一元二次方程-韋達定理的應用及答案

一二方韋定的用知點一元二次方程根的判別式：當eq\o\ac(△,)__當eq\o\ac(△,)_方_______________當eq\o\ac(△,)_方__________韋定的用1.程的一個根，求另一個根和未知系數(shù)3.程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數(shù)的值4.數(shù)的和與積，這兩個數(shù)例1.于x的一元二次方程

x

mxm

證當原方程永遠有兩個實數(shù)例2.知關于x的方程

kx

2

xx

有兩個不相等的實數(shù)(1)k值范(2)存在實數(shù)k使此方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?存在，求出k值若存在，說明理由.例3于x的方程

xk0(1)個方程有實數(shù)根，求k的取值范(2)若這個方程有一個根為，求k;例4.知關于x的一元二次方程

xmx

(1)：論取么數(shù)值，這個方程總有兩不相等的實數(shù)根。(2)個方程的兩個實數(shù)根

xx1

滿足

2xm1

，的值。例5為何值時，方程

8

2

x

的兩根：(1)均為正均為負一個正，一個負根為為倒大于2.例6已知a,b,c,ABC邊長，于的方程

b(x

2(x

0

有兩個相等的實根，

2求證：這個三角形是直角三角形。2例7.若，關于方程

x

mn)x

mmn兩個相等的正的實數(shù)根，求的值。n課堂練習：1.元二次方程中，數(shù)根的是（

x2x

2xx

D.

xx,x1

是方程

x

的兩個根，則

1x1

的值是（A.3

.13.的二方程

m

2

2

m0

的一個根為0，的值為（C.1或－D.等于實數(shù)4.

xk2k

的兩根互為相反數(shù)，k的值為（=5-5B.kk=x

mx

的兩根之差的平方為，m的值為（A.±86.于x的方程

102

，若有一個根為，m=________，這時方程的另一個根是；若兩根之和，則m=_______這時方程的兩個根____________7.程

x

2

的一個根為

，得p=_______3

是關于x的方程2x

的一個根，一個根為_____k_____2xx

兩根為，，則

______,(=______

。9a

n

與3

是同類項，則11.解下列方程：(1)

(22

(2)

x

(3)

5x

012.關于x的方程

2aa

有實數(shù)根，a范圍。

x,x是方程21

的兩根，利用根與系數(shù)關系求下列各式的值：(1)

x1)(1

；(2)

x1xx2

；(3)

1

2

2

2

14.關于x的方程

xa

，試說明無論a為任何實數(shù)，方程總有兩個不等實數(shù)根。15.已知關于方程

x

2m

，（1m時，方程有兩個相等的實數(shù)根？（2是否存在實數(shù)m方程的兩根由。

x1+x2

存在，求出方程的根；存在，請說明理16.關于x一元二次程

)b)

有兩個相等的實數(shù)其中b,c是三角形三邊的長斷這個三角形的形狀。Rt中，兩直角邊長為方程

x7)x(m2)

的兩根，且斜邊長為13

ABC的值.

(((x-2=5D.日期__________100分名______分__________1.的方

中，如果，那么根的情況是（）實數(shù)根x

x

的左邊變成平方的形式(

x

2

x,x1

是方程2x

0

的兩根，1

2

2

2

的值是（4.方程

C.62m

有兩個實數(shù)根，則下列關于判別式的判斷正確的是（）

nmk

B.

nmk0

n

D.

nmk5.x的一元二次方程

kx

x

有兩個不相等的實數(shù)根，k的取值范圍為（k<1B.k≠0D.且k6.的方

ax2ax

有兩個不相等的實數(shù)根a的值為（B.2<a<2a2D.a且a≠7.方程

x

2

mxn0)

的一個根，m等________8.元二次方程

x

有兩個相等的實數(shù)根，k=_______9.于x的方程

2k2

有兩個不相等的實數(shù)根，那么k范圍_______x,x是方程1

的兩根，則：(1)

x12

；(2)

x12

==________(3)

(x)2

11.解下列一元二次方程：(1)

22

(2)

72

(3)

x212.已知關于方程

2

2

0

的一個根為求m此方程的另一個根。13.已知：于一元二次方程

xmx2m

，＞0，：有兩個不相等的實數(shù)根。14.若規(guī)定兩數(shù)b過“※到即a※b=4ab.例如2※6=4×2×6=48.

