【教案】第三章圓錐曲線的方程+總體設計高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

《圓錐曲線的方程》總體設計I總體設計解析幾何是數(shù)學發(fā)展過程中的標志性成果，是微積分創(chuàng)立的基礎.本章將在“直線和圓的方程”的基礎上，通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等，使學生了解圓錐曲線的背景與應用幫助學生在平面直角坐標系中，認識橢圓、雙曲線、拋物線的幾何特征，建立它們的標準方程；運用代數(shù)方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系；運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學思想；提升直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng).以上是《標準（2017年版）》對本章內容的總體定位，也是本章編寫的總體指導思想.一、本章學習目標1.了解圓錐曲線的實際背景，例如，行星運行軌道、拋物運動軌跡、探照燈的鏡面，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.3.了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質.4.通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結合的思想.5.了解橢圓、拋物線的簡單應用.6.了解解析幾何產(chǎn)生和發(fā)展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻.二、本章知識結構框圖三、內容安排首先，本章的研究對象是圓錐曲線（幾何圖形），研究過程中，數(shù)形結合思想和坐標法統(tǒng)領全局.教科書按橢圓、雙曲線、拋物線的順序安排了三節(jié)內容，三種圓錐曲線的研究內容、過程和方法是“同構”的，對每一種圓錐曲線都是按照“曲線的幾何特征—曲線的標準方程—通過方程研究曲線的性質—應用”的過程展開，在具體展開過程中，教科書把橢圓作為重點，強調它的典型示范作用，注重數(shù)學思想和基本方法的引領性，雙曲線、拋物線的研究通過類比橢圓來完成.第二，曲線與方程的關系（一種充要條件）是討論各種具體問題的基礎，與前一章內容的處理方式一樣，本章仍然采取在建立圓錐曲線的標準方程后，就著方程的建立過程討論“曲線上點的坐標都滿足方程”“以方程的解為坐標的點都在曲線上”.這樣處理，既不失科學性，又不讓學生感到過于抽象，可以使學生在潛移默化中體驗曲線與方程之間的一一對應關系，進一步理解通過方程研究曲線性質的合理性，使理性思維得到培養(yǎng).第三，圓錐曲線是高中解析幾何課程的重要內容，是平面幾何沒有涉及的.根據(jù)解析幾何的學科特點，教科書在對這些曲線的研究中都貫徹了“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標法解決”的策略.對于每一種圓錐曲線，都加強了概念的抽象過程，強調在探索、明確其幾何特征（主要是對稱性）的基礎上，再利用幾何特征建立坐標系、求出標準方程，然后通過方程、運用代數(shù)方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系，從而促進學生的直觀想象、數(shù)學運算等素養(yǎng)的發(fā)展.第四，圓錐曲線的統(tǒng)一定義表明三種曲線之間的內在聯(lián)系，是非常重要的，而“個性定義”的幾何特征非常突出，特別是，我們可以根據(jù)橢圓的定義方便地得到其圖形，通過直觀就能發(fā)現(xiàn)橢圓的基本特征—對稱性.因此，與以往的處理方式一樣，教科書以三種曲線的“個性特征”為明線，分別定義三種曲線同時，為了使學生能了解統(tǒng)一定義，教科書以“具體例子+拓展性素材”的方式進行滲透和明確，并在引出拋物線概念時進行適當歸納.第五，教科書雖然沒有明確給出求曲線的方程的一般步驟，但在求圓錐曲線的方程時進行了滲透：（1）建立適當?shù)淖鴺讼?用有序實數(shù)對表示曲線上任意一點的坐標;（2）寫出適合條件的點的集合;（3）用坐標表示條件,列出方程;（4）化方程為最簡形式;（5）說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.同時，通過“思考”“探究”等欄目，讓學生自己推出不同坐標系下的標準方程，達到既熟練推導過程又加強代數(shù)運算的訓練，并使學生把握標準方程的多樣性表示.