2018版數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)講義文檔第四章三角函數(shù)、解三角形4.5第1課時(shí)含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ,（C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(C（α＋β))sin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，(S（α－β））sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，（S（α＋β））tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ，1＋tanαtanβ）,（T(α－β）)tan（α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）。（T（α＋β)）2。二倍角公式sin2α＝2sinαcosα，(S2α）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(C2α）tan2α＝eq\f（2tanα，1－tan2α）。（T2α）【知識(shí)拓展】1.降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α，2），sin2α＝eq\f(1－cos2α，2）。2.升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。3.輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2）sin（x＋φ),其中sinφ＝eq\f(b，\r（a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a，\r(a2＋b2）).【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）（1)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立。(√)（2）在銳角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不確定.（×)（3)若α＋β＝45°，則tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ。(√）（4)對(duì)任意角α都有1＋sinα＝(sineq\f(α，2）＋coseq\f（α,2））2.（√）(5）y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.（×）(6）在非直角三角形中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.（√）1.tan20°＋tan40°＋eq\r（3）tan20°tan40°＝。答案eq\r（3)解析∵tan60°＝tan（20°＋40°）＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°）,∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°）＝eq\r（3)－eq\r（3）tan20°tan40°,∴原式＝eq\r（3）－eq\r(3)tan20°tan40°＋eq\r(3）tan20°tan40°＝eq\r(3）.2.(2016·四川)cos2eq\f（π，8）－sin2eq\f(π，8）＝.答案eq\f(\r(2）,2)解析由題意可知，cos2eq\f(π，8)－sin2eq\f（π,8)＝coseq\f（π，4）＝eq\f(\r（2),2）(二倍角公式)。3。(2016·全國(guó)丙卷改編)若tanθ＝－eq\f(1，3)，則cos2θ＝.答案eq\f（4，5)解析tanθ＝－eq\f（1,3），則cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ，cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ，1＋tan2θ）＝eq\f(4,5）.4。(2015·江蘇)已知tanα＝－2，tan(α＋β）＝eq\f（1，7），則tanβ的值為。答案3解析tanβ＝tan［(α＋β）－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(\f（1,7)－－2,1＋\f(1,7）×－2)＝3.5。（2016·全國(guó)甲卷改編）函數(shù)f(x）＝cos2x＋6coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)）的最大值為。答案5解析由f(x）＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,2）－x)）＝1－2sin2x＋6sinx＝－2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3，2）)）2＋eq\f（11，2)，所以當(dāng)sinx＝1時(shí)函數(shù)的最大值為5.第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式題型一和差公式的直接應(yīng)用例1(2016·鹽城模擬)已知α為銳角，cos(α＋eq\f（π,4))＝eq\f(\r(5)，5）。(1)求tan(α＋eq\f（π,4））的值；（2）求sin(2α＋eq\f(π,3)）的值.解（1)因?yàn)棣痢?0，eq\f(π，2)），所以α＋eq\f(π,4)∈(eq\f(π，4)，eq\f(3π,4）)，所以sin(α＋eq\f（π，4)）＝eq\r(1－cos2α＋\f（π，4))＝eq\f（2\r(5)，5），所以tan(α＋eq\f(π，4)）＝eq\f（sinα＋\f(π,4),cosα＋\f(π,4）)＝2。