二分法與求方程近似解（第1課時(shí) 函數(shù)的零點(diǎn)） 高一數(shù)學(xué) 課件（蘇教版2019必修第一冊(cè)）

8.1二分法與求方程近似解

（第一課時(shí)）函數(shù)的零點(diǎn)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.結(jié)合學(xué)過(guò)的函數(shù)圖象與性質(zhì)，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.2.了解零點(diǎn)存在性定理、會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在研究函數(shù)中的作用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象素養(yǎng).新知探究路邊有一條河，小明從A點(diǎn)走到了B點(diǎn).觀察下列兩組畫(huà)面，并推斷哪一組能說(shuō)明小明的行程一定曾渡過(guò)河？將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型.問(wèn)題如圖，若將河看成x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，A，B是人的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則點(diǎn)A，B應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件就能說(shuō)明小明的行程一定曾渡過(guò)河？提示只要滿(mǎn)足點(diǎn)A與點(diǎn)B分布在x軸的兩側(cè)即可，即圖中A處的函數(shù)值與B處的函數(shù)值符號(hào)相反，這也是我們將要學(xué)習(xí)的零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí).1.函數(shù)的零點(diǎn)注意零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)(1)概念：一般地，我們把使函數(shù)y＝f(x)的值為_(kāi)___的實(shí)數(shù)x稱(chēng)為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系.0f(x)＝0橫坐標(biāo)2.零點(diǎn)存在性定理 一般地，若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線(xiàn)，且___________，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn).f(a)·f(b)<0基礎(chǔ)自測(cè)[判斷題]2.若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)f(b)<0.() 提示反例：f(x)＝x2－2x在區(qū)間(－1，3)內(nèi)有零點(diǎn)，但f(－1)·f(3)>0.××3.若函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).() 提示反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，區(qū)間為(－1，3)，滿(mǎn)足條件，但f(x)在(－1，3)內(nèi)有0，1，2三個(gè)零點(diǎn).4.若函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上圖象連續(xù)，且f(a)f(b)>0，則y＝f(x)在(a，b)內(nèi)一定沒(méi)有零點(diǎn).() 提示不正確，如函數(shù)f(x)＝x2在[－1，1]上有零點(diǎn)為0.××[基礎(chǔ)訓(xùn)練]1.下列各圖象表示的函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)的是()解析D中函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，故函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，故選D.答案D2.二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac<0，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是() A.1個(gè) B.2個(gè) C.0個(gè) D.無(wú)法確定解析∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)根，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).答案BA.(－1，0) B.x＝－1C.x＝1 D.x＝0答案B答案B[思考]提示f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，它在(－1，1)上不是連續(xù)的，不能用零點(diǎn)存在定理判定.事實(shí)上，∵f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)無(wú)零點(diǎn).2.若函數(shù)y＝f(x)不滿(mǎn)足零點(diǎn)存在定理的兩個(gè)條件，這個(gè)函數(shù)可能有零點(diǎn)嗎？提示可能有零點(diǎn)，也可能沒(méi)有零點(diǎn).3.在零點(diǎn)存在定理中，若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn).則滿(mǎn)足什么條件時(shí)f(x)在(a，b)上有唯一零點(diǎn)？ 提示滿(mǎn)足f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)，且f(a)·f(b)<0.題型一求函數(shù)的零點(diǎn)【例1】(1)函數(shù)f(x)＝x2－2x－3的零點(diǎn)為_(kāi)_______. (2)若x＝2是f(x)＝x2－mx－3的一個(gè)零點(diǎn)，則m的值為_(kāi)_______.解析(1)令x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1，∴f(x)＝x2－2x－3的零點(diǎn)為3，－1.(2)由題意知f(2)＝4－2m－3＝0，【遷移】(變換結(jié)論)(1)函數(shù)f(x)＝x2－mx＋3在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍為_(kāi)_______. (2)函數(shù)f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零點(diǎn)，則m的取值范圍為_(kāi)_______.解析(1)函數(shù)f(x)＝x2－mx＋3在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于方程x2－mx＋3＝0有兩個(gè)不等實(shí)根.(2)法一f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零點(diǎn)，則x2－mx－3＝0在(1，2)上有唯一的實(shí)數(shù)根，法二∵f(x)＝x2－mx－3是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)且f(0)＝－3.規(guī)律方法探究函數(shù)零點(diǎn)的兩種求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，若存在實(shí)數(shù)根，則函數(shù)存在零點(diǎn)，否則函數(shù)不存在零點(diǎn).(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).【訓(xùn)練1】(1)函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是________. (2)函數(shù)f(x)＝(lgx)2－lgx的零點(diǎn)為_(kāi)_______.解析(1)∵函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，∴2a＋b＝0?b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).