第六，在研究圓錐曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率等性質時，教科書特別注意發(fā)揮“幾何圖形的性質指什么”“如何利用方程研究幾何圖形的性質”“先直觀感知圖形的性質，再用方程進行論證”等一般觀念的引領作用，通過欄目、邊空等作出明確提示，將坐標法具體結合到幾何性質的研究過程中去，在增強教科書的思想性的同時，也為直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)的培養(yǎng)和理性思維的發(fā)展提供了載體.對于橢圓的離心率，教科書要求學生探究怎樣利用a，c這些“基本量”刻畫橢圓的扁平程度；對于雙曲線的漸近線，教科書安排了一個從特殊到一般的過程，以增強直觀性和操作性，使學生在信息技術的幫助下體會“漸近”的含義.第七，用坐標法解決幾何問題，其基礎是利用坐標系將點表示為有序數(shù)對，建立起平面內點與有序數(shù)對之間的一一對應，由此可以將曲線表示為一個方程，幾何問題就歸結為代數(shù)問題；然后借助于代數(shù)運算和邏輯推理，對這些數(shù)、代數(shù)式及方程之間的關系進行討論；最后把討論的結果利用坐標系翻譯成相應的幾何結論.這就是我們熟悉的“三步曲”：幾何問題“翻譯”為代數(shù)問題——代數(shù)運算與推理—代數(shù)結論“翻譯”為幾何結論.與圓錐曲線相關的主要問題是（1）求有某種幾何特征的曲線方程；（2）根據(jù)曲線的方程，用代數(shù)方法證明（或討論）曲線的幾何性質；（3）賦予代數(shù)方程以幾何意義，用幾何方法研究它的代數(shù)性質，例如通過方程研究直線與圓錐曲線的位置關系等.為此，教科書在解決（1）（2）兩個問題后，通過例題、習題解決問題（3）.教科書特別注意把圓錐曲線豐富多彩的性質選作例題和習題，不僅使題目的思想內涵得到增強，而且通過這些題目加強了知識間的相互聯(lián)系，從而幫助學生建立對圓錐曲線的整體認識.例如，橢圓的例題中，就包含了橢圓與圓的聯(lián)系、定義橢圓的其他方式、橢圓的光學性質等，這些題目的“數(shù)學含金量”是非常高的.另外，這些題目的可拓展性也是很強的.第八，教科書在三種圓錐曲線中都注意安排實際應用問題，并通過拓展性資源對“圓錐曲線的光學性質及其應用”進行歸納總結，以落實“通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等，使學生了解圓錐曲線的背景與應用”的要求.同時，教科書特別注意發(fā)揮信息技術的作用，在正文中明確提出利用信息技術進行探究的要求，而且安排了利用信息技術探究圓錐曲線性質的欄目、拓展性材料等.另外，還安排了“文獻閱讀與數(shù)學寫作解析幾何的形成與發(fā)展”，要求學生查閱與解析幾何有關的文獻，了解解析幾何形成與發(fā)展的過程，以及解析幾何對人類文明的主要貢獻，以體現(xiàn)本章內容在數(shù)學文化中的特殊作用.四、課時安排本章教學時間約需13課時，具體分配如下（僅供參考）：3.1橢圓約4課時3.2雙曲線約3課時3.3拋物線約3課時文獻閱讀與數(shù)學寫作解析幾何的形成與發(fā)展約1課時小結約2課時五、本章編寫思考總體而言，本章教科書的編寫，注意吸收以往教科書的優(yōu)點，強調在繼承基礎上進行創(chuàng)新在內容的選擇上，圍繞圓錐曲線的核心概念，以橢圓、雙曲線、拋物線的主要性質及其應用為重做到削支強干；在結構體系上，強調知識發(fā)生發(fā)展的邏輯合理性，加強背景和應用，從而使學生在三種曲線的學習中經(jīng)歷完整的研究過程；注重按照學生學習心理組織教科書內容，加強數(shù)學思想的引導和解題方法的分析，循序漸進地逐步提高論理要求；注重坐標法思想內涵的理解和應用，誠少機械套用、死記硬背；注重與平面幾何、函數(shù)等的聯(lián)系與綜合，強調代數(shù)運算與邏輯推理的融合，體現(xiàn)解析幾何的學科特征；注重利用數(shù)學史料，滲透數(shù)學文化；等等.貫徹“問題引導學習”思想，通過“觀察”“思考”“探究”等欄目，以層層遞進、邏輯連貫的“問題串”為載體創(chuàng)設系列化數(shù)學活動，引導學生開展創(chuàng)造性學習活動；強調根據(jù)學生的認知規(guī)律，采用“歸納式”呈現(xiàn)學習內容，引導學生自己歸納和概括數(shù)學結論；注意使用“先行組織者”手段，從方法論高度，對如何觀察、發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的幾何特征，如何構建研究路徑，如何發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的性質，如何用坐標法研究幾何問題等加強指導，以提高教科書的思想性；采用單元整體設計，在坐標法的統(tǒng)領下，以直線和圓的方程為基礎，從橢圓、雙曲線到拋物線順次展開內容；在語言敘述上盡量做到條理清楚、簡潔明快；等等.