概率論基礎(chǔ)第1章1的基本概念

孫 學(xué)數(shù)學(xué) 隨機(jī)現(xiàn)象與統(tǒng)計(jì)例 盒子里有5個(gè)小球，已知2白3黑

正面(H)或 它的結(jié)果又具有某種規(guī)律，稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨機(jī)試 E2E3E4：從一副去掉大小王的 E5隨 常用大寫字母A，B，C等表示。 頻率的定 記nA是A發(fā)生的次數(shù)(又稱頻數(shù))；則 A發(fā)生的頻率為nF(A)=nn頻率的性(規(guī)范性

0≤Fn(A)≤1Fn( =1(有限可加A1，A2，…，AmFn(A1+A2+…+=Fn(A1)+Fn(A2)+···+Fn 概率的頻率1654年，Pascal 擲4次至少出現(xiàn)一次六點(diǎn)” 擲24次至少出現(xiàn)一次雙六 1933年Kolmogrov的概率公理化結(jié)構(gòu)。樣本空間樣本空間(sample集合稱為E的樣本空間，用符號(hào)來表示。結(jié)果稱為E的樣本點(diǎn)，用符號(hào)來表示。1：{THT，TTH，TTT E22：{0，1，2，3，······ E33：{t|t≥0 E4：從一副去掉大小王的 4：x,y|x4y是點(diǎn)數(shù)，1y13E55：{(x,y)|a≤x≤b，c≤y≤d(或無限)的區(qū)間；甚至還可以是二維12：0，1，2，3}E1的兩個(gè)樣本空間1與12哪一個(gè)更隨 (random 樣本空間的子集。一般用A、B、…表示。兩個(gè)特殊的隨 樣本空間(包含全部樣本點(diǎn))稱為必然 空集(不包含任何樣本點(diǎn))稱為不可 “發(fā)生可能性非常小 例 拋擲均勻硬幣三次，考慮隨A第一次出現(xiàn)的是正面HA的樣本點(diǎn)HHH，HHT，HTH，HTT反之，如果樣本點(diǎn){HHT}發(fā)生，則不僅表明 A={第一次是正面}發(fā)生了，同時(shí)隨B={第二次是正面}、C={第三次 }D={正面 多出現(xiàn)一次}、E={正 ABAB的包含關(guān)ABAB。AHHHB={H}，第一次是正面。AAAAB AHHHB={TTT}，三次都 特別的，與任意一 A互 考試中某同學(xué)有4個(gè)判斷題不會(huì)做，只能靠猜測(cè)。猜對(duì)的題數(shù)X是隨機(jī)的，0，1，2，3，4 A={X=0}，B={X=4}，C={X≥3BCBCACAB也不會(huì)相容。AB的和AB 記為A∪BA={HHH}，B={TTT}A∪BHHH，TTT特別的，對(duì)任意的隨 AA∪A=A，A∪=A，A∪=A、BA∪BAB的交AB A∩BA={H}，B={H}ABHH AA∩A=A，A∩=，A∩= 車的時(shí)間是隨機(jī)的。以T記 ：A={T≤5B={5＜T≤15}，C={T≤10 A、B、C的關(guān)系A(chǔ)B的差A(yù)B 記為A-B。A={HH}，B={T}ABHHHA-B=A- AA-=A，A-=，A-A=關(guān)于“關(guān)于“ A∪BA、B樣本點(diǎn)的并集ABA、B樣本點(diǎn)的交集ABA中去掉屬于B如果AB，則A-B是不可 (ABBA∪BAAAAA AAAAB如A={HHH，TTT}，則A的對(duì)立 TTH} A

A

A包含樣本點(diǎn)AABA發(fā)生將導(dǎo)致BAB=A、BA、BA、BA、BA-A發(fā)生而BAA 同時(shí)也滿足DeMorgan(德 ABAB ABA交換 A∪B=B∪A，AB=BA (A∪B)∪C=A∪(B∪C(A∩B)∩C=分配律A∪(B∩CA∩(B∪CA∩B)∪(A∩C) … ={A1∪A2∪…∪An

={A1∩A2∩…∩An例

={第一次是正面=A2={三次都是同一面 A1∪A2，A1A2，A2A1，A1∩A2，A1A2解.={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}={HHH，HHT，HTH，HTT，TTTA1-={HHT，HTH，HTTA2-={TTT={HHHA1={THH，THT，TTH□例1.2.5把A∪B分解成互不相容 BBA解 A∪B=(A-B)+AB+(B-A) A∪BABA□ A、B、C是三個(gè)隨機(jī) ABCA-BCAB∪CABCABABCA、B、C ABABCABCABABCABC ABCABCABCABCABCABC ABCABCABC ABCABCABCAB

