九年級數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座(二)函數(shù)動態(tài)與閱讀理解問題

掰椰螂

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第二十二講一次函數(shù)與反比例函數(shù)

例1.若/一=_2_=_J=r,則一次函數(shù))，=比+產(chǎn)的圖象必定經(jīng)過的象限是()

b+cc+aa+b

(A)第一、二象限(B)第一、二、三象限

(C)第二、三、四象限(D)第三、四象限

例2.如圖，點(diǎn)A,C都在函數(shù)y=?叵*>0)的圖象上，點(diǎn)B,

X

。都在x軸上，且使得△OAB,△BCO都是等邊三角形，則點(diǎn)。

的坐標(biāo)為.

例3.已知一次函數(shù)y=(a-l)x+a(。為整數(shù)且aWl)的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)分別

為A、B,且△048的面積是正整數(shù)，則。=.

例4.在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)>=丘+力(6工0的圖象與無軸、y軸的正半軸分

別交于A,B兩點(diǎn)，且使得aOAB的面積值等于|Q4|+|OB|+3.

(1)用6表示A；

(2)求△OAB面積的最小值.

1.華僑張老先生回高州市城區(qū)尋找祖居，手中只有一張舊高城廢墟的示意圖，由于歲月的

流逝，高城的面貌已全非，圖上標(biāo)注很多地方都模糊不清了，依稀可見高州粉塔坐標(biāo)為

A(3,-2),文筆嶺的坐標(biāo)為8(3,2),資料記載張先生的祖居坐標(biāo)為你能幫助

張先生找到他家的老屋嗎？請作圖說明。(要

求保留作圖痕跡，不用寫作法)

2.我市為了引長坡水庫的水到城區(qū)作生活用水，要鋪設(shè)引水管線。如圖8,已知MN為引

水工程某段設(shè)計(jì)路線，從M到N的走向?yàn)槟掀珫|30。，在M的南偏東60°方向有?村

莊A,以A為圓心，500m為半徑的圓形區(qū)域?yàn)榇迕窬幼〉姆秶ＨN上另一點(diǎn)B,

測得BA的方向?yàn)槟掀珫|75。，已知MB=W0m,

通過計(jì)算回答：如果不改變方向，引水路線是否

穿過該村莊？

3.已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(g,Ji+2),B(—1,73),C(c,2-c).

求a2+b2+c2—ab—be—ca的值.

4.（2010寧夏24.（8分）

2

如圖，己知：一次函數(shù)：y=—x+4的圖像與反比例函數(shù)：y=-(x>0)的圖像分別交于

x

4、8兩點(diǎn)，點(diǎn)M是一次函數(shù)圖像在第一象限部分上的任意一點(diǎn)，過M分別向x軸、y軸作垂

線，垂足分別為加卜Mz，設(shè)矩形MM的面積為Si;點(diǎn)N為反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn),

過N分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為Ni、N2,設(shè)矩形NMOM的面積為S2；

(1)若設(shè)點(diǎn)歷的坐標(biāo)為(x,y),請寫出Si關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x取何值時(shí)，&的最大值;

(2)觀察圖形，通過確定x的取值，試比較5、52的大小.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-8,3),B(—4,5)以及動點(diǎn)C(0,〃)、D(m,Q),當(dāng)四邊形

ABCD的周長最小時(shí)，求m、n的值。

6.(2010河北省)22.(本小題滿分9分)

如圖13,在直角坐標(biāo)系中，矩形0A8C的頂點(diǎn)。與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A,C分別在

坐標(biāo)軸匕頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,2).過點(diǎn)。(0,3)和E(6,0)的直線分別與4B,BC

交于點(diǎn)M,N.

(1)求直線DE的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若反比例函數(shù))，=竺(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)求該反比例函數(shù)的解析式，并通

過計(jì)算判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上；

(3)若反比例函數(shù)了=三(x>0)的圖象與有公共點(diǎn)，請直按寫出機(jī)的取值范圍.

第二十三講二次函數(shù)應(yīng)用題

1.（06黃岡課改21）我市英山縣某茶廠種植“春蕊牌”綠茶，由歷年來市場銷售行情知道,

從每年的3月25日起的180天內(nèi)，綠茶市場銷售單價(jià)y（元）與上市時(shí)間t（天）的關(guān)系可

以近似地用如圖①中的一條折線表示。綠茶的種植除了與氣候、種植技術(shù)有關(guān)外，其種

植的成本單價(jià)z（元）與上.市時(shí)間t（天）的關(guān)系可以近似地用如圖②的拋物線表示。

(1)直接寫出圖①中表示的市場銷售電價(jià)y（元）與上市時(shí)間t（天）（t>0）的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求出圖②中表示的種植成本單價(jià)z（元）與上市時(shí)間t（天）（t>0）的函數(shù)關(guān)系式;

