兩個重要極限的推廣與應(yīng)用

兩個重要極限的推廣與應(yīng)用摘要：極限在數(shù)學分析中占有很重要的地位，不但是一個基本的數(shù)學概念，而且也是數(shù)學分析的基石。兩個重要極限又是極限中的重點和難點，所以對于我們數(shù)學專業(yè)的學生尤其的重要。我們不僅要記住兩個重要極限及其推廣形式，還要能夠熟練的運用這些公式解決極限中遇到的問題。當然這部分內(nèi)容學習起來有一定的難度，為了幫助同學們更容易掌握這部分內(nèi)容，本文將結(jié)合實例對其進行深入分析，來探究兩個重要極限的基本形式及其推廣與應(yīng)用。關(guān)鍵詞：重要極限推廣形式應(yīng)用TwoimportantlimitsofpopularizationandapplicationAbstract：Limitinthemathematicalanalysisoccupiesaveryimportantposition,butabasicmathconcepts,butalsothecornerstoneofmathematicalanalysis.Twoimportantlimitandlimitthekeyanddifficultpointforus,somathematicsmajorsisespeciallyimportant.Weshouldnotonlyremembertwoimportantlimitandextendingforms,butalsocanskilledusingtheseformulaeinsolvingtheproblemsofthelimit.Ofcoursethissectionstudyuphasthecertaindifficulty,inordertohelptheclassmatesmucheasiertomasterthissection,thepaperwillbecombinedwithitsfurtheranalysis,toexplorethebasicformoftwoimportantlimititspopularizationandapplication.Keywords：ImportantlimitExtendedformapplication極限在數(shù)學分析中占有很重要的位置，它貫穿了整個數(shù)學分析的內(nèi)容，是積分和微分的基石，也是一個基本概念，而利用兩個重要極限lim也=1和lim(1+￡=eXX工—0XT3來求極限是極限內(nèi)容中的重點和難點。運用兩個重要極限解某一類極限問題時不僅可以簡化極限計算的步驟，節(jié)約時間，而且過程清晰明了，使人易懂。對于數(shù)學專業(yè)的學生，更應(yīng)該熟練掌握這部分內(nèi)容，并且能夠靈活運用它。為了使大家更容易掌握這部分內(nèi)容，本文將運用多個實例來對兩個重要極限及其推廣形式進行一些分析、歸納和探討。兩個重要極限的基本形式及其推廣形式1.1lim也=1⑴X尤C0運用limSinX=1這個極限時我們一定要注意以下幾個方面：XXT0分數(shù)線上面的X要與分數(shù)線下面的x要保持一致。公式中的X一般要趨近于0,并且也要符合0型的未定式。TOC\o"1-5"\h\zX0式子中的X不但可以表示一個未知數(shù)，而且可以代表一個式子。通過數(shù)學中的變量替換，我們知道當limg（X）=0時limSinX=1可以推廣為XXT%。XT0lim而g（X）=1⑵XTX0g（X）這一重要極限我們可以記做lim峪=1，其中△代表一個未知量?！鰽t01.2lim（1+1）x=e（3）XXT3或lim（1+x）X=e（4）XT0同樣，在應(yīng)用這個重要極限時我們也要注意幾個方面：①同（1）式中的X一樣，此處的X可以表示一個未知數(shù)X，也可以表示一個式子。②當limg(X)=8時有l(wèi)im(1+—)g(x)=eXTX0XTX0g(X)或當limg（x）=0時有l(wèi)im（1+g（X））尢=e（6）XTX0XTX0由②中可以看出此處的X可以趨近于0，也可以趨近于8，但必須與（3）和（4）中保持一致。由（3）（4）（5）（6）我們可以看出公式中括號內(nèi)加號后面的部分與括號外的幕次互為倒數(shù)，并且基本形式與推廣形式都可以轉(zhuǎn)化為1-這種類型的極限問題。類比于lim?=i，這一重要極限我們可以記做lim（i+1）…，其中△代△t0△ts表一個未知量。求極限時兩個重要極限的具體應(yīng)用2.1lim也=i及其推廣公式的應(yīng)用xxt0例1求5lim也xxt0分析：由公式（1）我們可以直接得到解：5limsinx=5X1=5xxt0例2求lim^^蘭xxt0分析：觀察題目我們看出，由于當xt0時有3xt0，如果我們把分母中的x變成3x就可以運用公式（2）來解這道題目，因此解：sin3x「sin3xlim=lim-一x。Lixt0x—0—X3x3=3xlim蛀3xxt0=3例3求lim3sin2x4tan3xxt0分析：在解這道題時我們要先利用三角函數(shù)把tanx轉(zhuǎn)化為sinx,然后再把分子和分母都轉(zhuǎn)化為公式中的形式，再利用上面給出的公式，這樣就可以解決這道題目。解：

lim3sin2x_]im3sin2x_]jm3sin2x^04tan3x^0^sin3x^04tan3xcos3x=limxT0sin2x3sin2x—=一limXcos3xAsin3x4sin3xTOC\o"1-5"\h\zxto=limxT0cos3xsin2x日.x2x=—limxcos3xsin3xxtox3x3xsin2x=-X2lim^2^limcos3x43sin3xx—T0x—T03x111=—X1X12_1=21—cosx2例4求2limx4xT0分析：觀察題目我們可以看到，題中有1-cosx2，我們可以利用三角函數(shù)公式將TOC\o"1-5"\h\zx2其先轉(zhuǎn)換成sin，然后再利用上面的推廣公式就可以很順利的解決這道題目了。解：2(sin擋)22lim1—cosx2=2lim—x4x4xT0xTO?x2sin———2xlim()2xT0擋2.11=2x—x12=13m2sin—例5求limmT+8分析：通過觀察可以看出，把分子上的未知數(shù)轉(zhuǎn)化到分母上可以湊成推廣公式的