以下就幾個主要問題介紹教科書的設計思路.1.關于研究對象的定義我們知道，因為一個數(shù)學對象的本質特征可以有多種等價的表現(xiàn)形式，所以數(shù)學對象的定義是不唯一的.數(shù)學定義是選擇的結果.這就帶來一個問題：如何選擇才更有利于我們展開對這個對象的研究？對這個問題的回答可能是沒有統(tǒng)一標準的.事實上，數(shù)學定義是一代代數(shù)學家不斷研究、改進的結果，特別是一些處于基礎地位的概念，例如函數(shù)的定義.有時，對一個數(shù)學對象的不同定義也反映了人們對其本質屬性的認識的不同抽象層次，因此，在編寫教科書的過程就需要思考怎樣的定義才能既反映數(shù)學對象的本質特征，又能與學生的認知水平相適應.在阿波羅尼奧斯（Apollonius，約公元前262一前190）的《圓錐曲線論》中，三種圓錐曲線是基于平面截圓錐給出的.由平面與圓錐的軸所成角的不同范圍，可將截線區(qū)分為三類，阿波羅尼奧斯將它們分別稱為齊曲線（拋物線）、超曲線（雙曲線的一支）、虧曲線（橢圓）.從上述定義出發(fā)，利用相似三角形、圓的有關性質，通過一系列的幾何推理，可以推出三類曲線的性質：（1）橢圓:;（2）拋物線:;（3）雙曲線:.用解析幾何的語言敘述,即：以圓錐曲線的軸為軸、頂點為原點建立直角坐標系,上述三個性質就是對稱軸與軸重合的圓錐曲線方程,就是橢圓的長軸（或雙曲線的實軸是半短軸).得到上述圓錐截線的性質后,就不再利用圓錐曲面而直接從這三條性質推出其他性質,“橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為”“橢圓上任意一點到焦點的距離與到準線的距離之比為大于0小于1的常數(shù)”等都可由此推出.=1\*GB3①由上所述可見,由平面截圓錐得到三種截線,這是最原始的定義．由這個定義可以容易地區(qū)分截線的類型，但每一種截線的幾何特征卻不明顯.由此出發(fā)推導圓錐曲線的方程，需要用到較多的幾何知識,推理過程比較復雜,對大多數(shù)學生而言難度太大,顯然不合適.其他定義實際上都是從這個原始定義推出的性質.因為“平面內,與兩個定點的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓”的幾何特征非常明確,可以與圓的定義?銜接（當兩個定點的位置逐漸接近時,橢圓的形狀就逐漸接近圓),容易作圖,其基本幾何性質（對稱性）也易于直觀想象,由此就方便于我們合理地建立直角坐標系求出橢圓的方程,而由“距離的和等于常數(shù)”聯(lián)想到“距離的差等于常數(shù)”也是非常自然的,所以教科書對橢圓、雙曲線的定義做出如此選擇.不過,這樣的選擇存在一個缺陷,即與拋物線的定義無法銜接.為了解決這個問題,教科書在橢圓、雙曲線的內容設置中做了一定的鋪墊.在“橢圓”一節(jié)設置例題:“動點到定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù),求動點的軌跡”和“用信息技術探究點的軌跡:是定點,是不經(jīng)過點的定直線,動點到定點的距離和它到定直線的距離的比是小于1的常數(shù).用信息技術軟件畫出動點的軌跡,觀察這個軌跡,可以發(fā)現(xiàn)它是一個橢圓.在的范圍內,改變的大小,或改變點與直線的相對位置,可以發(fā)現(xiàn)動點的軌跡仍然是一個橢圓”.在“雙曲線”一節(jié)設置例題:“動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù),求動點的軌跡”和習題:“設動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是,求動點的軌跡方程,并說明軌跡的形狀”.在“拋物線”的節(jié)引言中先進行引導:“通過前面的學習可以發(fā)現(xiàn),如果動點到定點的距離與到定直線(不過點)的距離之比為,當,點的軌跡為橢圓;當時,點的軌跡為雙曲線.一個自然的問題是:當時,即動點到定點的距離與它到定直線l的距離相等時，點M的軌跡會是什么形狀？”然后通過“探究”，讓學生用信息技術畫出動點的軌跡，在此基礎上再給出拋物線的定義.教科書的這種處理方式，兼顧了三種圓錐曲線的“個性”與“共性”，使概念的引人、定義的給出基本做到了銜接自然、光滑.2.