專題29 四法破解平面向量的數(shù)量積

專題29四法破解平面向量的數(shù)量積考綱要求：理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義,了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.掌握數(shù)量積的性質(zhì)及坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.基礎(chǔ)知識回顧：平面向量數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義:若兩個非零向量a與b,它們的夾角為。，則數(shù)量Fbcos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a-b=|a||b|cos0.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個非零向量a與b垂直的充要條件是a?b=0,兩個非零向量a與b平行的充要條件是a?b=±|a||b|向量數(shù)量積的運(yùn)算律：a?b=b?&(2)(入a)?b=A(a?b)=a?(入b).(3)(a+b)?c=a?c+b?c.平面向量數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：(1)e?a=a?e=|a|cos0；(2)非零向量a,b,a±b^a?b=0；當(dāng)a與b同向時，a?b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a?b=—|a||b|,a?a=&,|a|=、..,：a?a；⑷cos0=|⑷cos0=|a||b|；⑸|a?b|W|a||b|.平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律⑴a?b=b?a(交換律)；⑵(入a)?b=A,(a?b)=a?(入b)(入為實(shí)數(shù))；3)(a+b)?c=a?c+b?c平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示：設(shè)向量a=(x,y),b=(x,y),Ua?b=xx+yy，由此得到：11221212若a=(x,y),則|a|2=x2+y2，或|a|=\；x2+y2.設(shè)A(x1，y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)間的距離|AB|=\AB|=\j―、一x22+—*—y22.設(shè)a=(x,y),b=(x,y),Ua^boxx+yy=0.11221212

應(yīng)用舉例：類型一、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算【例1】【2017大連市一中高三摸底考試】設(shè)向量1=（—1,2）,b=（m,1）,如果向量a+2b與2a—b平行，那么a與b的數(shù)量積等于（）BYc-2DBYc-2D-i【答案】D【解析】a+2b=(—1+2m,4),2a—b=(—2—m,3)，由題意得3(—1+2m)—4(—2—m)=0,則m=一日，所以a乙【例2】【廣西賀州市桂梧高中2018屆高三上學(xué)期第四次聯(lián)考】設(shè)向量a,b滿足|a|=1,|b|=2，且a±(a+b)，則向量a在向量a+2b方向上的投影為（）w【答案】a±(a+b)，則向量a在向量a+2b方向上的投影為（）w【答案】AB.713~13~1D.—13「=1+拓曲+16=成必.選亂13【例3】在平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，/A=60，點(diǎn)M在AB邊上，且AM=1AB，3則DM-DB=()A.一亨B.亨C.-1D.1【答案】D【解析】AM=1AB，AB=2，AD=1，/A=60，3AM=1AB3

DM-DB^(dA+AM'^-^DA+AB)DA+-AB

3+ab)=da2+4da-AB+1AB233DA+-AB

3、41,、=1+—x1x2xcos120°+x4=1上————二一一一一故選D類型二、平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題.常見的命題角度有：角度一：平面向量的模；【例4】【云南省曲靖市第一中學(xué)2018屆高三高考復(fù)習(xí)質(zhì)量監(jiān)測】在矩形■中，’?，」：；..，「為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且』P=l，則后?如的取值范圍是.【答案】【解析】，畫圖分析可知I"i「的范圍是，故填.【例5】【2017江蘇省蘇州市高三摸底】向量a=(cos10°,sin10°)，b=(cos70o,sin70o)，Ia-2b1=【答案】3--一一【解析】o-6=cos70°00310°+血70。血10。=cos"=，新=|W*1,&一瀝=由二應(yīng)'-驀5=&【例6】【全國名校大聯(lián)考2017-2018年度高三第二次聯(lián)考】已知AABC的三邊垂直平分線交于點(diǎn)O，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且c2=2b（2-b），則AO-BC的取值范圍是.（2一、【答案】F,2V37..【解析】如圖，延長AO交AABC的外接圓與點(diǎn)D，連接BD,CD，則/ABD=ZACD=90°，所以