(2)由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴l(xiāng)gx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.題型二判斷或證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性【例2】求證：函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2至少有一個(gè)零點(diǎn).證明法一∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，∴f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)為－2，1.故f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn).法二由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，又∵f(x)圖象在[－3，0]上是一條連續(xù)曲線(xiàn)，∴由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一個(gè)零點(diǎn).規(guī)律方法1.若函數(shù)的零點(diǎn)易求，可直接求出零點(diǎn)，否則利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷.2.利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)區(qū)間，且只能判定在區(qū)間上零點(diǎn)的存在性，但需注意，不滿(mǎn)足定理的條件，也可能存在零點(diǎn)，另外要判定有幾個(gè)零點(diǎn)，需結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)或圖象進(jìn)行判定.【訓(xùn)練2】證明：函數(shù)f(x)＝2x＋x在R上有零點(diǎn).f(0)＝20＋0＝1>0，且函數(shù)f(x)在R上的圖象是不間斷的，所以函數(shù)f(x)在(－1，0)上有零點(diǎn)，從而f(x)＝2x＋x在R上有零點(diǎn).題型三函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題【例3】求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解法一∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零點(diǎn).又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數(shù).故函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).法二在同一坐標(biāo)系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖.由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個(gè)零點(diǎn).規(guī)律方法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四種常用方法(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)根就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)結(jié)合單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(4)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.A.0 B.1 C.2 D.3答案C題型四判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間【例4】(1)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的部分對(duì)應(yīng)值如下表：不求a，b，c的值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在區(qū)間是()A.(－3，－1)和(2，4)B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2)D.(－∞，－3)和(4，＋∞)x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6答案(1)A(2)C解析(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)內(nèi)有零點(diǎn)，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)內(nèi)有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)內(nèi)有根.故選A.規(guī)律方法確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(3)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.【訓(xùn)練4】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一個(gè)根所在的區(qū)間是()A.(－1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345解析令f(x)＝ex－(x＋2)，則f(－1)≈0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)≈2.72－3<0，f(2)≈7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一根在(1，2)內(nèi).答案C一、課堂小結(jié)1.通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，通過(guò)學(xué)習(xí)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及判斷零點(diǎn)所在區(qū)間提升邏輯推理、直觀想象素養(yǎng).2.在函數(shù)零點(diǎn)存在定理中，要注意三點(diǎn)：(1)函數(shù)是不間斷的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一個(gè)零點(diǎn).3.方程f(x)＝g(x)的根是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是函數(shù)y＝f(x)－g(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).4.函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，有些方程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解，同樣，函數(shù)問(wèn)題有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ).二、課堂檢測(cè)1.函數(shù)f(x)＝4x－2x－2的零點(diǎn)是()解析由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.答案B答案B3.若函數(shù)f(x)＝mx－1在(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.解析f(0)＝－1，要使函數(shù)f(x)＝mx－1在(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，需f(1)＝m－1>0，即m>1.答案(1，＋∞)4.已知函數(shù)f(x)＝2x－3x，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.解析法一令f(x)＝0，則2x＝3x，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝2x和y＝3x的圖象(圖略)，由圖知函數(shù)y＝2x和y＝3x的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)的