對解析幾何學科特點的思考解析幾何的創(chuàng)建是為了科學發(fā)展的需要，而從數(shù)學內部看，則是出于對數(shù)學方法的追求.認識清楚這一點，對于我們理解解析幾何的基本思想特別重要.追溯笛卡兒（Descartes，15961650）創(chuàng)立解析幾何的心路歷程，可以明顯看出這種追求.笛卡兒不僅在數(shù)學上做出了重要的開創(chuàng)性貢獻，而且在哲學、生物學、物理學等眾多領域都有杰出貢獻.他是機械自然觀的第一個系統(tǒng)表述者，被譽為近代哲學的開創(chuàng)者.他以大哲學家的眼光審視數(shù)學，認為數(shù)學立足于公理上的證明是無懈可擊的，而且是任何權威所不能左右的.數(shù)學提供了獲得必然結果以及有效地證明其結果的方法.數(shù)學方法“是一個知識工具，比任何其他由于人的作用而得來的知識工具更為有力，因而它是所有其他知識工具的源泉……所有那些目在于研究順序和度量的科學，都和數(shù)學有關”①他研究數(shù)學，目的是想尋找一種能在一切領域里建立真理的方法.他認為，以往的幾何、代數(shù)研究都存在很大缺陷：歐氏幾何中沒有那種普遍適用的證明方法，幾乎每一個證明都需要某種新的、技巧性很強的想法；代數(shù)的方法具有一般性其推理程序也是機械化的，但它完全受法則和公式的控制，以至于“成為一種充滿混雜與晦暗故意用來阻礙思想的藝術，而不像用來改進思想的科學”.所以，代數(shù)與幾何必須互相取長補短不過，他推崇代數(shù)的力量，認為代數(shù)方法在提供廣泛的方法論方面要高出幾何方法，因此代數(shù)具有作為一門普遍的科學方法的潛力.于是，他提出了一個計劃，即：任何問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程求解.他把精力集中在把代數(shù)方法用于解決幾何問題的研究，其結果是創(chuàng)立了解析幾何.笛卡兒的理論建立在兩個觀念的基礎上：坐標觀念；利用坐標方法把帶有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成是平面上的一條曲線的觀念，基于坐標法思想，給出了一系列新穎的結論，例如：曲線的“次”與坐標軸的選擇無關，因此選擇的坐標軸要使得方程越簡單越好；在同一坐標系內寫出兩條不同曲線的方程，解它們的聯(lián)立方程組就求出兩條曲線的交點；用方程的“次”給幾何曲線分類，圓錐曲線的方程是二次的（沒有證明）；等等.總之，笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的原動力是他對普適性方法的追求，“創(chuàng)造一種方法，以便用來解決所有的幾何問題，給出這些問題的所謂一般的解法”的思想指引著他的創(chuàng)新之路，而幾何代數(shù)和一般變量概念的結合是坐標法的起源，所以解析幾何具有濃厚的“方法論”色彩.了解這點很重要，因為這能使我們理解為什么在解析幾何的教學中要把重點放在對坐標法的理解和應用上，而不是把精力浪費在一些復雜的求曲線方程的代數(shù)變換上.基于上述分析，我們把“解析幾何是一種方法論”作為本章內容的一個核心定位，并在編寫過程中把如何講好“方法論”作為教科書的一個關鍵問題.具體而言，教科書做出了如下安排.首先，在章、節(jié)引言及小結中，用明確的語言表述數(shù)形結合思想、坐標思想.例如，本章小結中明確指出：用坐標法研究幾何問題，首先要注意觀察相應幾何圖形的特征，認識確定幾何圖形的要素例如橢圓是平面內到兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡，這里“兩個定點”“距離之和為定長”等就是確定橢圓的幾何要素；然后用坐標法解決，即利用幾何特征合理建立坐標系，用坐標表示點，用方程表示幾何要素的關系.在此基礎上，利用方程研究曲線的性質.可以看到，析幾何中研究橢圓、雙曲線、拋物線的過程和方法是一致的.這表明，用代數(shù)方法研究幾何問題圓錐曲線的性質），其處理方法具有統(tǒng)一性.實際上，通過運算來發(fā)現(xiàn)幾何圖形的性質，不能迅速地證明曲線的性質，而且這種解決問題的方式基本上是程序化的，這是解析幾何的優(yōu)勢所在，是體現(xiàn)數(shù)形結合思想威力的典范.用坐標法研究幾何圖形時，代數(shù)式的化簡、方程的變形與等價轉化等起著很重要的作用.例如，當我們把橢圓的方程化簡為標準方程后，就能容易地看出橢圓的范圍、對稱性、頂點等，發(fā)現(xiàn)長軸、短軸、焦距之間的關系，并由此得到刻畫橢圓扁平程度的離心率等.所以，學習解析幾何需要較強的邏輯推理、數(shù)學運算等能力.