新教材人教a版必修第二冊(cè)10.3.1頻率的穩(wěn)定性10.3.2隨機(jī)模擬學(xué)案

10．3頻率與概率10．頻率的穩(wěn)定性10．隨機(jī)模擬新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析，會(huì)用模擬方法估計(jì)概率，理解用模擬法估計(jì)概率的實(shí)質(zhì)數(shù)學(xué)建模投擲一枚質(zhì)地均勻，形狀規(guī)范的硬幣，正面和反面出現(xiàn)的概率是一樣的，都是eq\f(1,2).很多人會(huì)問，為什么正面和反面出現(xiàn)的概率是一樣的？顯然，硬幣是質(zhì)地均勻，形狀規(guī)范的，哪一面都不會(huì)比另一面有更多的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，正面和反面出現(xiàn)的概率是一樣的，這稱為古典概型的對(duì)稱性，體育比賽經(jīng)常用到這個(gè)規(guī)律來決定誰(shuí)開球，誰(shuí)選場(chǎng)地．為了解釋這個(gè)現(xiàn)象，在歷史上，有很多人對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行過驗(yàn)證，從結(jié)果可以看出，隨著次數(shù)的不斷增加，正面出現(xiàn)的頻率越來越接近eq\f(1,2)，我們也有理由相信，隨著次數(shù)的繼續(xù)增加，正面和反面出現(xiàn)的頻率將固定在eq\f(1,2)處，即正面和反面出現(xiàn)的概率都為eq\f(1,2).[問題]你認(rèn)為頻率與概率之間有什么關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)一頻率的穩(wěn)定性大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性．一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．頻率和概率可以相等嗎？提示：可以相等．但因?yàn)槊看卧囼?yàn)的頻率為多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．1．氣象臺(tái)預(yù)測(cè)“本市明天降雨的概率是90%”，對(duì)預(yù)測(cè)的正確理解是()A．本市明天將有90%的地區(qū)降雨B．本市明天將有90%的時(shí)間降雨C．明天出行不帶雨具肯定會(huì)淋雨D．明天出行不帶雨具可能會(huì)淋雨解析：選D“本市明天降雨的概率是90%”也即為“本市明天降雨的可能性為90%”．故選D.2．某家具廠為足球比賽場(chǎng)館生產(chǎn)觀眾座椅．質(zhì)檢人員對(duì)該廠所生產(chǎn)的2500套座椅進(jìn)行抽檢，共抽檢了100套，發(fā)現(xiàn)有2套次品，則該廠所生產(chǎn)的2500套座椅中大約有________套次品．解析：設(shè)有n套次品，由概率的統(tǒng)計(jì)定義，知eq\f(n,2500)＝eq\f(2,100)，解得n＝50，所以該廠所生產(chǎn)的2500套座椅中大約有50套次品．答案：50知識(shí)點(diǎn)二隨機(jī)模擬1．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；(2)構(gòu)建模擬試驗(yàn)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)．2．蒙特卡洛方法利用隨機(jī)模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法．1．用拋質(zhì)地均勻的硬幣的方法可產(chǎn)生________個(gè)隨機(jī)數(shù)，拋質(zhì)地均勻的骰子可產(chǎn)生________個(gè)隨機(jī)數(shù)．答案：262．在用隨機(jī)模擬方法解決“盒中僅有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中取4個(gè)，求取出2個(gè)白球2個(gè)黑球的概率”問題時(shí)，可讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～9的隨機(jī)整數(shù)，并用1～4代表白球，用5～9代表黑球．因?yàn)槭敲?個(gè)球，所以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組．若得到的一組隨機(jī)數(shù)為“4678”，則它代表的含義是__________________．解析：分析題意，易知數(shù)字4代表白球，數(shù)字6，7，8代表黑球，因此這組隨機(jī)數(shù)的含義為摸出的4個(gè)球中，只有1個(gè)白球．答案：摸出的4個(gè)球中，只有1個(gè)白球用頻率估計(jì)概率[例1](鏈接教科書第253頁(yè)例1)某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率(1)填寫表中擊中靶心的頻率；(2)這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？[解](1)，，，，，0.91.(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)，所以這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.9.eq\a\vs4\al()A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率．頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率．2．解此類題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估計(jì)概率．[跟蹤訓(xùn)練]近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率．解：(1)廚余垃圾投放正確的概率為eq\f(“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量,廚余垃圾總量)＝eq\f(400,400＋100＋100)＝eq\f(2,3).