2021北京重點(diǎn)校初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編：實(shí)際問題與二次函數(shù)

第14頁/共14頁2021北京重點(diǎn)校初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編實(shí)際問題與二次函數(shù)一、單選題1．（2021·北京師大附中九年級期中）北京環(huán)球國際影城霸天虎過山車是很多人喜歡的項(xiàng)目．過山車在軌道上運(yùn)行的過程中有一段路線可以看作是拋物線的一部分，其運(yùn)行的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了過山車在該路段運(yùn)行的水平距離x與y的三組數(shù)據(jù)A、B、C，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出，此過山車運(yùn)行到最低點(diǎn)時，所對應(yīng)的水平距離x可能為（）A．4 B．5 C．7 D．92．（2021·北京八中九年級期中）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上的動點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，連接，則線段的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2021·北京十五中九年級期中）城市中“打車難”一直是人們關(guān)注的一個社會熱點(diǎn)問題.近幾年來，“互聯(lián)網(wǎng)＋”戰(zhàn)略與傳統(tǒng)出租車行業(yè)深度融合，“優(yōu)步”、“滴滴出行”等打車軟件就是其中典型的應(yīng)用，名為“數(shù)據(jù)包絡(luò)分析”（簡稱DEA）的一種效率評價方法，可以很好地優(yōu)化出租車資源配置，為了解出租車資源的“供需匹配”，北京、上海等城市對每天24個時段的DEA值進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，DEA值越大，說明匹配度越好.在某一段時間內(nèi)，北京的DEA值y與時刻t的關(guān)系近似滿足函數(shù)關(guān)系（a，b，c是常數(shù)，且≠0），如圖記錄了3個時刻的數(shù)據(jù)，根據(jù)函數(shù)模型和所給數(shù)據(jù)，當(dāng)“供需匹配”程度最好時，最接近的時刻t是（

）A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.54．（2021·北京市回民學(xué)校九年級期中）如圖，點(diǎn)C是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓上的動點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A，B重合），AB=4．設(shè)弦AC的長為x，△ABC的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（

）B．C．D．二、解答題5．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）某公司以每件40元的價格購進(jìn)一種商品，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y（件）與每件的銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系:y＝﹣2x+140（x＞40）．(1)當(dāng)x＝50時，總利潤為元；(2)若設(shè)總利潤為w元，則w與x的函數(shù)關(guān)系式是；(3)若每天的銷售量不少于38件，則銷售單價定為多少元時，此時利潤最大，最大利潤是多少？6．（2021·北京師大附中九年級期中）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m+1，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)A（﹣2，1），B（0，1）．（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用m表示）；（2）若二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）若二次函數(shù)圖象與線段AB有且只有一個交點(diǎn)，求m的取值范圍．7．（2021·北京十五中九年級期中）圖1是一個傾斜角為α的斜坡的橫截面．斜坡頂端B與地面的距離BC為3米．為了對這個斜坡上的綠地進(jìn)行噴灌，在斜坡底端安裝了一個噴頭A，A與C的距離是6米，噴頭A噴出的水珠在空中走過的曲線可以看作拋物線的一部分．設(shè)噴出水珠的豎直高度為y（單位：米）（水珠的豎直高度是指水珠與地面的距離），水珠與噴頭A的水平距離為x（單位：米），y與x之間近似滿足函數(shù)關(guān)系（a，b是常數(shù)，），圖2記錄了x與y的相關(guān)數(shù)據(jù)．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的樹，它與噴頭A的水平距離為2米，垂直距離為1米，通過計(jì)算判斷從A噴出的水珠能否越過這棵樹．8．（2021·北京·人大附中九年級期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，P點(diǎn)沿邊AC向C以每秒3個單位長度的速度運(yùn)動，Q點(diǎn)沿邊BC向B以每秒4個單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C、B時，運(yùn)動停止，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）．（1）①當(dāng)運(yùn)動停止時，t的值為；②設(shè)P、C之間的距離為y，則y與t滿足關(guān)系（填“正比例函數(shù)”、“一次函數(shù)”或“二次函數(shù)”）；（2）設(shè)△PCQ的面積為S．①求S的表達(dá)式（用含t的式子表示）；②求當(dāng)t為何值時，S取得最大值，這個最大值是多少？9．（2021·北京八中九年級期中）體育測試時，九年級一名學(xué)生，雙手扔實(shí)心球．已知實(shí)心球所經(jīng)過的路線是某個二次函數(shù)圖象的一部分，如果球出手處點(diǎn)距離地面的高度為，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為時，達(dá)到最大高度的處（如圖），問該學(xué)生把實(shí)心球扔出多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留根號）10．（2021·北京五十五中九年級期中）某商店經(jīng)銷一種健身球，已知這種健身球的成本價為每個20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種健身球每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）有如下關(guān)系：y=﹣2x+80（20≤x≤40）．設(shè)這種健身球每天的銷售利潤為W元．（1）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該種健身球銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？11．（2021·北京八十中九年級期中）學(xué)校要圍一個矩形花圃,其一邊利用足夠長的墻,另三邊用籬笆圍成,由于園藝需要,還要用一段籬笆將花圃分隔為兩個小矩形部分（如圖所示）,總共36米的籬笆恰好用完（不考慮損耗）．設(shè)矩形垂直于墻面的一邊AB的長為x米（要求AB＜AD）,矩形花圃ABCD的面積為S平方米．（1）求S與之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量的取值范圍；（2）要想使矩形花圃ABCD的面積最大,AB邊的長應(yīng)為多少米？