第二，在正文的表述中，教科書隨時隨地強調坐標法的基本思想，加強“先用平面幾何眼光觀察，再用坐標法解決”的過程，并在“如何以直角坐標系為參照，確定問題中的幾何要素”上加強引導，體現(xiàn)“從推理幾何到解析幾何”的過渡.按上一章小結中給出的坐標法基本步驟呈現(xiàn)標準方程的推導過程、例題的解答過程，強調用坐標法研究問題的規(guī)范，完整地給出利用方程討論圖形的幾何性質的示范，并以“三步曲”為指導，在小結中進一步給出用坐標法解決圓錐曲線問題的基本思路.第三，從圓錐曲線的標準方程出發(fā)，用坐標法研究圓錐曲線的性質及數(shù)學內外的各種應用問題，引導學生理解坐標法的基本思想，體會坐標法的力量.為使學生集中精力于坐標法的學習在素材選擇上，教科書特別關注了圓錐曲線的性質，把那些通過不太復雜的代數(shù)運算就能得出的性質及其在現(xiàn)實中的應用設計為例題、習題，例如，鑒于三種圓錐曲線的定義都是從“距離”間的關系給出的，在例題中專門設置了從“角度”間的關系反映的性質：設A，B兩點的坐標分別為.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是（或），求點M的軌跡方程.事實上，把這個題目反過來，就是圓錐曲線的一條性質：橢圓、雙曲線上的點（長軸（或實軸）端點除外）與長軸（或實軸）的兩個端點連線的斜率之積是定值.同時，這條性質還具有可推廣性，給教學留下了空間.另外，與這套教科書的其他章比較，本章設置的拓展性資源是比較多的，其目的也是給學生從不同角度感悟解析幾何思想與方法的機會.3.根據(jù)學生學習心理安排教學內容與以往比較，在強調教科書的科學性、邏輯性、結構性的同時，特別關注學生的學習心理，注意按學生的心理邏輯組織教學內容，這是本套教科書的一個總體特色.本章內容編寫中注意了如下幾個方面：（1）強調“先行組織者”的使用，認知心理學認為，“先行組織者”有助于學生形成有意義學習的心向，能為學生提供一個學習的整體架構，避免學習的盲目性，同時也能為新舊知識搭建聯(lián)系通道.前面已指出，解析幾何具有“方法論”的學科特征，在解決具體問題之前明確其結構、方向和主要過程正是“先行組織者”的“強項”.所以，在教科書內容的展開過程中，特別是在章節(jié)的開篇、內容之間的銜接與過渡等地方，我們賦予“先行組織者”以重要地位，特別注重用坐標法討論問題基本思路的引導.實際上，這既是解析幾何思想的教學，又是一種思維策略的教學，對于學生獲得數(shù)學基本思想、積累基本活動經(jīng)驗，增加發(fā)現(xiàn)和提出問題的可能性，以及培養(yǎng)理性思維等都能起到非常重要的作用.（2）對坐標法、數(shù)形結合、運動變化思想等“默會知識”，采取“滲透—明確—一應用”的呈現(xiàn)過程.我們知道，坐標法、數(shù)形結合思想等都是數(shù)學中關于“怎么想”“怎么做”的知識屬“默會知識”范疇.這種知識的掌握，更多地依賴于實踐中的體悟.因此，本章在“直線和圓的方程”中明確坐標法思想、提供用坐標法解決平面幾何問題的示范和練習的基礎上，進一步確了坐標法和數(shù)形結合思想，并加強了用坐標法解決綜合性問題的訓練，使學生在實踐中加深理解，逐步養(yǎng)成用坐標法思考和解決問題的思維習慣.（3）盡量用“歸納式”呈現(xiàn)教科書，注意從簡單到復雜、從單一到綜合地組織內容，按照從具體到抽象、從特殊到一般的方式，給學生提供歸納、概括的機會.這是與以往教科書有很大區(qū)別的地方.例如，對“曲線的方程”“方程的曲線”概念的處理，雖然它在培養(yǎng)學生思維的邏輯性和嚴謹性方面都是很好的載體，但這也是一個不容易把握的概念，沒有足夠的知識準備，不僅會導致學生理解的困難，還會使他們產(chǎn)生“為什么要這樣來要求”的疑問.因此，教科書在圓錐曲線方程的推導中，繼續(xù)采取“結合具體曲線呈現(xiàn)相關內容”的方式，最后再在本章小結中對“曲線與方程的關系”進行歸納，并指出“利用坐標系建立曲線與方程的這種關系，是解析幾何的基礎，在今后的學習中可以進一步體會到”.4.設計系列化的數(shù)學活動引導學生開展有結構有邏輯的系統(tǒng)學習以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境、提出數(shù)學問題，引導學生以獨立思考、自主學習、合作交流等多樣化的方式開展數(shù)學學習，是《標準（2017年版）》的基本理念.為此，教科書強調構建系列化數(shù)學活動，注重創(chuàng)設與學生的現(xiàn)實緊密關聯(lián)的真實問題情境，引導學生開展體驗學習、合作學習、建構學習，通過有結構、有邏輯的系統(tǒng)學習，逐步形成數(shù)學學科觀念、數(shù)學思維方式和探究技能，促進數(shù)學知識和技能的持續(xù)結構化，使學生的理性思維不斷走向成熟.