化的實(shí)質(zhì)成效,并不是質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)歷的行程。如在上圖中,曲線所示的路徑是質(zhì)點(diǎn)實(shí)質(zhì)運(yùn)動(dòng)的軌跡,軌跡的長度為質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)歷的行程,而位移則是r。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)一閉合路徑回到本來的開端地點(diǎn)時(shí),其位移為零,而行程則不為零。所以,質(zhì)點(diǎn)的位移和行程是兩個(gè)完整不一樣的觀點(diǎn)。只有在△t獲得很小的極限狀況下,位移的大小|r|才可視為與行程AB沒有差別。二、速度在力學(xué)中,若僅知道質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻的位矢,而不可以同時(shí)知道該質(zhì)點(diǎn)是靜仍是動(dòng),是動(dòng)又動(dòng)到什么程度,就不可以確立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。所以，還應(yīng)引入一物理量來描繪地點(diǎn)矢量隨時(shí)間的變化程度，這就是速度。1、均勻速度和均勻速率以下圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面上沿軌跡CABD曲線運(yùn)動(dòng)。在時(shí)刻t，它處于點(diǎn)A，其位矢為r1(t)。在時(shí)刻tt，它處于點(diǎn)B，其位矢為r2(tt)。在t時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的位移為rr2r1。在時(shí)間間隔內(nèi)的均勻速度v為r2r1rvtt均勻速度可寫成rxiyvtjvxivyjtt此中vx和vy是均勻速度v在Ox軸和Oy軸上的重量。說明：v與時(shí)間間隔(ttt)相對(duì)應(yīng)。均勻速率：v

st2、剎時(shí)速度和剎時(shí)速率當(dāng)t0時(shí)，均勻速度v的極限值叫做剎時(shí)速度(簡稱速度)，用v表示，有vlim

rdrt0tdt結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)的速度等于位矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)?；騰limxilimyjvxivyjt0tt0t此中vxdx,vydydtdtvx和vy是速度v在Ox軸和Oy軸上的重量，又稱為速度重量。顯然，vx和vy如以分別表示速度v在Ox軸和Oy上的分速度(注意:它們是分矢量!)，那么有vvxivyj上式亦能夠?qū)懗蓈vxvy速度v的方向與r在t0時(shí)的極限方向一致。當(dāng)t0時(shí)，r趨于和軌道相切，即與點(diǎn)A的切線重合。所以當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向就是沿該點(diǎn)曲線的切線方向。只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的位矢和速度同時(shí)被確準(zhǔn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)才被確知。所以位矢r和速度v是描繪質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的兩個(gè)物理量。這兩個(gè)物理量能夠從運(yùn)動(dòng)方程求出，所以知道了運(yùn)動(dòng)方程能夠確立質(zhì)點(diǎn)在隨意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。所以，歸納說來，運(yùn)動(dòng)學(xué)識(shí)題有兩類:一是由已知運(yùn)動(dòng)方程求解運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；另一是由已知運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求解運(yùn)動(dòng)方程。剎時(shí)速率：vlimsdstdtt0例：設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為r(t)x(t)iy(t)j1y(t)(1ms2)t22m此中x(t)(1ms)t2m，4求t3s時(shí)的速度。(2)作出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖。解這是已知運(yùn)動(dòng)方程求運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一類運(yùn)動(dòng)學(xué)識(shí)題，能夠經(jīng)過求導(dǎo)數(shù)的方法求出。由題意可得速度重量分別為vx

dx

1ms

1,vy

dy

(1ms

2)tdt

dt

2故t

3s時(shí)的速度重量為vx1ms1和vy1.5ms1于是t3s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度為v(1ms1)i(1.5ms1)j速度的值為v1.8ms1，速度v與x之間的夾角為1.5oarctg56.3由已知運(yùn)動(dòng)方程x(t)(1ms1)t2m,y(t)消去t可得軌跡方程三、加快度

(1ms-2)t22m4y(1m-1)x2x3m4并可作以下圖的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡圖上邊已經(jīng)指出，作為描繪質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的一個(gè)物理量，速度是一個(gè)矢量，所以，不論是速度的數(shù)值發(fā)生改變，仍是其方向發(fā)生改變，都表示速度發(fā)生了變化。為權(quán)衡速度的變化，我們將從曲線運(yùn)動(dòng)出發(fā)引出加快度的觀點(diǎn)。1、均勻加快度以下圖，設(shè)在時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)A，其速度為v1，在時(shí)刻tt，質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)B，其速度為v2，則在時(shí)間間隔t內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的速度增量為vv2v1，它在單位時(shí)間內(nèi)的速度增量即均勻加快度為vat2、剎時(shí)加快度avdv當(dāng)t0時(shí)，均勻加快度的極限值叫做剎時(shí)加快度，用limdt，a的方向是a表示，有t0tt0時(shí)v的極限方向，而a的數(shù)值是v/t的極限值。應(yīng)該注意，加快度a既反應(yīng)了速度方向的變化，也反應(yīng)了速度數(shù)值的變化。所以質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加快度方向其實(shí)不與速度方向同樣，即加快度方向不沿著曲線的切線方向。在曲線運(yùn)動(dòng)中，加快度的方向指向曲線的凹側(cè)。ad(vxivyj)加快度公式能夠?qū)懗蒬t即aaxiayjaxaydvxdvyax,ay此中dtdt例有一個(gè)球體在某液體中垂直著落，球體的初速度為v0(10ms1)j，它在液體中的加快度為1(1.0s)vj。問:(1)任一時(shí)刻t的球體的速度。(2)時(shí)刻t球體經(jīng)歷的行程有多長解：由題意知，球體作變速直線運(yùn)動(dòng)，加快度a的方向與球體的速度v的方向相反，由加快度的定義，有dv(1.0s1)vdtvdv1.0s1)t(dt得v0v0有vv0e(1.0s1)t上式表示，球體的速率v隨時(shí)間t的增加而減小。又由速度的定義，有vdyv0e(1.0s1)tydyv0te(1.0s1)tdtdt得00四、運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本問題運(yùn)動(dòng)學(xué)的問題一般分為兩大類:第一類問題是已知質(zhì)點(diǎn)的地點(diǎn)矢量r=r(t),而求質(zhì)點(diǎn)的速度和加快度,這種問題能夠經(jīng)過矢徑對(duì)時(shí)間的逐級(jí)微商獲得。比如圖2-13,長為l的細(xì)棒,在豎直平面內(nèi)沿墻角下滑,上端A下滑速度為勻速v。當(dāng)下端B離墻角距離為x(x<l)時(shí),B端水平速度和加快度多大解：成立以下圖的坐標(biāo)系

