高中數(shù)學(xué)北師大版必修2學(xué)案立體幾何初步1-2直觀圖word版含答案2

10/1009/10/1.2直觀圖[核心必知]1．斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則(1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy，畫(huà)直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面．(2)已知圖形中平行于x軸和y軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′軸和y′軸的線(xiàn)段．(3)已知圖形中平行于x軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度為原來(lái)的eq\f(1,2).2．立體圖形的直觀圖的畫(huà)法立體圖形與平面圖形相比多了一個(gè)z軸，其直觀圖中對(duì)應(yīng)于z軸的是z′軸，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面，平行于z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變．[問(wèn)題思考]1．斜二測(cè)畫(huà)法中的“斜”、“二測(cè)”分別指什么？提示：斜是指坐標(biāo)軸傾斜，使之成45°，二測(cè)是指測(cè)量與x軸平行的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，測(cè)量與y軸平行的線(xiàn)段長(zhǎng)度減半．2．斜二測(cè)畫(huà)法中，原圖中互相平行的線(xiàn)段在直觀圖中還平行嗎？提示：平行．3．空間幾何體的直觀圖一定唯一嗎？提示：不一定唯一．作直觀圖時(shí)，由于選軸不同，所畫(huà)直觀圖就不一定相同．講一講1．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖．[嘗試解答]法一：(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線(xiàn)為x軸，以BC邊上的高線(xiàn)AO所在的直線(xiàn)為y軸．(2)畫(huà)對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°. 在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′軸上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示．法二：(1)如圖③所示，以BC邊所在的直線(xiàn)為y軸，以BC邊上的高AO所在的直線(xiàn)為x軸．(2)畫(huà)對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.在x′軸上截取O′A′＝OA，在y′軸上截取O′B′＝O′C′＝eq\f(1,2)OC＝1cm，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖④所示．在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn)；原圖中的共線(xiàn)點(diǎn)，在直觀圖中仍是共線(xiàn)點(diǎn)，原圖中的平行線(xiàn)，在直觀圖中仍是平行線(xiàn)．練一練1．畫(huà)出水平放置的等腰梯形的直觀圖．解：畫(huà)法：(1)如圖(1)，取AB所在直線(xiàn)為x軸，以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)y軸與DC交于點(diǎn)E，畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點(diǎn)作C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖，如圖(2)．講一講2．畫(huà)出底面是正方形，側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖．[嘗試解答]畫(huà)法：(1)畫(huà)軸．畫(huà)Ox軸，Oy軸，Oz軸，∠x(chóng)Oy＝45°(或135°)，∠x(chóng)Oz＝90°，如圖．(2)畫(huà)底面．以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi)，畫(huà)出正方形直觀圖ABCD.(3)畫(huà)頂點(diǎn)．在Oz軸上截取OP使OP的長(zhǎng)度是原四棱錐的高．(4)成圖．順次連接PA，PB，PC，PD，并擦去輔助線(xiàn)，將被遮住的部分改為虛線(xiàn)，得四棱錐的直觀圖．畫(huà)空間幾何體的直觀圖，可先畫(huà)出底面的平面圖形，坐標(biāo)系的建立要充分利用幾何體的對(duì)稱(chēng)性，然后畫(huà)出豎軸．此題也可以把點(diǎn)A，B，C，D放在坐標(biāo)軸上，畫(huà)法實(shí)質(zhì)是各頂點(diǎn)的確定．練一練2．畫(huà)出五棱柱的直觀圖．解：畫(huà)法：(1)畫(huà)軸：畫(huà)x′軸，y′軸，z′軸，記坐標(biāo)原點(diǎn)為O′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，∠x(chóng)′O′z′＝90°.(2)畫(huà)底面：在俯視圖中，建立直角坐標(biāo)系xOy(如圖①)，利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出底面ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′.(3)畫(huà)側(cè)棱：過(guò)A′，B′，C′，D′，E′各點(diǎn)分別作z′軸的平行線(xiàn)，并在這些平行線(xiàn)上截取A′A″，B′B″，C′C″，D′D″，E′E″，使它們都等于主視圖中矩形的高．(4)成圖：連接A″B″，B″C″，C″D″，D″E″，E″A″，并加以整理(去掉輔助線(xiàn)，并將被遮住的部分改為虛線(xiàn))，就得到原幾何體的直觀圖(如圖②)．