(3)認(rèn)定市場銷售單價(jià)減去種植成本單價(jià)為純收益單價(jià)，問何時(shí)上市的綠茶純收益單

價(jià)最大？

（說明:市場銷售單價(jià)和種植成本單價(jià)的單位：元/500克。）

2.（06荊門25）某環(huán)保器材公司銷售一種市場需求較大的新型產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40

元，經(jīng)銷過程中測出銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系,每年銷

售該種產(chǎn)品的總開支以萬元）（不含進(jìn)價(jià)）與年銷量y（萬件）存在函數(shù)關(guān)系z=10y+425

（1）求了關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式；

（2）度寫出該公司銷售該種產(chǎn)品年獲利w（萬元）關(guān)于銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式;（年獲利=年

銷售總金額-年銷售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)-年總開支金額）當(dāng)銷售單價(jià)x為何值時(shí),年獲利最大?最大

值是多少？

（3）若公司希望該產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于57.5萬元，請你利用（2）小題中的函數(shù)圖象幫助

該公司確定這種產(chǎn)品的銷售單價(jià)的范圍.在此條件下要使產(chǎn)品的銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價(jià)

應(yīng)定為多少元？徵萬件）\

3?3'05A-9匕't（元）

3.（06荊州24）荊州市“建設(shè)社會主義新農(nóng)村”工作組到某縣大棚蔬菜生產(chǎn)基地指導(dǎo)菜農(nóng)

修建大棚種植蔬菜。通過調(diào)查得知：平均修建每公頃大棚要用支架、農(nóng)膜等材料費(fèi)2.7

萬元；購置滴灌設(shè)備，這項(xiàng)費(fèi)用（萬元）與大棚面積（公頃）的平方成正比，比例系數(shù)為09

另外每公頃種植蔬菜需種子、化肥、農(nóng)藥等開支0.3萬元。每公頃蔬菜年均可賣75萬

（1）基地的菜農(nóng)共修建大棚x（公頃），當(dāng)年收益（扣除修建和種植成本后）為），（萬元），寫

出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若某菜農(nóng)期望通過種植大棚蔬菜當(dāng)年獲得5萬元收益，工作組應(yīng)建議他修建多少

公頃大棚。（用分?jǐn)?shù)表示即可）

（3）除種子、化肥、農(nóng)藥投資只能當(dāng)年受益外，其它設(shè)施3年內(nèi)不需增加投資仍可繼

續(xù)使用。如果按3年計(jì)算，是否修建大棚面積越大收益越大？修建面積為多少時(shí)可

以得到最大收益？請幫工作組為基地修建大棚提一項(xiàng)合理化建議。

4.（06南京26）西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價(jià)格購進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價(jià)格出

售,每天可售出200千克.為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價(jià)銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種小型西瓜每降

價(jià)0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.該經(jīng)營戶要

想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低多少元？

5.（06湖北大綱卷27）

利達(dá)經(jīng)銷店為某工廠代銷?種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物

售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）。當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸。

該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每

下降10元時(shí)，月銷售量就會增加7.5噸。綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支

付廠家及其它費(fèi)用100元。

設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）。

（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；

（2）求出y與x的二次函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；

（3）請把（2）中的二次函數(shù)配方成丫=。（》-〃）2+憶的形式，并據(jù)此說明，該經(jīng)銷店要

獲得最大月利潤，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元；

（4）小靜說：“當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額也最大?！蹦阏J(rèn)為對嗎？請說明理由。

6.（江蘇省淮安市2006年中考題25）東方專賣店專銷某種品牌的計(jì)算器，進(jìn)價(jià)12元/只，

售價(jià)20元/只.為了促銷，專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價(jià)就降低0.10

元（例如.某人買20只計(jì)算器，于是每只降價(jià)0.10X（20-10）=1元，就可以按19元/只的

價(jià)格購買），但是最低價(jià)為16元/只.

（1）求顧客一次至少買多少只，才能以最低價(jià)購買？

（2）寫出當(dāng)一次購買x只時(shí)（x>10）,利潤y（元）與購買量x（只）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）有一天，一位顧客買了46只，另一位顧客買了50只，專實(shí)店發(fā)現(xiàn)賣了50只反而比賣

46只賺的錢少，為了使每次賣的多賺錢也多，在其他促銷條件不變的情況下,最低價(jià)16

元/只至少要提高到多少?為什么？

7、（06陜西課改25）

王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長為60cm的正方形板子；另一塊是上底為

30CM,下底為120cm,高為60cm的直角梯形板子（如圖①），王師傅想將這兩塊板

子裁成兩塊全等的矩形板材。他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與

正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCDE圍成的區(qū)域（如圖②），|||

于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)。

（1）求FC的長；

（2）利用圖②求出矩形頂點(diǎn)B■對的項(xiàng)點(diǎn)到BC邊的距離x（cm）為多少時(shí)，矩形的面積最大？

最大面積時(shí)多少？

（3）若想使裁出的矩形為正方形,試求出面積最大的正方形的邊長。

AED

NCG

（第25題國①）（第25題圖②）

8.某市種植某種綠色蔬菜，全部用來出口.為了擴(kuò)大出口規(guī)模，該市決定對這種蔬菜的種

植實(shí)行政府補(bǔ)貼，規(guī)定每種植-畝這種蔬菜一次性補(bǔ)貼菜農(nóng)若干元.經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù)y（畝）