形式，再利用其就可以計算出該題。解:".13m2sin一lim".13m2sin一limmm-+s^'3m2-1.1

sin—=lim—mx1/3m2-13mmT+3m1sin—=lim—m13mmT+8limm*t3m2-1=1xv'3=、;32.2lim（12.2lim（1+1）xXxs=e或limX—01（1+X）x=e及其推廣公式的應(yīng)用例6求Zlim（1+1）m+55m*m分析：觀察可以看出，先做一下等價變形，然后再利用基本形式就可以計算出答案。解:ilim（1+L）m+5=ilim[（1+.I）m（1+1）5]TOC\o"1-5"\h\z5m*m5m—8mm=!lim（1+1）mlim（1+1）5mmmTsmTs=-xex15_1=52—2cosx2例8求lim1—cosXXT0分析：通過觀察我們可以看出，先運用三角函數(shù)的二倍角公式把分子和分母都轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，然后再把分子和分母分別湊成推廣形式，再利用公式即可解出這道題。解：

x2v；2—2cosx2lim1—cosxXT02sin—22—2~22sin——TOC\ov；2—2cosx2lim1—cosxXT02sin—22—2~2=lim—T0v2—一(sin)222例7求lim（1—4—）——T0分析：在解這道題時，我們要注意括號中1之后的符號是正號還是負號解：lim（1—4—）—=lim[1+（—4—）]—x—0x—0=lim[1+（—4X）]（—4—）X（一4）X—0=e—4例8求lim（5X±3）2x-1x—2XS分析：通過題目我們可以觀察出這道題可以轉(zhuǎn)化為1-的形式，然后我們利用分離系數(shù)將其等價變形為我們熟知的求極限的形式，再利用上面的公式即可解決問題。解：lim（5x+3）2x—1=lim（1+1）2x—15X+25X+2XSXS12x—1=lim（1+）（5X+2）X5x+25x+2XT82=e5例9求lim（7x+1）3x—17x—3XS分析：通過觀察我們可以看出，該道題可以轉(zhuǎn)化為18的形式，我們利用分離系數(shù)把其轉(zhuǎn)化為上面給出的形式，然后再利用公式即可解出。解：lim（7尤+4）3x-i=lim（7x—3+7）3x一17x-37x-3xsxs=lim（i+-^）3x-i7x-3xT8=lim（i+^^）（7x-功二，（3x-i）7x-3xT8例i0求lim（：:）3xx.0i+2"分析：通過題目我們可以觀察出這道題可以轉(zhuǎn)化為W的形式，然后我們利用分離系數(shù)將其等價變形為我們熟知的求極限的形式，再利用上面的公式即可解決問題。解：xT0xT0lim（。）二lim（i+2x-3x）*

i-2xi-2xxT0xT0=lim（i+史土）；x-1xT0x2x-i3x_i=lim（i+）3xX2x-iX3x2x-1x—0=e-1小結(jié)：通過以上的例題我們可以看出，在利用兩個重要極限來計算極限的時候，我們經(jīng)常運用的是其推廣形式，這就要求我們在學習這部分內(nèi)容時不僅要記住最基本的形式，而且要真正理解這兩個重要極限的內(nèi)涵，熟練運用其推廣形式，不能只是死記硬背，生搬硬套，而是要能夠做到舉一反三，熟練掌握。微分學中兩個重要極限的運用極限在微分學中的應(yīng)用很廣泛，其中導數(shù)的定義就是由極限來定義的，而兩個重要極限更是在推導一些重要極限的必備工具，比如說關(guān)于三角函數(shù)和幕函數(shù)導數(shù)的推導。3.1(sina)'=cosa推導過程：由導數(shù)的定義我們可以知道(sino)，=limsin(a+Aa)-sina△a△a—0c加+2a?E]?2cos2si^-^-△a△ar0*加△a+2an2=lim2cos2X—△匕△40=limcos△ar0一sin竺△a+2alim22△a—0△a=cosax1=cosa3.2(cosa)'=-sina推導過程：由導數(shù)定義得(cosa)，=limcos(a+Aa)-cosa△a△a—0-2sin冬竺sin既=lim22-△a△a—0.^asin=lim-2sin^a+2ax—22△a△ar0=-limsin一以+2alim‘"2△a—0△a△a—0=-sinax1=-sina3.3(loga)m推導過程：由導數(shù)定義得loga+Aa_logaAa=lim—log（］艾）A

aAa—0（loga））=limmAa^0=limHog丁AamAa—0m=Llimloga+v）loga+Aa_logaAa=lim—log（］艾）A

aAa—0acmv—0=Hog[lim（i+v）v]H0am=Llo&a以上幾個實例說明了運用兩個重要極限可以推導一些基本導數(shù)公式，而且有時候求導數(shù)時必須用兩個重要極限，比如說（sin以）'=cos以等用其他的方法就很難求出，可見兩個重要極限的用處之廣泛。當然，兩個重要極限的應(yīng)用并不僅僅只有這些，比如在經(jīng)濟學中還有很廣泛的應(yīng)用，其實數(shù)學知識不在于舉多少應(yīng)用例子，關(guān)鍵在于是不是真正理解了其內(nèi)涵，是不是能夠熟練地把其運用到生活中創(chuàng)造它的價值。參考文獻：華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析（上冊）[M].高等教育出版社，2007.56-58.何聯(lián)毅曾捷.數(shù)學分析同步輔導及習題全分析[M].中國礦業(yè)大學出版社，2007.64-69.蘇德礦吳明華金蒙偉.微積分（上）[M].高等教育出版社，施普林格出版社，2001.35-39.錢吉林.數(shù)學分析題解精粹