講一講3．一個(gè)四邊形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形．求原四邊形的面積．[嘗試解答]如圖(1)是四邊形的直觀圖，取B′C′所在直線(xiàn)為x′軸．因?yàn)椤螦′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直線(xiàn)為y′軸．過(guò)D′作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，則B′E′＝A′D′＝1.又因?yàn)樘菪螢榈妊菪?，所以△E′D′C′為等腰直角三角形．所以E′C′＝eq\r(2).再建立一個(gè)直角坐標(biāo)系xBy，如圖(2)所示，在x軸上截取線(xiàn)段BC＝B′C′＝1＋eq\r(2)，在y軸上截取線(xiàn)段BA＝2B′A′＝2.過(guò)A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.連接CD，則四邊形ABCD就是四邊形A′B′C′D′的實(shí)際圖形．四邊形ABCD為直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋eq\r(2)，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝eq\f(1,2)AB·(AD＋BC)＝eq\f(1,2)×2×(1＋1＋eq\r(2))＝2＋eq\r(2).(1)由直觀圖還原平面圖形關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①平行x′軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，平行y′軸線(xiàn)段變?yōu)樵瓉?lái)的2倍；②對(duì)于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點(diǎn)可通過(guò)作x′軸，y′軸平行線(xiàn)變換確定其在xOy中的位置．(2)一個(gè)平面圖形與其斜二測(cè)畫(huà)法所畫(huà)直觀圖的面積間的關(guān)系是eq\f(S直觀圖,S原圖)＝eq\f(\r(2),4).練一練3．已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么原△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2)a2B.eq\f(\r(3),4)a2C.eq\f(\r(6),2)a2D.eq\r(6)a2解析：選C如圖(1)為直觀圖，圖(2)為實(shí)際圖形．取B′C′所在直線(xiàn)為x′軸，過(guò)B′C′中點(diǎn)O′與O′x′成45°的直線(xiàn)為y′軸，過(guò)A′點(diǎn)作A′N(xiāo)′∥O′x′，交y′軸于N′點(diǎn)，過(guò)A′點(diǎn)作A′M′∥O′y′，交x′軸于M′點(diǎn)．則在直角三角形A′O′M′中，∵O′A′＝eq\f(\r(3),2)a，∠A′M′O′＝45°，∴A′M′＝eq\f(\r(6),2)a.則AM＝2A′M′＝eq\r(6)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.畫(huà)出右圖中四邊形OABC的直觀圖(圖中數(shù)據(jù)已給出)．[錯(cuò)解]以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖甲，作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，過(guò)D′作∠B′D′A′＝90°，使A′D′＝1，順次連接O′A′，A′B′，B′C′，所得四邊形O′A′B′C′即為四邊形OABC的直觀圖，如圖乙．[錯(cuò)因]坐標(biāo)軸上的點(diǎn)O，B，C畫(huà)得正確，點(diǎn)A的直觀圖位置畫(huà)錯(cuò)了，應(yīng)該依據(jù)點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離不變，到x軸的距離減半的方法確定A′的位置．[正解]如圖所示，作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，過(guò)點(diǎn)D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，順次連接O′A′，A′B′，B′C′，所得四邊形即為四邊形OABC的直觀圖．1．用斜二測(cè)畫(huà)法得到：①相等的線(xiàn)段和角在直觀圖中，仍然相等；②正方形在直觀圖中是矩形；③等腰梯形在直觀圖中仍然是等腰梯形；④菱形的直觀圖仍然是菱形．上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：選A利用斜二測(cè)畫(huà)法，上面說(shuō)法沒(méi)有一個(gè)正確．2．如圖甲所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是圖乙中的()解析：選C按斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則：平行于x軸或x軸上的線(xiàn)段的長(zhǎng)度在新坐標(biāo)系中不變，在y軸上或平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度在新坐標(biāo)系中變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,2)，并注意到∠x(chóng)′O′y′＝45°，將圖形還原成原圖形知選C.如圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的形狀是()解析：選A根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，知在y軸上的線(xiàn)段長(zhǎng)度為原來(lái)的一半，可知A正確．4．