系列化的數(shù)學活動涵蓋了通過數(shù)學抽象獲得研究對象，構建研究數(shù)學對象的基本路徑，發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的數(shù)學問題，探尋解決問題的數(shù)學方法，獲得有價值的數(shù)學結論直至建立數(shù)學模型解決現(xiàn)實問題，這是在通盤考慮課程內容基礎上作出的設計.在本章的數(shù)學活動設計中，教科書根據(jù)圓錐曲線的內容特點，首先注意發(fā)揮史料的作用，從整體上提出圓錐曲線的產(chǎn)生以及所要研究的問題.如前所述，解析幾何的發(fā)明既是為了解決人類實踐活動中提出的問題，又是為了探尋科學研究的普適性方法教科書以歷史資料為素材，以用坐標法研究幾何圖形的過程與方法為導向，從宏觀上提出系列問題，引導學生感受坐標法.這樣的處理對學生把握解析幾何的基本思想和學習方向很有好處，這是教師在分析和理解教科書編寫意圖時需要關注的一個問題.在每一種圓錐曲線的研究中，教科書從節(jié)引言開始，通過“觀察”“思考”“探究”等欄目根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展需要提出層層遞進的問題，從而形成環(huán)環(huán)相扣的系列化數(shù)學活動.這些問題是學生在學習具體內容時普遍都會遇到的，教科書通過它們來引導學生的思考方向，為學生獨立思考、自主探究構建平臺.例如，在“橢圓”一節(jié)中，教科書按知識的發(fā)展過程順次提出了如下問題：（1）節(jié)引言以“橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質奠定基礎？”從宏觀上提出問題，給出研究目標.（2）在引入橢圓概念時，以“探究：移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？”引導學生探究橢圓的幾何特征，為抽象橢圓概念、展開后續(xù)內容做好必要準備.（3）以“思考：觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單引導學生思考如何利用橢圓的幾何特征合理建立坐標系.（4）以“思考:觀察圖3.1-3(圖3-1),你能從中找出表示,c,的線段嗎?”引導學生思考的幾何意義,使學生理解引入的合理性.（5）以“思考:如果焦點在軸上,且的坐標?為的意義同上,那么橢圓的方程是什么?”引導學生通過類比,自主推導焦點在軸上時的標準方程.（6）以“先用幾何眼光觀察,再用坐標法解決”為指導,以“與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質一樣,我們利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質,包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等”為導入語,設置“觀察”欄目,提出問題“觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎?它具有怎樣的對稱性?橢圓上哪些點比較特殊?”從整體上明確橢圓性質的主要研究內容,再以系列化的欄目引導學生具體探究性質:=1\*GB3①思考:觀察圖,容易看出橢圓上的點都在一個特定的矩形內,你能利用方程（代數(shù)方法）確定出它的具體邊界嗎?=2\*GB3②探究:觀察橢圓的形狀,可以發(fā)現(xiàn)橢圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.如何利用方程說明橢圓的對稱性?=3\*GB3③思考:你認為橢圓上哪些點比較特殊?為什么?如何得到這些點的坐標?=4\*GB3④思考:不同形狀的橢圓的扁平程度不同,相同形狀的橢圓的扁平程度相同.扁平程度是橢圓的重要形狀特征,你能用適當?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎?=5\*GB3⑤在“邊空”中提出問題:你能運用三角函數(shù)的知識解釋,為什么越大,橢圓越扁平?越小,橢圓越接近于圓嗎?教科書以上述系列化情境與問題為載體，構建了“分析背景——探索幾何特征—選擇坐標建立標準方程—探索不同形式的標準方程—通過方程研究幾何性質”的系列化數(shù)學活動.5.加強背景和應用，完善學習過程解析幾何是一門方法論色彩濃厚的學科，應當以“用坐標法研究問題”為主線，以讓學生領會坐標法和數(shù)形結合思想為主要任務，僅靠做題目是無法達成這一目標的.