與補(bǔ)貼數(shù)額x（元）之間大致滿足如圖1所示的一次函數(shù)關(guān)系.隨著補(bǔ)貼數(shù)額x的不斷增大,

出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收益z（元）會相應(yīng)降低，目.z與x之間也大致滿足如圖

2所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（I）在政府未出臺補(bǔ)貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？

（2）分別求出政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后，種植畝數(shù)y和每畝蔬菜的收益z與政府補(bǔ)貼數(shù)額x之

間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）要使全市這種蔬菜的總收益w（元）最大，政府應(yīng)將每畝補(bǔ)貼數(shù)額x定為多少？并求

出總收益卬的最大值.

9.（08山東濰坊）一家化工廠原來每月利潤為120萬元.從今年一月起安裝使用回收凈化設(shè)

備（安裝時(shí)間不計(jì)），一方面改善了環(huán)境，另一方面大大降低原料成本.據(jù)測算，使用回收

凈化設(shè)備后的1至x月（1W奚12）的利潤的月平均值卬（萬元）滿足卬=10x+90,

第2年的月利潤穩(wěn)定在第1年的第12個(gè)月的水平.

（1）設(shè)使用回收凈化設(shè)備后的1至x月（1〈茶12）的利潤和為y,寫出y關(guān)于x的函

數(shù)關(guān)系式，并求前幾個(gè)月的利潤和等于700萬元？

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，使用回收凈化設(shè)備后的1至X月的利潤和與不安裝回收凈化設(shè)備時(shí)X個(gè)

月的利潤和相等？

（3）求使用回收凈化設(shè)備后兩年的利潤總和.

10.（2010年連云港）25.（本題滿分10分）我市某工藝品廠生產(chǎn)?款工藝品.已知這款工

藝品的生產(chǎn)成本為每件60元.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該款工藝品每天的銷售量y（件）與售價(jià)

x（元）之間存在著如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.

售價(jià)x（元）…7090.??

銷售量M件）…30001000???

（利潤=（售價(jià)—成本價(jià)）X銷售量）

（1）求銷售量M件）與售價(jià)N元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）你認(rèn)為如何定價(jià)才能使工藝品廠每天獲得的利潤為40000元?

11.（2010湖北省荊門市）22.（本題滿分10分）某商店經(jīng)營一種小商品，進(jìn)價(jià)為2.5元，據(jù)市場

調(diào)查，銷售單價(jià)是13.5元時(shí)平均每天銷售量是500件，而銷售價(jià)每降低1元，平均每天就

可以多售出100件

（1）假定每件商品降價(jià)x元，商店每天銷售這種小商品的利潤是y元，請寫出y與x間的函

數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍.

（2）每件小商品銷售價(jià)是多少元時(shí)，商店每天銷售這種小商品的利潤最大？最大利潤是多

少？（注：銷售利潤=銷售收入一購進(jìn)成本）

12.（2010年泉州南安市）某公園有一個(gè)拋物線形狀的觀景拱橋ABC,其橫截面如圖所示,

1,

在圖中建立的宜角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=-—，+c且過頂點(diǎn)C（0,5）長

-20

度單位：m）

（1）直接寫出c的值；

（2）現(xiàn)因搞慶典活動，計(jì)劃沿拱橋的臺階表面鋪設(shè)?條寬度為1.5m的地毯，地毯的價(jià)格

為20元/m2,求購買地毯需多少元？

（3）在拱橋加固維修時(shí)，搭建的“腳手架”

為矩形EFGH（H、G分別在拋物線的左右

側(cè)上），并鋪設(shè)斜面EG已知矩形EFGH的

周長為27.5m,求斜面EG的傾斜角/GEF

的度數(shù).（精確到0.1°）

13.（2010山東德州）

為迎接第四屆世界太陽城大會，德州市把主要路段路燈更換為太陽能路燈.已知太陽能

路燈售價(jià)為5000元/個(gè)，目前兩個(gè)商家有此產(chǎn)品.甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超

過100個(gè)，按原價(jià)付款；若一次購買100個(gè)以上，且購買的個(gè)數(shù)每增加一個(gè)，其價(jià)格減少

10元，但太陽能路燈的售價(jià)不得低于3500元/個(gè).乙店一律按原價(jià)的80%銷售.現(xiàn)購買太

陽能路燈x個(gè)，如果全部在甲商家購買，則所需金額為力元；如果全部在乙商家購買，則

所需金額為元.

