家庭耗電量的回歸分析

課程設(shè)計(jì)論文學(xué)院：理學(xué)院專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)課程名稱數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)題目家庭耗電量的回歸分析學(xué)生姓名學(xué)生姓名學(xué)生姓名學(xué)生姓名孫靜學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)指導(dǎo)教師王鵬喬志琴2011年6月學(xué)生姓名學(xué)生姓名學(xué)生姓名學(xué)生姓名摘要家庭耗電量的回歸分析摘要隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，電力資源已經(jīng)深入到了生活的方方面面。如何控制好電力資源的合理使用，成為人們?nèi)找骊P(guān)注的焦點(diǎn)。這樣即可以做到資源的節(jié)約利用，同時(shí)又能節(jié)省開支。本文擬在用多元線性回歸的方法研究對于一般家庭中，耗電量（KWH）與空調(diào)的使用小時(shí)數(shù)（AC）和烘干機(jī)的使用次數(shù)（DRYER）之間的關(guān)系。通過對問題的分析，建立多元的線性回歸模型，并利用MATLAB軟件進(jìn)行求解，得到最終的結(jié)論，并對結(jié)果作出相應(yīng)的分析，以及模型的推廣應(yīng)用。多元線性回歸模型，不僅僅可以解決生活中的一些實(shí)際問題，而且，對于一些大型的企業(yè)而言，對于以往生產(chǎn)周期收集來的數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分析處理，不僅可以幫助企業(yè)對將來的的生產(chǎn)銷售做出理性的判斷還可以幫助企業(yè)制定合理的生產(chǎn)方案，實(shí)現(xiàn)利潤的最大化。關(guān)鍵詞：線性模型，回歸分析，殘差分析目錄TOC\o"1-5"\h\z摘要I目錄II主要符號(hào)表II\o"CurrentDocument"1引言一問題重述與分析11.1問題的重述11.2問題的分析1\o"CurrentDocument"2模型假設(shè)2\o"CurrentDocument"3問題分析與建模2\o"CurrentDocument"4模型求解3\o"CurrentDocument"5結(jié)果分析6\o"CurrentDocument"6模型推廣6附錄6\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn)76——用以表示回歸方程中的常數(shù)項(xiàng)6——表示回歸方程中變量x1的系數(shù)6——表示回歸方程中變量x2的系數(shù)表示隨機(jī)誤差向量表示耗電量x1——表示空調(diào)的使用小時(shí)數(shù)x2——表示烘干機(jī)的使用次數(shù)為回歸檢驗(yàn)的顯著性水平主要符號(hào)表1引言一問題重述與分析1.1問題重述隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，電力資源已經(jīng)深入到了生活的方方面面。如何控制好電力資源的合理使用，成為人們?nèi)找骊P(guān)注的焦點(diǎn)。這樣即可以做到資源的節(jié)約利用，同時(shí)又能節(jié)省開支。本文擬在用多元線性回歸的方法研究對于一般家庭中，耗電量（KWH）與空調(diào)的使用小時(shí)數(shù)（AC）和烘干機(jī)的使用次數(shù)（DRYER）之間的關(guān)系（數(shù)據(jù)見下表1）。目前，解決線性回歸問題的主要知識(shí)用到數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)模型的相關(guān)知識(shí)，本文擬先畫出因變量與各自變量之間的關(guān)系圖，通過散點(diǎn)圖對單個(gè)變量的模型做出初步的假設(shè)，并畫出其殘差分布圖，最后綜合各變量的共同作用，得到多元的線性回歸模型。通過殘差分布圖的分析對模型進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化處理，最終得到最優(yōu)的模型。1.2問題分析某人記錄了21天每天使用空調(diào)器的時(shí)間和使用烘干器的次數(shù)，并監(jiān)視電表以計(jì)算出每天的耗電量，數(shù)據(jù)見下表，試研究耗電量（KWH）與空調(diào)器使用的小時(shí)數(shù)（AC）和烘干器使用次數(shù)（DRYER）之間的關(guān)系，建立并檢驗(yàn)回歸模型，診斷是否有異常點(diǎn)。表一:序號(hào)1234567891011KWH3563661794799366948278AC1.54.5528.5613.5812.586.5DRYER12203311123序號(hào)12131415161718192021KWH65777562854357336533AC8.07.58.07.512.06.02.55.07.56.0DRYER1221103010