ABCABCABCABCABCABC□kpk，這些pk稱為樣本點(diǎn)k的概率可以把樣本空間的全部子集取為隨機(jī)，每個(gè)隨機(jī)發(fā)生的概率就是它包含的樣本點(diǎn)習(xí)題2- 562、4、6古典概率模P(A)練習(xí)拋均勻硬幣三次，計(jì)算P}THH，THT，TTH，TTTP(A3/82：{0，1，2，3}，因此P(A)=1/4 加法原理與乘法原AB兩類不同方式AnBmn+m

+云+

.2+4+3=9AB兩個(gè)不同步驟，AnB包含m種不同的方法。nm

+云

線路一共有9(3+2)條?；九帕薪Mnr(1≤r≤n)nr()P =n(n-1)…(n-r+1)= (n-r)26個(gè)英文字母中任取22

=2625650nr個(gè)出來排成有順序的一列(即取出的這些元素可以相同)。所有不同的排列方式一共有nn…n=r 是8位數(shù)字，那么理論上這個(gè)城市可以容納108，即一億 有313種可能等等。nr(rn)構(gòu)成一個(gè)集合，稱為nrCnrn C == r!(n-r) r Cr=

n–

，C0=Cn=1(x+y =

[Cr yn–r r= nk個(gè)部分，各個(gè)部分包含的元素個(gè)數(shù)分別是：r1，r2，…，rk； = r1r2… 例如把52張 牌平均分給4個(gè)人，每人13張，則所有不同的分配方案有：nr個(gè)構(gòu)成一個(gè)集合，稱為nr的可重復(fù)組合。n+r-1rx1+x2+…+xn= = k

- =(-k=

- = 的10張100元 中有3張 現(xiàn)在從中隨機(jī)抽出4張。則所有不同的取法 210 4C0C4

4!

35 的概率是5/6 在N件產(chǎn)品中有M件次品，分別采取n件產(chǎn)品，求恰好取出了k件次品的概率。(有放回抽樣的情況Nn個(gè)。Ckk個(gè)次品MkNM件合格品n-k件(N-Mn-k Ck(M)k(1M)nk 0k (無放回抽樣的情況從Nn件產(chǎn)品的所有二項(xiàng)組合方式；樣本點(diǎn)的總數(shù)一共有CNn個(gè)；NNM件合格品n-k件CN-Mn-k

Ck CnCn NM 0kmin(n,MCnNMMkCM 1~3577

=5:2=

5

4:3=

4

3:4=

3

把n個(gè)小球隨機(jī)放進(jìn)N(n≤N)個(gè)盒里，即每個(gè)小球都以同樣概率1/N落入某個(gè)盒中。解.N個(gè)盒中的任何一個(gè)，因此樣本空間中包含的樣本點(diǎn)總數(shù)有Nn個(gè)；PNnp N n(n365)個(gè)人，那么至少有兩個(gè)人 p=1-365np 假定盒中有a個(gè)黑球與b個(gè)白球，a+b個(gè)人依次各取走一個(gè)小球，問第k個(gè)人(1≤k≤a+b)取到的是黑球的概率是多少？解法一.把小球編號(hào)，以全部抽取的順序構(gòu)造(a+b)!；第k個(gè)人取到黑球，有a

=a+解法二.假定黑球之間不可辨，白球之間也a+ pk

a

=□ P(A)1P(例1.3.6(德 擲4次至少 擲24次至少得到解.“一顆 擲4次”一共有64種可能情況，其中“一個(gè)六點(diǎn)都沒有出現(xiàn)”包含了54種；因此一顆拋4次至少一個(gè)六點(diǎn)的概率為：5 =1

0.5177 擲24次”一共有3624種可能，其中“一個(gè)雙六都沒有出現(xiàn)”包含了3524種；因此兩顆拋24次至少一個(gè)雙六的概率為： =1

4練習(xí) 例1.3.8盒子中有N-1個(gè)黑球與1個(gè)白球，每次計(jì)算第k次取球時(shí)取到黑球(Ak)的概率。解.Ak的對(duì)立表示“第k次取時(shí)取到的是白球”k-1次都P(Ak)

(N1)k1N 習(xí)題1- 57 、、、 題幾何概率模P(A) 假設(shè)車站每隔10分鐘發(fā)一班車，隨機(jī)到達(dá)車站，問等車時(shí)間不超過3分鐘的概率？ 以兩班車出發(fā)間隔(0,10)區(qū)間作為樣本空間，乘客隨機(jī)地到達(dá)，即在這個(gè)長(zhǎng)度是10的區(qū)間里任何一個(gè)點(diǎn)都是等可能地發(fā)生，3分鐘，即到達(dá)時(shí)刻應(yīng)該是A包含的樣本點(diǎn)，p=的長(zhǎng)=的長(zhǎng)