(2)設(shè)生活垃圾投放錯(cuò)誤為事件A，則A的概率為“廚余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里廚余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里廚余垃圾量和可回收物量的總和除以生活垃圾總量，即P(A)＝eq\f(30＋20＋100＋20＋100＋30,1000)＝0.3.游戲的公平性[例2](鏈接教科書第253頁(yè)例2)有兩個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子都裝有4個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.(1)甲從其中一個(gè)箱子中摸出一個(gè)球，乙從另一個(gè)箱子中摸出一個(gè)球，誰(shuí)摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰(shuí)就獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，求甲獲勝的概率；(2)摸球方法與(1)相同，若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字相同甲獲勝，所標(biāo)數(shù)字不相同則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？請(qǐng)說明理由．[解](1)記甲、乙摸出的數(shù)字為(x，y)，則共有16種情況，則x>y的有(4，1)，(4，2)，(4，3)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，共6種情況，故甲獲勝的概率為eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).(2)不公平．理由如下：摸到的球上所標(biāo)數(shù)字相同的情況有(4，4)，(3，3)，(2，2)，(1，1)，共4種情況，故甲獲勝的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)，乙獲勝的概率為eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)，故不公平．eq\a\vs4\al()游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對(duì)游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的；(2)具體判斷時(shí)，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較．[跟蹤訓(xùn)練]有一個(gè)轉(zhuǎn)盤游戲，轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字．游戲規(guī)則如下：兩個(gè)人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝．猜數(shù)方案從以下三種方案中選一種：A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B．猜“是4的整數(shù)倍數(shù)”或“不是4的整數(shù)倍數(shù)”；C．猜“是大于4的數(shù)”或“不是大于4的數(shù)”．請(qǐng)回答下列問題：(1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜數(shù)方案，并且怎樣猜？為什么？(2)為了保證游戲的公平性，你認(rèn)為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？為什么？(3)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種其他的猜數(shù)方案，并保證游戲的公平性．解：(1)A方案中，“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率都為0.5；B方案中，“是4的整數(shù)倍的數(shù)”的概率為，“不是4的整數(shù)倍的數(shù)”的概率為0.8；C方案中，“是大于4的數(shù)”的概率為，“不是大于4的數(shù)”B方案，猜“不是4的整數(shù)倍的數(shù)”獲勝的概率最大．(2)為了保證游戲的公平性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A.因?yàn)榉桨窤猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”，從而保證了該游戲是公平的．(3)可以設(shè)計(jì)為：猜“是大于5的數(shù)”或“不是大于5的數(shù)”，也可以保證游戲的公平性．用隨機(jī)模擬估計(jì)概率[例3](鏈接教科書第256頁(yè)例3、例4)一個(gè)袋中有7個(gè)大小、形狀相同的小球，6個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)任取1個(gè)球，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬試驗(yàn)計(jì)算恰好第三次摸到紅球的概率．[解]用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示紅球，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到7之間(包括1和7)取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，因?yàn)橐笄『玫谌蚊郊t球的概率，所以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，如下，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：666743671464571561156567732375716116614445117573552274114662就相當(dāng)于做了20次試驗(yàn)，在這些數(shù)組中，前兩個(gè)數(shù)字不是7，第三個(gè)數(shù)字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是紅球，它們分別是567和117，共兩組，因此恰好第三次摸到紅球的概率約為eq\f(2,20)＝0.1.eq\a\vs4\al()利用隨機(jī)模擬估計(jì)概率應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)用整數(shù)隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)估計(jì)概率時(shí)，首先要確定隨機(jī)數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗(yàn)結(jié)果．