為此，加強背景和應用，使學生經(jīng)歷完整的用坐標法解決問題的過程，變“掐頭去尾燒中段”為“接頭續(xù)尾燒全魚”，是解析幾何教學中必須予以充分重視的問題.教科書在這方面加強了引導，例如：（1）加強確定圖形的幾何特征的分析，在明確要解決的幾何問題是什么的基礎上，再進入建立直角坐標系、求方程等環(huán)節(jié).實際上這是“先用幾何眼光觀察”的體現(xiàn)，在建立幾何直觀的基礎上，再進行代數(shù)表達與運算、推理，可以提高運算效率，這也是化解解析幾何學習中運算、代數(shù)推理難點的舉措.（2）加大用坐標法思想分析問題的力度.從簡潔性考慮，以往教科書往往直接呈現(xiàn)邏輯過程，這是一種思考的“結果”，而對“為什么這樣思考”則需要學生自己去體會，但這對學生而言是比較困難的.為此，教科書特別加強了用坐標法分析問題的環(huán)節(jié)，既展示了過程，又體現(xiàn)了對學生思維的引導.例如，教科書在“3.3.2拋物線的簡單幾何性質”中專門安排了兩個例題（例4、例5），通過這兩個例題，一方面讓學生體會在用坐標法解決問題時，如何利用圓錐曲線的定義和性質去研究相關圖形的性質、解決問題；另一方面通過不同解法的比較，使學生體會坐標法中的運算.所具有的特點：先分析清楚研究對象的幾何特征，將幾何元素及其關系代數(shù)化，在運算過程中還要充分利用相應的幾何特性以簡化運算.教科書就是想通過這樣的示例，使學生逐步建立起這樣的觀念：用坐標法解決問題，建立在幾何直觀基礎上的運算是有效解題的關鍵，這里的運算具有“數(shù)形結合”的特征，而不僅僅是代數(shù)運算.6.體現(xiàn)單元教學設計思想發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)是《標準（2017年版）》的根本理念，也是數(shù)學教學中立德樹人的抓手.那么，一個基于核心素養(yǎng)的教學到底應該包括哪些要素呢？首先，從教學目標看，應當以發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)為目標導向，使學生在掌握知識與技能的同時，體悟知識所蘊含的數(shù)學思想和方法，積累數(shù)學地思考和解決問題的經(jīng)驗，發(fā)展理性思維.其次，實現(xiàn)上述目標，有賴于高水平的教學活動設計，要根據(jù)數(shù)學知識的本質和學生的認知規(guī)律，設計教學情境（生活情境、數(shù)學情境、科學情境等）并提出數(shù)學問題，用以激發(fā)學生的學習欲望，開展獨立思考、自主探究、合作交流等學習活動.最后，高水平的教學設計，有賴于教師“理解數(shù)學，理解學生，理解教學，理解技術”的水平.把握教學內容的本質，了解學生的數(shù)學思維過程，懂得學生的數(shù)學學習心理，是設計高質量數(shù)學教學活動的前提.顯然，圍繞碎片化的知識點，以“知識點講解+例題+練習”的方式設計教學活動，已經(jīng)無法承載數(shù)學基本思想和基本活動經(jīng)驗教學的要求，對“四能”的提高不利，對核心素養(yǎng)發(fā)展更不利.總之，這樣的教學是無法實現(xiàn)核心素養(yǎng)教學目標的.為了幫助教師提升“四個理解”的水平，根據(jù)《標準（2017年版）》提出的“教材編寫應體現(xiàn)整體性”“要便于教師把握知識本質駕馭課程內容；要便于教師把握知識結構，統(tǒng)籌教學安排；要便于教師教學設計，創(chuàng)設教學情境、提出合適問題、有效組織教學；要為教師自主選擇、增補和調整教學內容預留必要空間”等要求，教科書注意引導教師在整體把握圓錐曲線內容的基礎上，展開教學活動的整體設計.教科書將本章內容分為三個單元，以每一種圓錐曲線的幾何特征、方程、性質和應用為明線，以坐標法和數(shù)形結合思想為暗線，以邏輯連貫、環(huán)環(huán)相扣的“問題串”為腳手架，設計系列化的學習活動，這是一種以單元整體設計思想為指導的設計思路，可以比較好地實現(xiàn)課標提出的要求.具體地，在“橢圓”一節(jié)中，如前所述，教科書用前后連貫、循序漸進的十多個問題組成“問題串”，將內容連成一體，引導學生有邏輯地展開學習與探究.這些問題既有針對整體思路的，也有針對具體內容的；既有針對思想方法、研究策略的，也有操作性的、針對特例或細節(jié)的.它們是以橢圓知識的內在邏輯為依據(jù)而設置的、自然而然的學習主線，解決了這些問題就可以形成思想內涵豐富的“橢圓與方程”知識體系.