（1）分別求出力、＞2與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若市政府投資140萬元，最多能購買多少個(gè)太陽能路燈？

14.（2010年安徽）22.春節(jié)期間某水庫養(yǎng)殖場為適應(yīng)市場需求，連續(xù)用20天時(shí)間，采用每

天降低水位以減少捕撈成本的辦法，對水庫中某種鮮魚進(jìn)行捕撈、銷售。

九（1）班數(shù)學(xué)建模興趣小組根據(jù)調(diào)查，整理出第x天（lWx420且x為整數(shù)）的捕撈與

銷售的相關(guān)信息如下：

鮮魚銷售單價(jià)（元/kg）20

cX

單位捕撈成本（元/kg）5-T

捕撈量（kg）950-10x

⑴在此期間該養(yǎng)殖場每天的捕撈量與前一末的捕撈量相比是如何變化的？

⑵假定該養(yǎng)殖場每天捕撈和銷售的鮮魚沒有損失，且能在當(dāng)天全部售出，求第x天的收入y

（元）與x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式？（當(dāng)天收入=日銷售額一日捕撈成本）

試說明⑵中的函數(shù)y隨x的變化情況，并指出在第幾天），取得最大值，最大值是多少？

15.（2010河北?。?6.（本小題滿分12分）

某公司銷售一種新型節(jié)能產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備從國內(nèi)和國外兩種銷售方案中選擇一種進(jìn)行銷售.

若只在國內(nèi)銷售，銷售價(jià)格y（元/件）與月銷量x（件）的函數(shù)關(guān)系式為了=一擊什150,

成本為20元/件，無論銷售多少，福月還需支出廣告費(fèi)62500元，設(shè)月利潤為w■內(nèi)（元）

（利潤=銷售額-成本-廣告費(fèi)）.

若只在國外銷售，銷售價(jià)格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為。元/件（。為

常數(shù)，10WaW40）,當(dāng)月銷量為x（件）時(shí)，每月還需繳納」一￥元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤為

100

w夕卜阮）（利潤=銷售額-成本-附加費(fèi)）.

（1）當(dāng)戈二1000時(shí)，y=元/件，卬內(nèi)=元；

（2）分別求出卬內(nèi)，卬外與工間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫尢的取值范圍）;

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，在國內(nèi)銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國

內(nèi)銷售月利潤的最大值相同，求。的值；

（4）如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在國內(nèi)還

是在國外銷售才能使所獲月利潤較大？

16.（2010山東青島市）某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè).李明在政府的扶持下投資銷售一種

進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之

間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500.

（1）設(shè)李明每月獲得利潤為，/（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？

（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺燈的銷售單價(jià)不得高于32元，如果李明想要每月獲得

的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進(jìn)價(jià)X銷售量）

17.（2010?綿陽）23.如圖，八一廣場要設(shè)計(jì)一個(gè)矩形花壇，花壇的長、寬分別為200m、

120m,花壇中有一橫兩縱的通道，橫、縱通道的寬度分別為3xm、2xm.

（1）用代數(shù)式表示三條通道的總面積S；當(dāng)通道總面積為花壇總面積

的，L時(shí)，求橫、縱通道的寬分別是多少？

125

（2）如果花壇綠化造價(jià)為每平方米3元，通道總造價(jià)為3168x元，

那么橫、縱通道的寬分別為多少米時(shí)，花壇總造價(jià)最低？并求出最低造價(jià).

（以下數(shù)據(jù)可供參考：852=7225,862=7396,87?=7569）

18.（2009年重慶市江津區(qū)）某商場在銷售旺季臨近時(shí)，某品牌的童裝銷售價(jià)格呈上升趨勢,

假如這種童裝開始時(shí)的售價(jià)為每件20元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，從第6周開始，保

持每件30元的穩(wěn)定價(jià)格銷售，直到11周結(jié)束，該童裝不再銷售。

（1）請建立銷售價(jià)格y（元）與周次x之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）若該品牌童裝于進(jìn)貨當(dāng)周售完，且這種童裝每件進(jìn)價(jià)z（元）與周次x之間的關(guān)系為

Z=--（x-8）2+12,1WxW11,且x為整數(shù)，那么該品牌童裝在第幾周售出后，每

8

件獲得利潤最大？并求最大利潤為多少？

19.（2009武漢）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果

每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元）.設(shè)每件商品

的售價(jià)上漲x元（X為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你

直接寫出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤不低于2200元?