參考答案1．C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，可以得到對稱軸x的取值范圍，從而可以得到哪個選項(xiàng)是正確的．【詳解】解答：解：設(shè)該拋物線的對稱軸為x，由圖象可得，解得6＜x＜9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出對稱軸x的取值范圍．2．A【分析】根據(jù)拋物線解析式即可得出A點(diǎn)與B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意進(jìn)一步可以得出BC長為5，利用三角形中位線性質(zhì)可知OE=BD，而BD最小值即為BC長減去圓的半徑，據(jù)此進(jìn)一步求解即可.【詳解】∵，∴當(dāng)時，，解得：，∴A點(diǎn)與B點(diǎn)坐標(biāo)分別為：(，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，又∵圓心C坐標(biāo)為(0，4)，∴OC=4，∴BC長度=，∵O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，E點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，∴OE為△ABD的中位線，即：OE=BD，∵D點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，由圖可知，BD最小值即為BC長減去圓的半徑，∴BD的最小值為4，∴OE=BD=2，即OE的最小值為2，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線性質(zhì)與三角形中位線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.3．C【分析】先用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得y取得最大值時x的值即可得答案．【詳解】將（4，0.43）、（5，1.1）、（6，0.87）代入解析式得：，解得：，∴y=-0.45x2+4.72x-11.25，當(dāng)x=-≈5.244時，y取得最大值，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)不是二次函數(shù)，也不是一次函數(shù)，又AB為定值，當(dāng)OC⊥AB時，△ABC面積最大，此時AC=2，用排除法做出解答．【詳解】解：∵AB=4，AC=x，∴BC=，∴S△ABC=BC?AC=，∵此函數(shù)不是二次函數(shù)，也不是一次函數(shù)，