yA設(shè)A端離地高度為ylx2y2l2方程兩邊對(duì)t求導(dǎo)2xdx2ydy0dtdt

BOx

xdxydyyvdtxdtx圖2-13l2x2vxdxxdy/dt-ydx/dt22=vl加快度:dt2x23v2x例質(zhì)點(diǎn)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其速率2t,求：質(zhì)點(diǎn)隨意時(shí)刻的加快度aQanv24t2adv2RRdt解：a=4t2n+2teeR第二類問題是已知質(zhì)點(diǎn)的加快度或速度,而反過來求質(zhì)點(diǎn)的速度、地點(diǎn)及運(yùn)動(dòng)方程。第二類問題則是經(jīng)過對(duì)加快度或速度積分而獲得結(jié)果,積分常數(shù)要由問題給定的初始條件,如初始地點(diǎn)和初始速度來決定。例1-5.設(shè)某一質(zhì)點(diǎn)以初速度v0100i(m/s)作直線運(yùn)動(dòng),其加快度為a10.i(ms2)問：質(zhì)點(diǎn)在停止前運(yùn)動(dòng)的行程有多長v解：質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)自然坐標(biāo)系圓周運(yùn)動(dòng)一、自然坐標(biāo)系在右圖中，BAC為質(zhì)點(diǎn)軌跡，t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)P位于A點(diǎn)，et、en分別為A點(diǎn)切向及法向的單位矢量，以A為原點(diǎn)，et切向和en法向?yàn)樽鴺?biāo)軸，由此構(gòu)成的參照系為自然坐標(biāo)系（可推行到三維）二、圓周運(yùn)動(dòng)的切向加快度及法向加快度1、切向加快度如圖，質(zhì)點(diǎn)做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)速度vvet上式中，vv為速率。加快度為advdvetvdetdtdtdt上式中，第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率變化惹起的，方向與atdvetatetdt此中，dv

B,tdtetdsA,tdrO1）圖1-82）et共線，稱該項(xiàng)為切向加快度，記為（3）atat為加快度a的切向重量。

dt

（4）結(jié)論：切向加快度重量等于速率對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)2、法向加快度式2中，第二項(xiàng)是由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向改變?nèi)瞧鸬摹?/p>

。如圖，質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，有vv'ete'tdsAB因?yàn)閑tOA，e'tOB，所以et、e't夾角為d。dete'tetetdet當(dāng)d0時(shí)，有detetdd。det因?yàn)閐etet，所以det由A點(diǎn)指向圓心O，可有圖1-9detden式2中第二項(xiàng)為：detdenvdsv2vdtvenendtrdtr該項(xiàng)為矢量，其方向沿半徑指向圓心。稱此項(xiàng)為法向加快度，記為anv2enrv2大小為an，an是加快度的法向重量。r結(jié)論：法向加快度重量等于速率平方除以曲率半徑。3、總加快度aataatanatetanendvv2OA,tetenandtr大?。?v22圖1-10aat2an2dv（2-8）dtr方向：a與et夾角知足tg

anat相對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡依靠于察看者(即參照系)的例子是好多的。比如一個(gè)人站在作勻速直線運(yùn)動(dòng)的車上,豎直向上拋出一塊石子,車上的察看者看到石子豎直上漲并豎直著落。可是,站在地面上的另一人卻看到石子的運(yùn)動(dòng)軌跡為一拋物線。從這個(gè)例子能夠看出,石子的運(yùn)動(dòng)狀況依靠于參照系。在描繪物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，老是相對(duì)選定的參照系而言的。往常，我們選地面（或相關(guān)于地面靜止的物體作為參照系,可是有時(shí)為了方便起見，常常也改選相關(guān)于地面運(yùn)動(dòng)的物體作為參照系。因?yàn)閰⒄障档淖儞Q，就要考慮物體相關(guān)于不一樣參照系的運(yùn)動(dòng)及其互相關(guān)系，這就是相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題。以下圖，先選定一個(gè)基本參照系K（地面），如y'u果另一個(gè)參照系（車）相關(guān)于基本參照系K在運(yùn)動(dòng)，則y稱為運(yùn)動(dòng)參照系K'。設(shè)一運(yùn)動(dòng)物體（球）P在某一時(shí)