-AB)cos』BAD,1AO-BC=AO?(AC-AB)=1AD-2-AB)cos』BAD,1ACADcos』CAD-—ab||ad2111=2=2(b2-c2)又c2=2b(2-b)=4b-2b，①把?代入?得AO-BC=2(3b2—4b)=|(b—1)2—|,.又c2=2b(2-b)>0，所以0vbv2,0一一(2一、把①代入①得AO-BC的取值范圍是-三,2.V3點(diǎn)睛:平面向量中有關(guān)范圍最值問題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.角度二：平面向量的夾角；【例7】【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年級第一學(xué)期聯(lián)考】已知非零向量a,b滿足|a|=|b|且-2b)，則向量a與b的夾角為一、丸【答案】-6【解析】因?yàn)楦坠蔭?(屈一2K)=0=蛆-岳訪-姑=扼切■平||片|3沾整理得到8展=里今8=芝26一5*30一一一【例8】【2017河南省天一大聯(lián)考】已知Ia1=v10，ab=-——，且(a-b)(a+b)=-15，則向量a與b的夾角為()3兀B.—4【答案】C3兀B.—4【解析】依題意有a-b二a-b-cos0=2=-15，解得cos0=吏0=5兀亍_"6"角度三：平面向量的垂直.向量a,b滿足IaI=1,【例9】【新疆兵團(tuán)農(nóng)二師華山中學(xué)2017屆高三上學(xué)期學(xué)前考試數(shù)學(xué)（理）試題】IbI=x2，（a+b）1（2a-b），則向量a與b的夾角為【答案】900—?—?【解析】(a+b)1(2a-b)n(a+b)?(2a-b)=2a2-b2+a?b=a?b=0na1bn向量a與b的夾角為900.向量a,b滿足IaI=1,【例10】已知向量AB與AC的夾角為120°,且|AB=3,|AC[=2.若AP=*AB+AC，且AP±BC，則實(shí)數(shù)入的值為.7[答案】五.一一一一一一一1解析】BC=AC-AB?由于APLBC,所以衣?BC=o?即（」衣+衣）?（AC-AB）=—云+AC2十（』—1）AB■/C=—9乂十4十（乂—（—0=0；解得A=￡.點(diǎn)評：平面向量數(shù)量積求解問題的策略⑴求兩向量的夾卸血5亍j：打要注意召ES罰?⑵兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：業(yè)30占?3二。O|占一3|=|占+3|.⑶求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：?s=a,s=|邪或|s-|■a.②|凸±[|二~占土h_=^/±2s■應(yīng)若s=&y）?貝lj|s|=心+F類型三、數(shù)量積解三角形1【例11X2017江蘇省南京市高三調(diào)研】在AABC中，已知AB=3,BC=2,D在AB上，AD=^AB.若DB?DC3=3,則AC的長是.【解析】由已知BD=2,AD=1，設(shè)ZADC=0，則DB-DC=2xcos0=3，又2+"-4xcos0=2，所以X=、稱,cos。=孚，則在AADC中AC2=12+(、；6)2-2x1x寸6x(一十)=10,AC^10.【例12】【2017河南鄭州一中高三月考】在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(、./2a—c)BA?BC=cCB?CA.求角B的大??；(2)若|BA—BC|=*，求△ABC面積的最大值.n3很+3【答案】=^L一【解析】⑴由題意得(世日一c)COK曰此衣。.根掘正弦定理得(值或I出一成J0msK或IBcwC?所Acoe-si.n(C+AcosA?因?yàn)?0』虻\》所以5程所紈gk冬a又耽m舟所以i￡jT⑵因?yàn)閨反3-反|二姑』所以|二詢，即也二漏根據(jù)余弦定理及基本不等式得6=建+「'-,甘土如「—*占(7=(2—寸)ac(當(dāng)且僅當(dāng)科『時取等號，即蛙妝+的故△瘁的面積尸%皿日氣+'，即△做的面積的最大值為乓坦.方法、規(guī)律歸納：向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法⑴當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a-b=|a||b|cosa,b.當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a=(x,y),b=(x,y),則a?b=xx+yy11221212平面向量數(shù)量積求解問題的策略a?b求兩向量的夾角:cose=|aj|b|，要注意0e[0,n].兩非零向量垂直的充要條件是：a±b?a?b=0?|a-b|=|a+b|.求向量的模利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：①&=a?a=|a|2或|a|=\'a?a.②|a土b|=*a±b2=拓&±2a?b+b2.③若a=(x,y),則|a|=，Jx2+y2.實(shí)戰(zhàn)演練：丸1.已知單位向量e與e的夾角為一，則向量e+&在向量e-e萬向上的投影為()1231212A.-1B.1C.-—D.M22一一1414_