20.（2009年黃岡市）新星電子科技公司積極應(yīng)對2008年世界金融危機(jī)，及時(shí)調(diào)整投資方向，

瞄準(zhǔn)光伏產(chǎn)業(yè)，建成了太陽能光伏電池生產(chǎn)線.由于新產(chǎn)品開發(fā)初期成本高，且市場占有率

不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來，公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程

（公司對經(jīng)營的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次）.公司累積獲得的利潤y（萬元）與銷售

時(shí)間第“（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（即前x個(gè)月的利潤總和y與x之間的關(guān)系）對應(yīng)的點(diǎn)都

在如圖所示的圖象上.該圖象從左至右，依次是線段刃、曲線18和曲線寬；其中曲線48

為拋物線的一部分，點(diǎn)A為該拋物線的頂點(diǎn)，曲線比1為另一拋物線y=-5x2+205X-1230

的一部分，且點(diǎn)4B,C的橫坐標(biāo)分別為4,10,12

（1）求該公司累積獲得的利潤y（萬元）與時(shí)間第x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）直接寫出第x個(gè)月所獲得S（萬元）與時(shí)間月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫

出計(jì)算過程）；

（3）前12個(gè)月中，第幾個(gè)月該公司所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？

21、（2009年貴州省黔東南州）凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營業(yè)時(shí)間，每

間包房收包房費(fèi)100元時(shí)，包房便可全部租出；若每間包房收費(fèi)提高20元，則減少10間包

房租出，若每間包房收費(fèi)再提高20元，則再減少10間包房租出，以每次提高20元的這種

方法變化下去。

（1）設(shè)每間包房收費(fèi)提高x（元），則每間包房的收入為y,（元），但會減少yz間包房

租出，請分別寫出外、yz與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）為了投資少而利潤大，每間包房提高x（元）后，設(shè)酒店老板每天晚餐包房總收

入為y（元），請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出每間包房每天晚餐應(yīng)提高多少元可獲

得最大包房費(fèi)收入，并說明理由。

22、（2009年廣西南寧）如圖14,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長

180米，上下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩

條縱向甬道，各甬道的寬度相等.設(shè)甬道的寬為x米.

（1）用含x的式子表示橫向甬道的面積；

（2）當(dāng)三條甬道的面積是梯形面積的八分之一時(shí)，求甬道的寬；

（3）根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，甬道的寬不能超過6米.如果修建甬道的總費(fèi)用（萬元）與甬道的寬

度成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是5.7,花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元，那么當(dāng)

甬道的寬度為多少米時(shí)，所建花壇的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬元？

TT

圖14

23、（2009年鄂州）24、如圖所示.某校計(jì)劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進(jìn)行生態(tài)

環(huán)境改造.已知4ABC的邊BC長120米，高AD長80米。學(xué)校計(jì)劃將它分割成aAHG、

△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）。其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上.其余

兩個(gè)頂點(diǎn)H、G分別在邊AB、AC上。現(xiàn)計(jì)劃在AAHG上種草，每平方米投資6元；在4

BHE、4FCG上都種花，每平方米投資10元；在矩形EFGH上興建愛心魚池，每平方米投

資4元。

（1）當(dāng)FG長為多少米時(shí)，種草的面積與種花的面積相等？

⑵當(dāng)矩形EFGH的邊FG為多少米時(shí)，AABC空地改造總投資最小？最小值為多少？

24、（2009仆亞慶）某電視機(jī)生產(chǎn)廠家去年銷往農(nóng)村的某品牌電視機(jī)每臺的售價(jià)y（元）與

月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系y=-50x+2600,去年的月銷售量p（萬臺）與月份x之間成一

次函數(shù)關(guān)系，其中兩個(gè)月的銷售情況如下表：

月份1月5月

銷售量3.9萬臺4.3萬臺

（1）求該品牌電視機(jī)在去年哪個(gè)月銷往農(nóng)村的銷售金額最大？最大是多少？

（2）由于受國際金融危機(jī)的影響，今年1、2月份該品牌電視機(jī)銷往農(nóng)村的售價(jià)都比去年

12月份下降了加％，且每月的銷售量都比去年12月份下降了1.5m%.國家實(shí)施“家電下鄉(xiāng)”

政策，即對農(nóng)村家庭購買新的家電產(chǎn)品，國家按該產(chǎn)品售價(jià)的13%給予財(cái)政補(bǔ)貼.受此政

策的影響，今年3至5月份，該廠家銷往農(nóng)村的這種電視機(jī)在保持今年2月份的售價(jià)不變的

情況下，平均每月的銷售量比今年2月份增加了1.5萬臺.若今年3至5月份國家對這種電

視機(jī)的銷售共給予了財(cái)政補(bǔ)貼936萬元，求機(jī)的值（保留一位小數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：734^5.831,后心5.916,病心6.083,后Q6.164）

25.（2009年湖北荊州）由了國家重點(diǎn)扶持節(jié)能環(huán)保產(chǎn)業(yè)，某種節(jié)能產(chǎn)品的銷售市場逐漸回

暖.某經(jīng)銷商銷售這種產(chǎn)品，年初與生產(chǎn)廠家簽訂了一份進(jìn)貨合同，約定一年內(nèi)進(jìn)價(jià)為0.1

萬元/臺，并預(yù)付了5萬元押金。他計(jì)劃一年內(nèi)要達(dá)到一定的銷售量，且完成此銷售量所用

的進(jìn)貨總金額加上押金控制在不低于34萬元，但不高于40萬元.若一年內(nèi)該產(chǎn)品的售價(jià)y

（萬元/臺）與月次x（1WXW12且為整數(shù)）滿足關(guān)系是式：

-0.05X+0.25（1<x<4）

y=<0.1（4<x<6）,一年后發(fā)現(xiàn)寒,每月的銷售量p（臺）與月次x之間存

0.015x+0.01（6<x<12）

在如圖所示的變化趨勢.