在“問題串”的引導下，學生可以完整地經(jīng)歷如下過程：通過具體情境（如行星運行軌道），了解橢圓的背景與應用：結合情境、通過動手操作清晰地描述圖形的幾何特征與問題，即橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的動點的軌跡；結合幾何特征合理地建立坐標系，用代數(shù)語言描述這些特征與問題；借助幾何圖形的特點，形成研究橢圓性質的思路，利用方程，并通過直觀想象和代數(shù)運算得到結果；給出代數(shù)結果的幾何解釋，解決問題.顯然，教師只要按照教科書設計的上述過程進行教學設計并展開教學，就可以引導學生展開結構化的系統(tǒng)學習，建立清晰、穩(wěn)定和可利用的“橢圓與方程”的認知結構.雙曲線、拋物線兩節(jié)內容與橢圓同構，所以設計思路完全一致.如果橢圓的基礎扎實，那么就可以讓學生通過類比橢圓的研究過程展開雙曲線和拋物線的自主學習，只要在雙曲線的漸近線、拋物線的背景和定義等幾個點上適當啟發(fā)指導即可.7.發(fā)揮信息技術的作用，為幾何直觀提供方便解析幾何是形數(shù)結合的學科，“通過幾何建立直觀，通過代數(shù)予以表達”是其基本理念①.在圓錐曲線的研究中，對它們的幾何特征的直觀認識是第一步，但要畫出這三種曲線以及相關的圖形并非易事.為此，教科書根據(jù)本章內容的特點，較充分地發(fā)揮信息技術的作用，注意利用動態(tài)幾何軟件，既為作圖提供方便，又向學生展示動點的運動變化規(guī)律，引導學生觀察方程中參數(shù)的變化對方程所表示的曲線形狀、大小的影響，并通過信息技術軟件探究圖形之間的關系.例如，研究橢圓的離心率、雙曲線和拋物線的定義、雙曲線的漸近線等都利用了信息技術軟件的優(yōu)勢，讓學生在獲得充分的直觀認識基礎上，再進行代數(shù)運算得出結果.六、本章教學建議1.以坐標法為核心和紐帶在本章教學中，只有體現(xiàn)好解析幾何的學科特點，抓住它的核心，才能真正發(fā)揮這一課程內容的作用，達成它的教學目標.圓錐曲線的內容非常豐富，本章只是最基礎的、最簡單的部分但其中蘊含的思想具有一般意義.因此，教學中應以圓錐曲線與方程為載體，把讓學生掌握坐標法這一工具去解決一些幾何、代數(shù)的問題作為核心和重點.2.重視對研究對象幾何特征的分析解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”，但教學中要注意代數(shù)運算與幾何直觀的相互為用因為研究對象是幾何圖形，所以把握所研究對象的幾何特征、明確面臨的幾何問題，這是首要的步，然后才是用代數(shù)方法研究之，所以，教學中一定要注意“先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素的分析”這一環(huán).實際上就是要處理好“代數(shù)求解”與“幾何直觀”之間的關系，如果只把注意力集中在代數(shù)角度研究，雖然能達到細致入微的境界，但沒有直觀形象的支撐，最后還是不能很好地把握幾何性質.所以，教學中適當?shù)剡M行“代數(shù)關系的幾何意義”的訓練也是很有必要的.下表給出了中學平面解析幾何中的主要對象和問題：3.使學生正確理解解析幾何中的運算解析幾何的學習對運算能力的要求頗高.對學生而言，代數(shù)運算是主要“攔路虎”之一.解題過程中，許多學生都是因為不能順利完成代數(shù)運算而導致失敗.在本章教學中為了使學生更好地把握坐標法的基本思想，控制代數(shù)運算的難度和技巧是必須的.但必要的運算是不可避免的，這是由解析幾何的學科特點決定的.關鍵是要把握解析幾何中運算的特點.解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數(shù)運算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關系，再用代數(shù)語言表達，而且在運算過程中時刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關系來簡化運算，這是解析幾何教學中突破運算難點的關鍵舉措.解析幾何教學中，提高運算能力不能僅從代數(shù)角度入手，還要努力提高學生的幾何圖形分析能力，也就是要在落實數(shù)形結合思想上下功夫.4.注意用好教科書中的例題、習題教科書中的例題與習題，其選編的原則是幫助學生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運用坐標法研究圓錐曲線的性質以及它們的位置關系，并能解決有一定綜合性的問題，通過解題感悟解析幾何中蘊含的數(shù)學思想.具體的題目主要是研究圓錐曲線的性質.教學中應注意這些題目的的教學功能，使學生認識到認真解答這些題目的重要性，必要時可以對有關題目進行適當?shù)?/p>