0← →=0.3 例 兩人相約7時(shí)到8時(shí)在公園見面，先到y(tǒng)解 以7點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)小時(shí)為單位。x，y分別表示兩人到達(dá)時(shí)間，(x,y)o

AA |xy|≤1/3p=的面1=5/9的面 練習(xí) 隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)問8小時(shí)內(nèi)隨機(jī)到達(dá)。顧客甲xyx1y<xy2例1.4.4(Buffon問題) 平面上充滿間距為a的平行線，任意投擲一根長(zhǎng)度l(la)的針，解y記針的中點(diǎn)到最近的線的距離，表示0≤y≤a/20≤≤。yayay≤2

yoA2yyoA2yp=的面

=的面 (1/2)

MonteMonte-例1.4.5(Bertrand奇論 在半徑1的圓內(nèi)任3取一條弦，則弦長(zhǎng)超 的概率有多少3解1.co解2co解3.□習(xí)題2- 5825、26、30概率空((，F(xiàn)，P(樣本空間)；由中的一些子集生成一代數(shù)F( 域，只有在這個(gè)F中的的 )；最后在這個(gè)F上定義域代數(shù)的定

AAn代數(shù)的基本性F,ABF,AB某些子集的生成斷添加子集從而得到所需要的代數(shù)?；蛘甙寻@些基本子集的全部代數(shù)做交運(yùn)算。Borel取R1(直線作為樣本空間)；由中的全體左閉右開區(qū)間[x,y)所生成的代數(shù)稱為Borel集類B1，B1中的元素稱為Borel集。{x}

[x,x1n

(x,y)[x,y){(,y)(n,如果取=Rn(n維Euclid空間作為樣本空間)；則類似定義由中的全體n維矩形所生成的代數(shù)，記為n維Borel集類Bn。當(dāng)討論的問題局限在R1上的某個(gè)區(qū)間，此時(shí)可以把的域取成它與B1的交。練習(xí)區(qū)間(x,y]所生成的代數(shù)”；或者是“直線上全部的半直線(-,y)所生成的代數(shù)”概率測(cè)E的樣本空間，F(xiàn)是上的一個(gè)域，定義在FP如滿足以下條件，則稱這個(gè)集合函數(shù)P為F上的概率測(cè)度，而對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)P(A)則被稱為是 非負(fù)：P(A)≥0，A P(1可列可加：Ak 并且兩兩不相容 P(Ak)P(Akk k概率的基本性 的概率為零：P()=0A1，AmP(A1+…+Am)=P(A1)+…+P(Am 概率的幾個(gè)重對(duì) 的概率，P(A)=1-P(A)減 ，P(B-A)=P(B)-P(AB)特別的，ABP(B-A)=P(B加 P(A∪B)P(AP(BP(AB。P(A∪B)P(A)+P(B)例 假定P(A)=0.6，P(B)=P(AB)P(AB)解.(1)A、B，P(AB)P(AB)≤min{P(A)，P(B)}AB時(shí)P(AB最大，最大值P(A(2)根據(jù)加 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)最大時(shí)，P(AB)A∪B時(shí)P(AB最小值等于P(AB)= 假定某學(xué)院新生共1000人都參加英語(yǔ)政治 從這1000個(gè)學(xué)生中隨機(jī)地選取一個(gè)，分別用A、B、C表示如下 ：A={數(shù)學(xué)及格}，B={英語(yǔ)及格}，C={政治及格}，需要計(jì)算的是概率P(A∩B∩C)。根據(jù)題意有：P(AP(B)=0.85,P(C)=0.94,P(AB)=P(AC)=0.69,P(BC)=0.81,P(ABC)=0.65 P(A∪B∪C)=0.99，因此隨機(jī)選擇一個(gè)P{ABC}1P(ABC) 例1.5.4(若干隨 nP(Ak)

P(AiAjnk k inP(AAA)...(1)n1P(A

...Aij

PAi1Ai2Aikf(n,knP(A)n

Ck

f(n,kk

nkn□例1.5.5(錯(cuò)排問題m個(gè)數(shù)(0≤m≤n)解.m=0P(Ai1Ai2Aik)=(n-k)!/n!；

k1(nk

k kA)k

Cn

k k

np0n

k k(1)k1kkn現(xiàn)在既然有m個(gè)排在原位，即首先確定究竟是哪m個(gè)整數(shù)(Cm種)，其次剩余的n-m個(gè)需要n1n1(n k kn個(gè)數(shù)中恰有m Cm n 1n

(n k k0 k m

(1)k k k□ (從)下連續(xù)AnFAnAn+1,n=1,2,…P(An)limP(An(從)上連續(xù)

nAnFAnAn+1,n=1,2,…P(An)limP(An

n下連續(xù)的證

=

=

An-1，n1 BnAn P(An)P(Bn)P(Bk)limP(Bk k nk P(Bk