∴排除A、C，∵AB為定值，當(dāng)OC⊥AB時，△ABC面積最大，此時AC=2，即x=2時，y最大，故排除D．故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，列出函數(shù)關(guān)系式數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的解題關(guān)鍵．5．(1)（元）；(2)；(3)銷售單價定為51元時，利潤最大，最大利潤是418元【分析】（1）將代入一次函數(shù)解析式可得銷售量，然后根據(jù)每件的利潤乘以數(shù)量即為總利潤即可得；（2）根據(jù)利潤=銷售數(shù)量×每件的利潤可得，把代入整理即可得w與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）由每天的銷售量不少于38件，可得，進(jìn)而可求出；根據(jù)（2）中結(jié)論整理為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得，當(dāng)時，w隨x的增大而增大，所以當(dāng)時，w有最大值，代入求解即可得．(1)解：當(dāng)時，，∴銷售量為40件，利潤為：（元），故答案為：400；(2)解：由題意得：，，，∴w與x的函數(shù)關(guān)系式為，故答案為：；(3)解：∵，∴，解得：；，∵，∴當(dāng)時，w隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時，w有最大值，最大值為：（元），∴銷售單價定為51元時，利潤最大，最大利潤是418元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)求最值問題的知識，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．6．（1）（m，m+1）；（2）m≤﹣1；（3）﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式求解．（2）由拋物線開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)可得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)m+1≤0時滿足題意．（3）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)可得拋物線運(yùn)動規(guī)律，通過數(shù)形結(jié)合求解．【詳解】解答：解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，∴拋物線頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，m+1）．（2）∵拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+1），∴當(dāng)m+1≤0時，拋物線與x軸有交點(diǎn)，解得m≤﹣1．（3）∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+1），∴拋物線頂點(diǎn)所在圖象為直線y＝x+1，當(dāng)m＜﹣2時，拋物線對稱軸在點(diǎn)A左側(cè)，把A（﹣2，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得1＝4+4m+m2+m+1，解得m＝﹣4或m＝﹣1（舍），如圖，∴m增大時，拋物線與線段有交點(diǎn)，當(dāng)m＜0時，拋物線對稱軸在點(diǎn)B左側(cè)，把B（0，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得0＝1﹣2m+m2+m+1，解得m＝﹣1或m＝2（舍）．此時拋物線同時經(jīng)過點(diǎn)A，B，如圖，∴﹣4≤m＜﹣1滿足題意．m增大，拋物線沿直線y＝x+1移動，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時m＝0，∴﹣1＜m≤0滿足題意．綜上所述，﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)找出拋物線運(yùn)動規(guī)律，通過數(shù)形結(jié)合求解．7．（1）；（2）水珠能越過這棵樹，理由見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解可得；（2）代入x=2求得y的值后與1+1.8比較大小后即可確定正確的結(jié)論．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，BC=3，AC=6．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，3）．∵B（6，3），（4，4）在拋物線上，解得：∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為．（2）當(dāng)x＝2時，＝3＞1+1.8，所以水珠能越過這棵樹．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點(diǎn)．8．（1）①2；②一次函數(shù)；（2）①；②，面積最大為【分析】（1）①根據(jù)運(yùn)動速度，以及、的長度，即可求解；②求得與的關(guān)系式，即可求解；（2）①求得線段、的長度，即可求得S的表達(dá)式；②根據(jù)表達(dá)式可得S與t為二次函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）①運(yùn)動停止時，分別到達(dá)終點(diǎn)點(diǎn)和B點(diǎn)，故答案為②由題意可得：，，即，∴y與t滿足一次函數(shù)的關(guān)系故答案為一次函數(shù)（2）①由題意可得：，△PCQ的面積故答案為：②由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：，開口向下，對稱軸為∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，涉及了正比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，理解題意，找到題中的等量關(guān)系．9．米【分析】以所在直線為軸，過點(diǎn)作的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，然后設(shè)函數(shù)解析式為，進(jìn)而把點(diǎn)A代入求解函數(shù)解析式，最后求解問題即可．【詳解】解：以所在直線為軸，過點(diǎn)作的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則有，如圖所示：設(shè)函數(shù)解析式為：，則把點(diǎn)A代入得：，解得：，∴函數(shù)解析式為，令，則有，解得：（舍），，所以，該同學(xué)把實(shí)心球扔出米．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（1）w=﹣2x2+120x﹣1600；（2）單價定為30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元【分析】（1）根據(jù)總利潤=單價銷售量，列出w與x、y的函數(shù)關(guān)系式，再將y=﹣2x+80代入即可；（2）將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式，即可解題.【詳解】解：（1），答：w與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=﹣2x2+120x﹣1600．（2）w=﹣2x2+120x﹣1600=，∵﹣2＜0，

∴當(dāng)x=30時，w有最大值．w最大值為200．答：銷售單價定為30元時