【答案】A【解析「■里位向量％與勺的夾角為;向量營i+鳥在向量今-功方向上的投影為:s富)侶一禮s富)侶一禮0+扁福日卜亍故選&)A.64【答案】B.42C.36D.282.【安徽省十大名校2018屆高三11月聯(lián)考】如圖，在四邊形MNPQ中，已知NO=OQ,OM=6,OP=10，MN?MQ=-28，則NP?QPC【解析】由MN-MQ=（ON-OM^（OQ-OM）=（-OQ-OM^（OQ-OM）=OM2-OQ2=36-OQ2=-28,解得OQ)A.64【答案】B.42C.36D.282.【安徽省十大名校2018屆高三11月聯(lián)考】如圖，在四邊形MNPQ中，已知NO=OQ,OM=6,OP=10，MN?MQ=-28，則NP?QP【解析】點(diǎn)睛：本題主要考查了平面的運(yùn)算問題，5解答中涉及到平面向量的三角形法則，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，平面向量的基本定理等知識點(diǎn)的綜合考查，解答中熟記平面的數(shù)量積的運(yùn)算和平面向量的化簡是解答的關(guān)鍵，試題比較基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題.【福建省福清市校際聯(lián)盟2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知正方形ABCD的邊長為3，E為線段AC靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接BE交CD于F，則(CA+2BF)?三CA-4BF

本題選擇。選項(xiàng).A.-9B.-39C.-69D.-89【答案】C:則'【解析】由平面幾何的性質(zhì)可得：蕓寫弓【河南省天一大聯(lián)考2018屆高三上學(xué)期階段性測試】一2BN=2BM=-BC，則AM?AN=()3代「38八.13A.4B.——C.5D.本題選擇。選項(xiàng).A.-9B.-39C.-69D.-89【答案】C:則'【解析】由平面幾何的性質(zhì)可得：蕓寫弓【河南省天一大聯(lián)考2018屆高三上學(xué)期階段性測試】一2BN=2BM=-BC，則AM?AN=()3代「38八.13A.4B.——C.5D.—92砰案】h一—^一已知在等邊三角形ABC中，BC=3，【解析】由條件知M，N是BC的三等分點(diǎn)，故AM?AN=（AB+—BCxAC-v/1\-BC7V37展開得到AB^AC-1AB^BC+1AC^BC-

39有邊長為3，AB^AC=—，匕八、…—Z?13一一代入表達(dá)式得到3。故答案為D。一一5.【遼寧省大連育明高級中學(xué)、設(shè)W二，-A.??B.本溪市高級中學(xué)2018屆高三10月月考】在邊長為1的正三角形中，-一二,則""一=等于()D.'C.=&I32329

【答案】C、.寸---11{i\1w-6+6L<?+c-a=lxlx-\lxlx--i-lxlx——1=【解析】，故選：C6.【黑龍江省齊齊哈爾地區(qū)八校2018屆高三期中聯(lián)考】在矩形ABCD中，AB=3,BC=履,BE=2EC,點(diǎn)F在邊CD上，若AB?AF=3，則AE-BF的值為（）A.0B.C.—4D.4【答案】C7.【北京市海淀區(qū)2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知向量a=（1,0），b=（—1,1），則和"）一面=（詢衣=（抑）,()A.alibB.a±八、…—Z?13一一代入表達(dá)式得到3。故答案為D。一一5.【遼寧省大連育明高級中學(xué)、設(shè)W二，-A.??B.本溪市高級中學(xué)2018屆高三10月月考】在邊長為1的正三角形中，-一二,則""一=等于()D.'C.=&IBE=2EC,A.0B.C.—4D.4【答案】C7.【北京市海淀區(qū)2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知向量a=（1,0），b=（—1,1），則和"）一面=（詢衣=（抑）,a-b=(2,—1),.?.26(-1)x(-1),???C錯誤;a+b=(0,1),(a+b)-a=0x1+1x0=0,「.(a+b)±a,?D正確，故選D.

8.【湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟2018屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考】【答案】B1?【解析】試題分析：由于為半徑，圓心，為弦，故在上的投影為一I』?屈'25AB=一廟?屈=——=—222考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積b=1(2a-3b)-(2a+b)=99.【2017山東省棗莊八中高三月考】已知a+ba(1)8.【湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟2018屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考】【答案】B9.【2017山東省棗莊八中高三月考】已知a+ba(1)求向量與b的夾角9；(2)求，，aa+b及向量在方向上的投影.10.【2017河南鄭州一中高三月考】已知|a|=4,|b|=3,(2a—3b)?(2a+b)=61,i-—?一(1)求3與6的夾角9；(2)求|a+b|；(3)若AB=a,B