⑴直接寫出實(shí)際每月的銷售量p（臺）與月次x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵求前三個(gè)月中每月的實(shí)際銷售利潤VV（萬元）與月次X之間的函數(shù)關(guān)系式;

⑶試判斷全年哪一個(gè)月的的售價(jià)最高，并指出最高售價(jià)；

⑷請通過計(jì)算說明他這一年是否完成了年初計(jì)劃的銷售量.

26.（2009年茂名市）茂名石化乙烯廠某車間生產(chǎn)甲、乙兩種塑料的相關(guān)信息如下表，請你

解答下列問題：

價(jià)

品目出廠價(jià)成本價(jià)排污處理費(fèi)

種

甲種塑料2100（元/噸）800（元/噸）200（元/噸）

100（元/噸）

乙種塑料2400（元/噸）1100（元/噸）每月還需支付設(shè)備管理、

維護(hù)費(fèi)20000元

（1）設(shè)該車間每月生產(chǎn)甲、乙兩種塑料各x噸，利潤分別為乃元和以元，分別求％和

為與x的函數(shù)關(guān)系式（注：利潤=總收入-總支出）；（6分）

（2）已知該車間每月生產(chǎn)甲、乙兩種塑料均不超過400噸，若某月要生產(chǎn)甲、乙兩種塑

料共700噸，求該月生產(chǎn)甲、乙塑料各多少噸，獲得的總利潤最大？最大利潤是多

少？（4分）

第二十四講二次函數(shù)(1)

一.選擇題

1.設(shè)拋物線y=x?+kx+4與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(xi,0),(X2,0),則下列結(jié)論中，?定成立的是

().

22222222

(A)X1+X2=17(B)xi+x2=8(C)X1+X2<17(D)X1+x2>8

2.如圖，直線x=l是二次函數(shù)y=af+bx+c的圖象的對稱軸，則有()

(A)“+b+c>0(B)b>a+c

(C)abc<0(D)c>2b

3.已知x、y、z是三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足3x+2y+z=5,x+y-z=2,

若S=2x+y-z,則S的最大值與最小值的和為()

(A)5(B)6(C)7(D)8

4.(2009年齊齊哈爾市)已知二次函數(shù)>=。/+岳；+￡?(4*0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)

論：①ac>0；②方程辦2+/+,=0的兩根之和大于0；③y隨x的增大而增大；④

a-b+c<0,其中正確

的個(gè)數(shù)()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

5.(2009年鄂州)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖.則下列5個(gè)代數(shù)式:ac,a+b+c,

4a-2b+c,2a+b,2a-b中，其值大于0的個(gè)數(shù)為()

A.2B3C,4D、5

6.(2009年黃石市)已知二次函數(shù)丁=公2+法+。的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①

a+b+c<0；?a-b+c>1；?abc>0；@4a-2b+c<Q；⑤c-a〉l其中所有正確

結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③④C.①②③⑤D.①②③④⑤

7.（2009年蘭州）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+〃?和函數(shù)），=一〃吠2+2》+2（m是

常數(shù)，且〃?W0）的圖象可熊是

8.（2009湖北省荊門市）函數(shù)y=ax+ly=ax2+bx-\-1（a稅）的圖象可能是（）

A.B.C.D.

填空題

1.有一種產(chǎn)品的質(zhì)量要求從低到高分為1,2,3,4共四種不同的檔次.若工時(shí)不變，車間每

天可生產(chǎn)最低檔次（即第一檔次）的產(chǎn)品40件,生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤為16元;如果每提高一

個(gè)檔次,每件產(chǎn)品利潤可增加1元,但每天少生產(chǎn)2件產(chǎn)品.現(xiàn)在車間計(jì)劃只生產(chǎn)一種檔次

的產(chǎn)品.要使利潤最大,車間應(yīng)生產(chǎn)第種檔次的產(chǎn)品.

2.已知二次函數(shù)y=/+ax+匕的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為機(jī)，“，且

網(wǎng)+同Q.設(shè)滿足上述要求的匕的最大值和最小值分別為p,q,則|p|+,|=.

3.已知二次函數(shù)丁=。廠+桁+'的圖象與x軸交于點(diǎn)（-2,0）,（xl,0）,且與y

軸正半軸的交點(diǎn)在（0,2）的下方，下列結(jié)論：①a<b<0；②2a+c>0；③4a+c<0；?2a-b+l.其

中正確的結(jié)論是.（填寫序號）

4.已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（1,0）,（2,0）.若二次函數(shù)

了=/+（4—3）x+3的圖象

與線段AB恰有一個(gè)交點(diǎn)，則。的取值范圍

是________________

5.（2009年甘肅慶陽）圖12為二次函數(shù)的圖象，給出下列說法:

@ah<0；②方程ax?+Z>x+c=0的根為玉=-1,x2=3；@a+b+c>0；④當(dāng)x>l

時(shí)，y隨x值的增大而增大；⑤當(dāng)y>0時(shí)，-l<x<3.