(1)的值；(2)中x。15.求證：不論k么實數(shù)，方程

x

kk

一定有兩個不相等的實數(shù)一二方韋定的用考案

知點一元二次方程根的判別式：當eq\o\ac(△,)時當eq\o\ac(△,)時

bb

00

方程個不相等的實數(shù)根，方程有兩個相等的實數(shù)根，當eq\o\ac(△,)時

b2

方實數(shù)韋定的用，求另一個根和未知系數(shù)3.程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數(shù)的值4.數(shù)的和與積，這兩個數(shù)例1.于x的一元二次方程

x2m

證當原方程永遠有兩個實數(shù)分析：

2ac)

m

配方法例2.知關于x的方程

有兩個不相等的實數(shù)(1)k值范(2)存在實數(shù)k使此方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?存在，求出k值若存在，說明理由.

k

且

）不存在時無實數(shù)根例3于x的方程

xk0(1)個方程有實數(shù)根，求k的取值范(2)若這個方程有一個根為，求k;k≤5）例4.知關于x的一元二次方程

x2m

(1)：論取么數(shù)值，這個方程總有兩不相等的實數(shù)根。(2)個方程的兩個實數(shù)根

xx1

滿足

2xm1

，的值。

2

ac

2

4(

2

m

2

2xxxm，x212111x2m1

，代入方程求，mm12

例5為何值時，方程

8x

的兩根：

2(2)均為正均為負一個正，一個負根為為倒大于2.2分析：

22

7)兩根之和和兩根之積去判斷。例6已知a,b,c,ABC邊長，于的方程

b(x

2(x

有兩個相等的實根，求證：這個三角形是直角三角形。證明：

2a2

4(b)()a

例7.若，關于方程

x2n)x

mmn有個相等的正的實數(shù)根，求的值。n分析：

mn)

2

mnmn)

1,4課堂練習：1.元二次方程中，數(shù)根的是（

x

x

2xx

D.

x

x,x1

是方程

x

的兩個根，則

1x1

的值是（AA.3

.13.的二方程

m

2

2

m0

的一個根為0，的值為）A.1C.13D.不等于1的實數(shù)4.

x

2k

k2)

的兩根互為相反數(shù)，k的值為（）x2

的兩根之差的平方為，m的值為（A）A.±8B.8C.-86.于x的方程

10

2

x

，個根為0則______，這時方程另一個根_0；若兩根之和為

，則-9這方程的兩個根____________7.程

x

2

的一個根為

，得1

x2

_____3

是關于x的方程

x

的一個根，一個根為

3

2x

x

兩根為，，則

2

=__19

。

1221221221229a

nn

與3

是同類項，則n=___2___11.解下列方程：(1)

(22

16

(2)

x

(3)

5x

0x1

3,212.關于x的方程

2

axa3)

有實數(shù)根，a范圍。

且

x,x1

是方程2x

的兩根，利用根與系數(shù)關系求下列各式的值：(1)

x1)(1

；(2)

x1xx2

；(3)

1

2

2

(2)6(3)314.關于x的方程

xa

，試說明無論a為任何實數(shù)，方程總有兩個不等實數(shù)根。分析：

a3)4

15.已知關于方程

x2m2

，（1m時，方程有兩個相等的實數(shù)根？（2是否存在實數(shù)m方程的兩根由。

x1+x2

存在，求出方程的根；存在，請說明理(1)

mm48

，

mm1

xx(x2112xxx12

2

，可3

m

，解得m16.關于x一元二次程

)

2

2(b)x0

有兩個相等的實數(shù)其中b,c是三角形三邊的長斷這個三角形的形狀。解答：

4(a)(4(aa0或a等腰三角形

2217.已知eq\o\ac(△,Rt)角邊長為方程ABC的值m5,ABC答案：

xx(2)

