數(shù)學新設(shè)計湘教版必修三講義第六章立體幾何初步章末檢測6

章末檢測一、選擇題1．觀察圖中四個幾何體，其中判斷正確的是()A．(1)是棱臺 B．(2)是圓臺C．(3)是棱錐 D．(4)不是棱柱答案C解析結(jié)合柱、錐、臺、球的定義可知(3)是棱錐，(4)是棱柱，故選C.2.如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，則△OAB的面積為()A．6 B．3eq\r(2)C．6eq\r(2) D．12答案D解析由斜二測畫法規(guī)則可知，△OAB為直角三角形，且兩直角邊長分別為4和6，故面積為12.3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若m∥n，m⊥α，則n⊥αD．若m∥α，α⊥β，則m⊥β答案C解析可以借助正方體模型對四個選項分別剖析，得出正確結(jié)論．A項，當m∥α，n∥α時，m，n可能平行，可能相交，也可能異面，故錯誤；B項，當m∥α，m∥β時，α，β可能平行也可能相交，故錯誤；C項，當m∥n，m⊥α時，n⊥α，故正確；D項，當m∥α，α⊥β時，m可能與β平行，可能在β內(nèi)，也可能與β相交，故錯誤．故選C.4．設(shè)a，b，c是空間的三條直線，給出以下三個命題：①若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；②若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面；③若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析借助正方體中的線線關(guān)系易知①②全錯；由公理3知③正確．5．設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β答案B解析利用相應的判定定理或性質(zhì)定理進行判斷，可以參考教室內(nèi)存在的線面關(guān)系輔助分析．選項A，若l∥α，l∥β，則α和β可能平行也可能相交，故錯誤；選項B，若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故正確；選項C，若l⊥α，l∥β，則α⊥β，故錯誤；選項D，若α⊥β，l∥α，則l與β的位置關(guān)系有三種可能：l⊥β，l∥β，l?β，故錯誤．故選B.6.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1為異面直線，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案C解析由已知AC＝AB，E為BC中點，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正確．7．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l答案D解析結(jié)合給出的已知條件，畫出符合條件的圖形，然后判斷得出．根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示．由圖可知α與β相交，且交線平行于l，故選D.8．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(6,5)πcm3 B．3πcm3C.eq\f(2,3)πcm3 D.eq\f(7,3)πcm3答案D解析由三視圖可知，此幾何體為底面半徑為1cm、高為3cm的圓柱上部去掉一個半徑為1cm的半球，所以其體積為V＝πr2h－eq\f(2,3)πr3＝3π－eq\f(2,3)π＝eq\f(7,3)π(cm3)．9．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC答案C解析如圖所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正確．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE.∴B正確．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正確．10．已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(\r(2),2)答案A解析利用三棱錐的體積變換求解．由于三棱錐S－ABC與三棱錐O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S－ABC的高是三棱錐O－ABC高的2倍，所以三棱錐S－ABC的體積也是三棱錐O－ABC體積的2倍．在三棱錐O－ABC中，其棱長都是1，如圖所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)，∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).二、填空題11．設(shè)平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且點S位于平面α，β之間，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則SD＝________．答案9解析由面面平行的性質(zhì)得AC∥BD，eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,SD)，解得SD＝9.12.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，則∠C1MN等于________．答案90°解析∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN?平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN為直角，∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面MB1C1，又MC1?平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.13．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為________．答案3解析將三視圖還原為直觀圖，然后根據(jù)三視圖特征及數(shù)據(jù)，利用體積公式求解．由幾何體的三視圖可知該幾何體是一個底面是正方形的四棱錐，其底面邊長為3，且該四棱錐的高是1，故其體積為V＝eq\f(1,3)×9×1＝3.14．下列四個命題：①若a∥b，a∥α，則b∥α；②若a∥α，b?α，則a∥b；③若a∥α，則a平行于α內(nèi)所有的直線；④若a∥α，a∥b，b?α，則b∥α.其中正確命題的序號是________．答案④解析①中b可能在α內(nèi)；②a與b可能異面；③a可能與α內(nèi)的直線異面．三、解答題15.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，點D是AB的中點．(1)求證：AC⊥B1C；(2)求證：AC1∥平面CDB1.證明(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C?平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)連結(jié)BC1交B1C于O點，連結(jié)OD.如圖．∵O，D分別為BC1，AB的中點，∴OD∥AC1.又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.16.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點．(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱錐C－A1DE的體積．(1)證明連結(jié)AC1交A1C于點F，則F為AC1中點．又D是AB中點，連結(jié)DF，則BC1∥DF.因為DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)得∠ACB＝90°，CD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以V三棱錐C－A1DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(3)×eq\r(2)＝1.17．如果一個幾何體的正視圖與左視圖都是全等的長方形，邊長分別是4cm與2cm，如圖所示，俯視圖是一個邊長為4cm的正方形．(1)求該幾何體的全面積；(2)求該幾何體的外接球的體積．解(1)由題意可知，該幾何體是長方體，底面是正方形，邊長是4，高是2，因此該幾何體的全面積是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)，即幾何體的全面積是64cm2.(2)由長方體與球的性質(zhì)可得，長方體的體對角線是球的直徑，記長方體的體對角線為d，球的半徑是r，d＝eq\r(16＋16＋4)＝eq\r(36)＝6(cm)，所以球的半徑為r＝3(cm)．因此球的體積V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)×27π＝36π(cm3)，所以外接球的體積是36πcm3.18．如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．(1)求證：CE∥平面PAD；(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.證明(1)法一如圖(1)，取PA的中點H，連結(jié)EH，DH.圖(1)因為E為PB的中點，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB.又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD.因此四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD，因此CE∥平面PAD.法二如圖(2)，連結(jié)CF.圖(2)因為F為AB的中點，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD.又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD.因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，PA?平面PA