平行四邊形的直觀圖________平行四邊形．(用“是”或“不是”作答)解析：斜二測(cè)畫(huà)法不改變圖形中的平行關(guān)系．答案：是如圖，為△ABO水平放置的直觀圖，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，由圖判斷原三角形中AB，BO，BD，OD解析：將直觀圖還原為平面圖形如圖所示，由三角形的有關(guān)性質(zhì)可知，OB>AB>BD>OD.答案：OD<BD<AB<OB6．已知一等腰△ABC底邊AB＝a，高為eq\f(\r(3),2)a，求用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖的面積．解：如圖(1)(2)所示的是實(shí)際圖形和直觀圖，由圖可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.一、選擇題1．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()①相等的角在直觀圖中對(duì)應(yīng)的角仍然相等②相等的線(xiàn)段在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段仍然相等③平行的線(xiàn)段在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段仍然平行④線(xiàn)段的中點(diǎn)在直觀圖中仍然是線(xiàn)段的中點(diǎn)A．1B．2C．3D．4解析：選B只有③④正確．2．利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為1cm的正方形的直觀圖，正確的是如圖所示中的()解析：選D正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長(zhǎng)之比為2∶1.3．已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4，則此正方形的面積是()A．16B．64C．16或64D．都不對(duì)解析：選C當(dāng)其中在x′軸上的邊長(zhǎng)為4時(shí)，正方形面積為16；當(dāng)其中在y′軸上的邊長(zhǎng)為4時(shí)，正方形面積為64.4．如圖，直觀圖所表示(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)的平面圖形是()A．正三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形解析：選D由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′，∠A′C′B′＝45°知對(duì)應(yīng)的平面圖形為直角三角形．5．一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于()A.eq\f(\r(2),4)a2B.eq\f(4\r(3),3)a2C.eq\f(\r(3),4)a2D．2eq\r(2)a2解析：選D由題意知，平行四邊形的直觀圖為對(duì)應(yīng)在直角坐標(biāo)系下的圖形為：∴平行四邊形的面積為S′＝2×eq\f(1,2)×a×2eq\r(2)a＝2eq\r(2)二、填空題如圖所示，為一個(gè)水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，則在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為_(kāi)_______．解析：在直觀圖中，A′B′C′O′是有一個(gè)角為45°且長(zhǎng)邊為2，短邊為1的平行四邊形，∴B′到x′軸的距離為eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線(xiàn)的實(shí)際長(zhǎng)度為_(kāi)_______．解析：由于直觀圖中，∠A′C′B′＝45°，則在原圖形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，則斜邊AB＝5，故斜邊AB上的中線(xiàn)長(zhǎng)為2.5.答案：2.58．如圖所示是水平放置的△ABC在直角坐標(biāo)系中的直觀圖，其中D是AC的中點(diǎn)，原△ACB中，∠ACB≠30°，則原圖形中與線(xiàn)段BD的長(zhǎng)相等的線(xiàn)段有________條．解析：先按照斜二測(cè)畫(huà)法把直觀圖還原為真正的平面圖形，然后根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)找與線(xiàn)段BD長(zhǎng)度相等的線(xiàn)段，把△ABC還原后為直角三角形，則D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴AD＝DC＝BD.答案：2三、解答題9．畫(huà)出一個(gè)正三棱臺(tái)的直觀圖(尺寸：上、下底面邊長(zhǎng)分別為1cm、2cm，高為2cm)．解：(1)畫(huà)軸，以底面△ABC的垂心O為原點(diǎn)，OC所在直線(xiàn)為y軸，平行于AB的直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，以上底面△A′B′C′的垂心O′與O的連線(xiàn)為z軸，建立空間坐標(biāo)系．(2)畫(huà)下底面，在xOy平面上畫(huà)△ABC的直觀圖，在y軸上量取OC＝eq\f(\r(3),3)cm，OD＝eq\f(\r(3),6)cm.過(guò)D作AB∥x軸，且AB＝2cm，以D為中點(diǎn)，連接AC、BC，則△ABC為下底面三角形的直觀圖．(3)畫(huà)上底面，在z軸上截取OO′＝2cm，過(guò)O′作x′軸∥x軸，y′軸∥y軸，在y′軸上量取O′C′＝eq\f(\r(3),6)cm，O′D′＝eq\f(\r(3),12)cm，過(guò)D′作A′B′∥x′軸，A′B′＝1cm，且以D′為中點(diǎn)，則△A′B′C′為上底面三角形的直觀圖．(4)連線(xiàn)成圖，連接AA′，BB′，CC′，并擦去輔助線(xiàn)，則三棱臺(tái)ABC－A′B′C′，即