的兩根，且斜邊長為，求韋達定理的應用測試題日期__________100分名______分__________1.的方

2x

中，如果，那么根的情況是x

x

的左邊變成平方的形式(D

x2)(x-2D.(x3.

x,x方程2x1

0

的兩根，1

2

2

2

的值是）4.方程

2

m

有兩個實數(shù)根，則下列關于判別式的判斷正確的是D）

nmk

B.

nmk0

n

D.

nmk5.x的一元二次方程

kxx

有兩個不相等的實數(shù)根，k的取值范圍為（）k<1B.k≠0D.k<1且k6.的方

ax2ax

有兩個不相等的實數(shù)根a的值為）B.2<a<2且a2D.a-2且a27.方程

x

2

mxn0)

的一個根，m等_____8.元二次方程

x

有兩個相等的實數(shù)根，k=______果于的方程

2x

有兩個不相等的實數(shù)根，

那么k值范圍是__

k

_____x,x1

是方程

的兩根，則：(1)

x12

=___-5_____；(2)

x12

==_____2___；(3)

(x)2

=____17____

212111.解下列一元二次方程：2121(1)

22

(2)

72

(3)

x2(73)(03xxxx1

x

12.已知關于方程

2

2

0

的一個根為求m此方程的另一個根。6513.已知：于一元二次方程

xmx2m

，＞0，：有兩個不相等的實數(shù)根。14.若規(guī)定兩數(shù)b過“※到即a※b=4ab.例如2※6=4×2×6=48.(1)的值；(2)中x。

x1215.求證：不論k么實數(shù)，方程

x

2

kk

一定有兩個不相等的實數(shù)分析：

3)一元二次程、二次函與一元二次不式總結分析例題一二次方程的一般形式：

bx其中

,,

為常數(shù)，

為未知數(shù)。根的判別式：

2ac一元二次方程根的個數(shù)與根的判式的關系：

時，方程①無實根；時，方程①有且只有一個實根，者說方程①有兩個相等的實根；

時，方程①有兩個不相等的實根

x1,2

b

（二）二次函數(shù)的一般形式：形

ba24

2222其中,b,c

為常數(shù)，

為自變量。頂點坐標為

P

b,2a

，其中直線

為對稱軸，1

時

y的圖象開口向下x

b2a取到最大值，即

4ac4a

2

，對任意

x

44a

（2

時，函數(shù)

y圖象開口向上，函數(shù)

在

x

b2a取到最小值，即

min

44a

2

，對任意

x

44a

2、次函數(shù)

y

2

數(shù)的判斷：

時，函數(shù)時，函數(shù)

yax2yax2

軸無交點；軸相切，有且只有一個交點；時函數(shù)yax

2

交點。3、次函數(shù)圖象的基本元素：開口方向（即首項系數(shù)

的正負

（三）一元二次不等式的概念：如

2

其中連接

ax2

與

的不等號可以是

（四）三個兩次之間的關系一元二次方程、一元二次不等式二次函數(shù)三二

△

y

2

bx圖象

x1

x2xx1=2

2

x或1

2

a

無解2

x或x12

bxa

R2

12

基本步驟：化-算-解集（大于取兩邊小于取中間）【典型例題】【類型一】一元二次方程【方法一】求根公式法

2bx0

的解法步驟

x1,2

b

【例1】解下列方（1

x

2

）

2

2

【練習】解下列方（1

2

2

）

x

2

【方法二】十字相乘法利用十字相乘法求解方程

2

的前提條件是：

，也就是保證方程ax

2

必須有實十字分解依據(jù)程

ax2

而言abc

均為整數(shù)

時

分解為兩個約數(shù)之和為；當將為個約數(shù)之差或【例2】解下列方程（1

x

2

【練習】解下列方程

2222222222（1

x

2

）

2

2

【類型二】二次函數(shù)最值的求法【方法一】公式法①

時，函數(shù)

yax

在