2模型假設(shè)假設(shè)電表的工作正常，所有的數(shù)據(jù)都是實(shí)際情況的反映電表在記錄用電量時(shí)，只有空調(diào)或烘干機(jī)在使用，再無其他的用電器工作設(shè)耗電量用j表示，空調(diào)使用小時(shí)數(shù)用七表示，烘干機(jī)使用次數(shù)用^2表示假設(shè)隨機(jī)變量e是獨(dú)立同正態(tài)分布的隨機(jī)變量3問題分析與建模為了大致的了解j與X］之間的關(guān)系，首先對給出的數(shù)據(jù)做出兩者之間的散點(diǎn)圖:100100908070量60變50100100908070量60變50403020變量y與變量xi之間的關(guān)系510變量xi15由以上的圖形可以知道變量J與X］大致呈線性關(guān)系，圖中的直線是用線性模型:J=P+PX+8（模型一）011擬合的（其中8是隨機(jī)誤差）.同樣，我們畫出了變量J與變量工2之間的關(guān)系圖：12010080量60變40200變量y與變量x2之間的關(guān)系1512010080量60變40200變量y與變量x2之間的關(guān)系1500.544.51.522.533.5變量x2y=P+P%+8（模型二）同理其中8為隨機(jī)變量。綜合以上的分析，考慮到兩個(gè)變量的共同作用，結(jié)合模型一、二建立如下回歸模型：y=P+P%+P%+8（模型三）TOC\o"1-5"\h\z01122模型三中右端的變量%和%稱為回歸變量（自變量），P+P%+P%是給定變量1201122%和變量%時(shí)變量y的平均值，其中參數(shù)P、P、P稱為回歸系數(shù)。由已知數(shù)據(jù)12012可知影響'的其它因素作用都包含在隨機(jī)變量8中，如果模型選擇的合適，8應(yīng)大致服從均值為0的正態(tài)分布。4模型求解對于上述問題，可以直接利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱的命令regress求解，使用格式為：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)其中，輸入y為模型三中y的數(shù)據(jù)，x為對應(yīng)回歸系數(shù)'="o,'1，'a'的數(shù)據(jù)矩陣rint為r的置信區(qū)間，stats為回歸模型的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其輸出結(jié)果有三個(gè)值第一個(gè)是回歸方程的決定系數(shù)R2，第二個(gè)為F統(tǒng)計(jì)量值，第三個(gè)是與統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的概率值P利用MATLAB編程并求出相應(yīng)的結(jié)果(程序見附錄)表一：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間P08.085[3.171112.9899]P15.4654[4.90996.0192]P213.1131[11.416914.8093]R2=0.9741F=338.6740P<0.0001為了便于了解模型的可行性，可以畫出殘差向量的分布圖:105Residuals0-5-102105Residuals0-5-102468101214161820CaseNumberRoeirliiqIfiocoCrHarPint由殘差的分布圖可知，殘差基本上是服從均值為0的正態(tài)分布，但是有一個(gè)異常值，第21個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，因此，去掉異常值后重新進(jìn)行回歸分析（方法與上類似）得到新的結(jié)果：表二：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間P09.7651[5.296714.2334]P15.4149[4.93155.8982]P212.4844[10.929014.0397]R2R=0.9794F=404.6498P<0.0001殘差向量的分布圖:TOC\o"1-5"\h\zResidualCaseOrderPlot

IIIIIIIIIII10■T-8一-6■TTT-4-T'2-TTT■Residuals0J_...."21」--4__-6-----8]1|11j--10「-2468101214161820CaseNumber由該殘差的分布圖可以知道，殘差基本分布在0附近，所以可以認(rèn)為誤差的正態(tài)性假設(shè)是合理的，所選的模型是合理的。5結(jié)果分析:由表一可知R2=0.9741指因變量J(耗電量)的97.41%可有模型確定，F(xiàn)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值，尸值又遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于a，從而整體是可用的，但有其殘差分布圖可知這組數(shù)據(jù)存在異常值(第21個(gè)數(shù)據(jù))故去掉異常值則模型還可以改進(jìn)。由表二可知R2=0.9794則因變量j的97.94%可有模型確定，F(xiàn)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值，尸值又遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于a。因此，相比而言由表二確定的模型是最優(yōu)的即：j=9.7651+5.4149尤+12.4844尤6模型的推廣：回歸模型可以廣泛的利用到生活的方方面面，其整體思想是利用統(tǒng)計(jì)得來的數(shù)據(jù)，利用一定的回歸模型找出數(shù)據(jù)間的關(guān)系，并對未來的生產(chǎn)決策作出合理的指導(dǎo)安排。尤其是對于一些大型的企業(yè)而言，對于以往生產(chǎn)周期收集來的數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分析處理，不僅可以幫助企業(yè)對將來的的生產(chǎn)銷售做出理性的判斷還可以幫助企業(yè)制定合理的生產(chǎn)方案，實(shí)現(xiàn)利潤的最大化。附錄：MATLAB源程序(1)如下：x1=[1.54.5528.5613.5812.586.587.787.51262.557.56.0]'x2=[122033111231221103010]'y=[356366179479936694827865777562854357336533]'x=[ones(21,1),x1,x2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)rcoplot(r,rint)MATLAB源程序(2)如下：x1=[1.54.5528.5613.5812.586.587.787.51262.557.5]'x2=[12203311123122110301]'y=