其中，正確的說法有.（請寫出所有正確說法的序號）

6.（2009年包頭）已知二次函數(shù)y=+〃x+c的圖象與X軸交于點(diǎn)（一2,0）、（須,0）,且

1<X,<2,與），軸的正半軸的交點(diǎn)在（0,2）的下方.下列結(jié)論：①4a—26+c=0；②

a<b<0；③2a+c〉0；?2a-b+\>0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是個(gè).

2

7,（2009年蘭州）二次函數(shù)丁=耳犬2的圖象如圖時(shí)所示，點(diǎn)4位

于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，A2,A3，…，40G8在y軸的正半軸上，點(diǎn)

2

B「B2,B"…,B2no8在二次函數(shù)位于第一象限的圖

象上，

If△A[B2A2>△為員玲,，…，△A200782008AJoos

都為等邊三角形，則△的邊長=.

三.解答題

1.設(shè)二次函數(shù)y=ax?+/?x+c（a>0,c>1）,當(dāng)x=c時(shí)，y=0；當(dāng)0cxec時(shí)，y>0.

（1）請比較ac和1的大小，并說明理由；

abc

（2）當(dāng)x>0時(shí):求證：—+->0.

x+2x+1x

2.如圖11,已知二次函數(shù)y="x?+（〃+3）x+3（”<0）,

（1）求證：它的圖象與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）這拋物線與x軸交于兩點(diǎn)4陽,0）,8（彳2,0）（占<X2）,與y軸交于C,且

\ABh4,M過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，求扇形MAC的面積；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P.使PBD（PD垂直x軸于D）的面

積被直線BC分成2:3的兩部分？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由。

3.（本題滿分12分）

已知二次函數(shù)丁=aX？+云+°的圖象G和x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)A,與），軸的交點(diǎn)為

B（0,4）,且ac-b.

（1）求該二次函數(shù)的解析表達(dá)式；

（2）將一次函數(shù)y=-3x的圖象作適當(dāng)平移，使它經(jīng)過點(diǎn)4,記所得的圖象為L圖

象L與G的另一個(gè)交點(diǎn)為C,求AA8c的面積.

B

4.已知一次函數(shù)x=2x,二次函數(shù)），2=f+l,是否存在二次函數(shù)為="/+法+C,其圖

象經(jīng)過點(diǎn)（一5,2）,且對于任意實(shí)數(shù)x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值必，%，

%，都有/4%成立？若存在，求出函數(shù)為的解析式；若不存在，請說明理由。

5、已知A1、A］、A3是拋物線y=上的.二點(diǎn)，A［B］、A2B2、A3B3分別垂直于X軸，垂足

2

為Bi、B?、B3,直線A2B2交線段A1A3于點(diǎn)C.

（1）如圖18-1,若Ai、A］、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3,求線段CA2的長：

（2）如圖18-2,若將拋物線）‘=!工2改為拋物線y=L/-x+l，A］、A2>A3三點(diǎn)的橫坐

22

標(biāo)為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，求線段CA2的長；

（3）若將拋物線），=1/改為拋物線r+bx+c,AI、AHA3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整

-2'

數(shù)，其他條件不變，請猜想線段CA2的長（用4、h,C表示，并直接寫出答案）.

第二十五講二次函數(shù)(2.06-08)

1.如圖，二次函數(shù)y=——+(—+l)x+機(jī)(〃?<4)的圖象與X軸相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)、.

44

(1)求點(diǎn)A、8的坐標(biāo)(可用含字母機(jī)的代數(shù)式表示)：

(2)如果這個(gè)二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)丫=29的圖象相交于點(diǎn)C,且

x

NB4C的余弦值為之4，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

5

4.如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(Q,0)為圓心，以2百為半徑的圓與x軸交于B、

C兩點(diǎn)，與y軸交于D、E兩點(diǎn).

(1)求D點(diǎn)坐標(biāo).

(2)若B、C、D三點(diǎn)在拋物線y=a/+bx+c上，求這個(gè)拋物線的解析式.

(3)若。A的切線交x軸正半軸于點(diǎn)M,交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)N,切點(diǎn)為P,/OMN=30°,

試判斷直線MN是否經(jīng)過所求拋物線的頂點(diǎn)？說明理由.

y

6.已知：如圖1,直線y=kx+3(k>0)交x軸于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)A,以A點(diǎn)為圓心，AB為半

徑作(DA交x軸于另一點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，交直線AB于C點(diǎn)，連結(jié)BE、CF,ZCBD

的平分線交CE于點(diǎn)H.

