小學(xué)奧數(shù)講座抽屜原理二

抽屜原理（二）導(dǎo)言：這里介紹除最不巧原則之外的另一種思維來解答抽屜原理問題。先讓我們來做個試驗，把4個蘋果放在3個抽屜里，會出現(xiàn)什么情況？我們把這幾種情況分別表示出來： 4=4+0+0；4=3+1+0；4=2+2+0；4=2+1+1。觀察上面放蘋果的各種情況，我們發(fā)現(xiàn)，不管怎么放，總有一個抽屜里至少有2個蘋果。像這種現(xiàn)象，我們稱之為抽屜原理。它是由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷最早發(fā)現(xiàn)的，也稱之為狄利克雷原理。我們利用這一原理，可以解決生活中很多有趣但又覺得無從人手的問題。抽屜原理一 把n+1個蘋果放入n個抽屜中，則至少有一個抽屜至少放了兩個蘋果例1.任意13名同學(xué)中，必有2名同學(xué)出生在同一個月份，為什么？解析：把13名同學(xué)當(dāng)作13個蘋果，把一年12個月看作12個抽屜，13=12+1,根據(jù)抽屜原理一，至少有2名同學(xué)出生在同一個月份。這題我們也可以用最不巧原理來解答。出生月份只有1、2、、、、12月這12種情況，最不巧的是這13名同學(xué)中的12名同學(xué)的出生月份，分別是這12種情況，互不相同。但第13名同學(xué)肯定是12種情況中的一種，這樣，至少有2名同學(xué)出生在同一個月份中。例2.有紅、黃、藍(lán)、白4色的小球各10個，混合放在一個布袋里。一次摸出8個小球，其中至少有幾個小球的顏色是相同的。解析：把紅、黃、藍(lán)、白4色小球看作成4個抽屜，8個小球看作8個蘋果，因為8=4+4,根據(jù)抽屜原理一，至少有2個小球的顏色是相同的。例3.在長度是10厘米的線段上任意取11個點(diǎn)，試說明至少有2個點(diǎn)間的距離不大于1厘米？解析：把長度10厘米的線段分成10等份，那么每段長都是1厘米，我們把這樣的每段看成一個抽屜，共有10個抽屜。把11個點(diǎn)放入10個抽屜中，根據(jù)抽屜原理一，必有2個點(diǎn)放在同一個抽屜中，所以，至少有2個點(diǎn)間的距離不大于1厘米。例4.用紅、黃兩種顏色將下圖中的小方塊隨意涂色，每個小方格涂一種顏色，那么，必有兩列方格中所涂顏色完全相同。解析：每列中兩格所涂顏色有四種：紅紅、紅黃、黃紅、黃黃。將這4種涂色情況看成4個抽屜，5列看作5個“蘋果”，根據(jù)抽屜原理一，必有一個抽屜至少有兩個蘋果，即必有兩列涂色情況是完全相同的。從上面例題我們發(fā)現(xiàn)：利用抽屜原理解題的基本思路和步驟是：①確定把什么當(dāng)作“抽屜”②確定把什么當(dāng)作“蘋果”③根據(jù)原理，說明理由，得出結(jié)論抽屜原理(二)：把mXn+R(R21)個蘋果放入n個抽屜，那么，必定有一個抽屜里有m+1個蘋果。比如49名同學(xué)中至少有幾位同學(xué)出生月份相同，可以把49名同學(xué)看作49個蘋果，一年12個月看成12個抽屜，因為49=4X12+1,若每個抽屜放一個蘋果還剩一個蘋果，即有個抽屜放了5個蘋果，因此，49人中至少有5人是同月出生。例5.某旅游團(tuán)一行50人，隨意瀏覽甲、乙、丙三地，至少有多少人瀏覽的地方完全相同？解析：50人是蘋果，那“抽屜”是誰？是這些人瀏覽三地的不同的可能。如果設(shè)去某地游覽記作1,不去記作0,某人游覽甲乙丙三地的情況有2義2義2=8（種），把這8種情況看作8個抽屜，根據(jù)抽屜原理（二），因為50=6義8+2,若每個抽屜放6個蘋果，還剩2個，那么，至少有一個抽屜放7個蘋果，即至少有7人游覽的方式完全相同。例6.在一副撲克牌中取牌，至少取多少張，才能保證其中必有3張牌的點(diǎn)數(shù)相同？解析：一副撲克牌54張，去掉大、小王外的52張中，共有13種點(diǎn)數(shù)，每種點(diǎn)數(shù)各有4張。把去掉大、小王后的52張牌，按點(diǎn)數(shù)分成13個抽屜，每個抽屜有4張牌，我們先按最不巧原則取牌，每個抽屜分別取2張，共取26張，然后取出大、小王，共28張，但如果你再任取一張，一定是13個抽屜里的一張，這樣，保證了某種點(diǎn)數(shù)至少有3張。例7.五年級一班有學(xué)生57人，每位同學(xué)中有《新華字典》、《成語詞典》、《作文詞典》三種工具書中的一種、兩種或三種。全班學(xué)生中有書情況相同的至少有幾人？解析：有書的情況共有3+3+1=7（種）情況，把這7種情況視為7個抽屜，把57人放入抽屜中，因為57=8X7+1,所以全班同學(xué)有書情況相同的至少有9人。例8.某班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具125件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會得到4件或4件以上的玩具？解析：把40人視為40個抽屜，把125件玩具視為蘋果數(shù)，放進(jìn)抽屜里，125=3X40+5,所到至少有人得到4件或以上的玩具哈?這題也可用最不巧原則來分析，不妨試試。例9.某班有小圖書庫，有詩歌、童話、小人書3類課外讀物，規(guī)定每位同學(xué)最多可以借閱兩種不同類型的書。問；至少有幾位同學(xué)來借閱圖書，才一定有兩位同學(xué)借閱的書的類型相同？解析：該班同學(xué)可以借閱一種書，也可以借閱兩種書，共有6種情況，把這6種情況視為6個抽屜，要想有一個抽屜至少有2人是同一情況，至少有6+1=7人來借閱圖書。例10.一副撲克牌，共54張。問：至少從中摸出多少張牌才能保證至少有5張是方塊?解析：除掉大、小王這外，把方塊、紅桃、梅花、黑桃四色視為4個抽屜，每個抽屜有13張牌，最不巧的情況是13X3+2=41（張），即把除方塊之外的牌全摸出來了，但如果再摸5張牌，就可保證至少有5張方塊了。所以至少要摸41+5=46張牌例11.一次數(shù)學(xué)考試中，共有10道選擇題。評分辦法是：答對一題得3分，答錯一題倒扣1分，不答得0分。已知參加考試的學(xué)生中，至少有3人得分相同。參加考試的學(xué)生至少有多少人？解析：學(xué)生得分情況從-10分到30分不等，但不可能得29分、28分和25分，所以得分情況有41-3=38（種），把38種得分情況視為38個抽屜，至少要2X38+1=77人才能保證至少有3人得分相同。例12.有100個蘋果分給某班的小朋友，已知其中有人至少分到3個，那么，這個班的小朋友最少有多少人？解析：要想這個班