我們可以從以下三方面考慮：(1)當(dāng)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)等可能時(shí)，樣本點(diǎn)總數(shù)即為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍，每個(gè)隨機(jī)數(shù)代表一個(gè)樣本點(diǎn)；(2)研究等可能事件的概率時(shí)，用按比例分配的方法確定表示各個(gè)結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)及總個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)每次試驗(yàn)結(jié)果需要n個(gè)隨機(jī)數(shù)表示時(shí)，要把n個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組來處理，此時(shí)一定要注意每組中的隨機(jī)數(shù)字能否重復(fù)．[跟蹤訓(xùn)練]已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采取隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率．先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)數(shù)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃有兩次命中的概率為________．解析：由題意知，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有191，271，932，812，393，共5組隨機(jī)數(shù)，∴所求概率為eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)探究統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題天安門廣場(chǎng)國(guó)旗的升降時(shí)間是根據(jù)北京的日出日落時(shí)間確定的，具體時(shí)間是由北京天文臺(tái)的天文學(xué)家專門計(jì)算的．早晨，當(dāng)太陽(yáng)的上部邊緣與天安門廣場(chǎng)所見地平線相平時(shí)，為升旗時(shí)間．國(guó)旗的降旗時(shí)間分為逐漸推遲和逐漸提前兩個(gè)時(shí)段．遇到陰天、雨天或雪天，升旗和降旗的時(shí)間與前一天相同．每個(gè)月第一天，天安門廣場(chǎng)升旗時(shí)由軍樂隊(duì)奏國(guó)歌，整個(gè)升旗持續(xù)時(shí)間為2分零7秒．下表是某年部分日期的天安門廣場(chǎng)升旗時(shí)刻表.日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻1月1日7：365月15日5：001月23日7：306月9日4：452月5日7：156月16日4：452月21日7：006月21日4：453月3日6：458月20日5：303月13日6：309月5日6：453月22日6：1510月6日6：154月10日5：4510月21日6：304月20日5：3011月3日6：455月1日5：1512月18日7：30將表中的升旗時(shí)刻化為分?jǐn)?shù)后作為樣本數(shù)據(jù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如：7：36可化為7\f(36,60)＝7\f(3,5))).[問題探究]1．請(qǐng)完成下面的頻率分布表及頻率分布直方圖.分組頻數(shù)頻率4：00～4：5935：00～5：596：00～6：597：00～7：595合計(jì)20eq\a\vs4\al()提示：頻率分布表及頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率4：00～4：5935：00～5：5956：00～6：5977：00～7：595合計(jì)20eq\a\vs4\al()2．若甲學(xué)校從上表日期中隨機(jī)選擇一天觀看升旗．試估計(jì)甲學(xué)校觀看升旗的時(shí)刻早于6：00的概率．提示：由表知，甲學(xué)校從20次升旗日期中隨機(jī)選擇一天觀看升旗，觀看升旗的時(shí)刻早于6：00的為8次，利用頻率估計(jì)概率，可知甲學(xué)校觀看升旗的時(shí)刻早于6：00的概率約為eq\f(8,20)＝0.4.[遷移應(yīng)用]若甲、乙兩個(gè)學(xué)校各自從表中五月、六月的日期中隨機(jī)選擇一天觀看升旗，求兩校觀看升旗的時(shí)刻均不早于5：00的概率．解：由題中表知，五月、六月的升旗日期中不早于5：00的時(shí)間有2次，兩個(gè)月一共升旗5次．設(shè)按表中五月、六月的日期先后順序，甲校選擇一天觀看升旗分別為a1，a2，a3，a4，a5，乙校選擇一天觀看升旗分別為b1，b2，b3，b4，b5，則甲、乙兩個(gè)學(xué)校觀看升旗的時(shí)刻的樣本空間Ω＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a4，b1)，(a5，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(a4，b2)，(a5，b2)，(a1，b3)，(a2，b3)，(a3，b3)，(a4，b3)，(a5，b3)，(a1，b4)，(a2，b4)，(a3，b4)，(a4，b4)，(a5，b4)，(a1，b5)，(a2，b5)，(a3，b5)，(a4，b5)，(a5，b5)}，共有25個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)兩校觀看升旗的時(shí)刻均不早于5：00為事件A，則A包含4個(gè)樣本點(diǎn)，即(a1，b1)，(a2，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，所以P(A)＝eq