(1)求證：BE=HE；

(2)若AHLCE,Q為晶上一點(diǎn)，連結(jié)DQ交y軸于T,連結(jié)BQ并延長交y軸于G,

求AT?AG的值；

（3）如圖2,P為線段AB上一動點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），連結(jié)PD交y軸于點(diǎn)M,過P、

3

M、B三點(diǎn)作。01交y軸于另一點(diǎn)N,設(shè)的半徑為R,當(dāng)k*時(shí)，給出下列兩個(gè)結(jié)論:

7.已知拋物線丁=。/一2以與直線/：y=ax（a〉0）的交點(diǎn)除了原點(diǎn)。外，還相交于另

一點(diǎn)A.

（1）分別求出這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)、點(diǎn)A的坐標(biāo)（可用含。的式子表示）；

（2）將拋物線y=”1一2辦沿著x軸對折（翻轉(zhuǎn)180。）后，得到的圖象叫做“新拋物線”,

則：

①當(dāng)a=1時(shí)，求這個(gè)“新拋物線”的解析式，并判斷這個(gè)“新拋物線”的頂點(diǎn)是否在

直線/上；

②在①的條件下，“新拋物線”上是否存在一點(diǎn)尸，使點(diǎn)尸到直線/的距離等于線段OA

的L

24

若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

8.如圖：直線y=x-2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,M

（t,0）是x軸上異于A的一點(diǎn)，以M為圓心且過點(diǎn)A

的圓記為。M.

(1)求證：直線AB將。M的周長分為1：3兩部分;

(2)若直線AB被OM所截得的弦長為2直，求t的值：

(3)若點(diǎn)N是。M上的一點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)3使得四邊形ABMN為平行四邊形？若存在,

求出t的值，并寫出N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

9.如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1),矢彤CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，D、E在x軸

上，CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)如圖2,若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn)，連結(jié)PB并延長交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P、Q

分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R.

①求證：PB=PS；

②判斷ASBR的形狀；

③試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M

為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

10.如圖15,點(diǎn)P在y軸上，P交x軸于A,8兩點(diǎn)，連結(jié)8P并延長交P于C,過點(diǎn)

C的直線y=2x+6交x軸于。，且尸的半徑為括，AB=4.

(1)求點(diǎn)8PC的坐標(biāo)；

(2)求證：CD是P的切線；

(3)若二次函數(shù)y=—/+(4+1)%+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)6,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫

出使二次函數(shù)值小于一次函數(shù)y=2x+b值的x的取值范圍.

11.已知拋物線y=x2+(2n-l)x+n2-l(n為常數(shù)).

(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，求出它所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個(gè)動點(diǎn)，過A作x軸

的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D,再作ABLx軸于B,DCLx軸于C.

①當(dāng)BC=1時(shí)，求矩形ABCD的周長；

②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)A

點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由

12.如圖16,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15,邊0A比0C大2.E為BC

的中點(diǎn)，以0E為直徑的。0'交X軸于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DFLAE于點(diǎn)F.

(1)求0A、0C的長；

(2)求證：DF為。0'的切線；

(3)小明在解答本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)AAOE是等腰三角形.由此，他斷定：“直線BC上一定存

在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P,使aAOP也是等腰三角形，且點(diǎn)P一定在。0'外你同意他的看

法嗎？請會分說明理由.fy

DA

圖16

13.如圖①、②、③是兩個(gè)半徑都等于2的。。1和。。2,由事令皆事沿水平方向運(yùn)動到巨型

外切過程中的三個(gè)位置，(D0|和。。2相交于A、B兩點(diǎn)，分別連結(jié)。血、。氏QA、

O2B和48。

(1)如圖②，當(dāng)4。出=120°時(shí),求兩圓事聾即分圖形的周長/；(4分)

(2)設(shè)乙4。6的度數(shù)為x,兩圓事簟即?圖形的周長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,

并寫出自變量x的取值范圍；(4分)

(3)由(2),若y=2x,則線段02A所在的直線與。01有何位置關(guān)系？為什么？除此之

外，它們還有其它的位置關(guān)系，寫出其它位置關(guān)系時(shí)x的取值范圍。(4分)

第26題圖①

14.圖，點(diǎn)A在Y軸上，點(diǎn)B在X軸上，且0A=0B=l,經(jīng)過原點(diǎn)0的直線L交線段AB于

點(diǎn)C,過C作0C的垂線，與直線X=1相交于點(diǎn)P,現(xiàn)將直線L繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A

向B運(yùn)動，但C點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長為t,分析此圖后，對下列問題作出探究:

(1)當(dāng)△AOC和4BCP全等時(shí)，求出t的值。

(2)通過動手測量線段0C和CP的長來判斷它們之間的大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論。

(3)①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(l,b)，試寫出b關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式和變量t的取值范圍。

②求出當(dāng)4PBC為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

15.已知點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(0,1),(0,-1),點(diǎn)尸是拋物線