（2)因?yàn)閟in(2α＋eq\f(π,2））＝sin2(α＋eq\f（π，4）)＝2sin(α＋eq\f(π,4))cos(α＋eq\f（π,4))＝eq\f(4，5），cos(2α＋eq\f（π,2)）＝cos2(α＋eq\f（π，4)）＝2cos2（α＋eq\f(π，4))－1＝－eq\f(3，5），所以sin（2α＋eq\f(π,3)）＝sin[(2α＋eq\f(π，2))－eq\f（π,6）]＝sin(2α＋eq\f(π，2)）coseq\f(π，6)－cos（2α＋eq\f(π,2)）sineq\f（π,6）＝eq\f（4\r(3)＋3，10).思維升華(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.(2）使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.(1）(2016·全國(guó)丙卷改編)若tanα＝eq\f(3,4)，則cos2α＋2sin2α＝.（2）計(jì)算:eq\f（sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°）的值為。答案（1）eq\f（64，25)（2)eq\f(1，2)解析（1）tanα＝eq\f(3，4），則cos2α＋2sin2α＝eq\f（cos2α＋2sin2α，cos2α＋sin2α）＝eq\f（1＋4tanα,1＋tan2α）＝eq\f(64,25）.（2）eq\f（sin110°sin20°，cos2155°－sin2155°）＝eq\f(sin70°sin20°，cos310°)＝eq\f（cos20°sin20°,cos50°）＝eq\f（\f(1,2）sin40°，sin40°)＝eq\f（1，2）.題型二和差公式的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1角的變換例2（1)設(shè)α、β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5)，5），sin(α＋β）＝eq\f(3，5)，則cosβ＝。(2)（2016·鎮(zhèn)江期末）由sin36°＝cos54°,可求得cos2016°的值為.答案（1）eq\f(2\r(5)，25)(2）－eq\f(\r（5）＋1，4)解析（1）依題意得sinα＝eq\r（1－cos2α)＝eq\f（2\r（5)，5）,cos（α＋β）＝±eq\r（1－sin2α＋β）＝±eq\f（4，5).又α，β均為銳角,所以0<α<α＋β<π，cosα〉cos（α＋β)。因?yàn)閑q\f（4,5)〉eq\f（\r(5)，5）〉－eq\f（4,5）,所以cos（α＋β）＝－eq\f(4，5).于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos（α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(4,5）×eq\f（\r(5)，5)＋eq\f(3，5）×eq\f(2\r(5），5）＝eq\f（2\r(5），25）。(2）由sin36°＝cos54°,得sin36°＝2sin18°cos18°＝cos（36°＋18°)＝cos36°cos18°－sin36°sin18°＝(1－2sin218°)·cos18°－2sin218°cos18°＝cos18°－4sin218°·cos18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0,解得sin18°＝eq\f(－2＋\r（22＋16），2×4)＝eq\f（\r(5）－1,4)，cos2016°＝cos（6×360°－144°）＝cos144°＝－cos36°＝2sin218°－1＝－eq\f（\r(5）＋1,4）.命題點(diǎn)2三角函數(shù)式的變形例3(1）(2016·無(wú)錫調(diào)研)若tanα＝eq\f(1，2)，tan（α－β）＝－eq\f（1,3），則tan（β－2α)＝。答案－eq\f（1，7)解析方法一因?yàn)閠anα＝eq\f(1，2)，所以tan2α＝eq\f（2tanα,1－tan2α）＝eq\f(1，1－\f（1,4））＝eq\f(4，3）.又tan(α－β）＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ）＝eq\f(\f（1,2）－tanβ，1＋\f（1,2)tanβ)＝－eq\f(1,3)，故tanβ＝1.所以tan（β－2α）＝eq\f(tanβ－tan2α,1＋tanβtan2α）＝eq\f(1－\f(4，3)，1＋\f（4,3)）＝－eq\f（1,7）。方法二tan（β－2α)＝－tan（2α－β)＝－tan（α＋α－β)＝－eq\f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β）＝－eq\f（\f(1,2）－\f（1，3)，1－\f（1,2)×－\f(1，3))＝－eq\f（1,7）。（2)求值：eq\f（1＋cos20°,2sin20°）－sin10°（eq\f（1，tan5°)－tan5°）.解原式＝eq\f(2cos210°，2×2sin10°cos10°)－sin10°（eq\f（cos5°，sin5°)－eq\f(sin5°,cos5°）)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－sin10°·eq\f（cos25°－sin25°,sin5°cos5°)＝eq\f（cos10°,2sin10°)－sin10°·eq\f（cos10°，\f（1，2）sin10°）＝eq\f（cos10°,2sin10°）－2cos10°＝eq\f（cos10°－2sin20°,2sin10°）＝eq\f（cos10°－2sin30°－10°，2sin10°）＝eq\f(cos10°－2\f（1，2）cos10°－\f（\r（3),2)sin10°，2sin10°）＝eq\f(\r（3)sin10°,2sin10°)＝eq\f（\r(3）,2）.引申探究化簡(jiǎn):eq\f(1＋sinθ－cosθsin\f（θ,2）－cos\f（θ,2），\r（2－2cosθ))（0〈θ〈π)。解∵0<eq\f（θ,2）<eq\f（π，2)，∴eq\r(2－2cosθ)＝2sineq\f（θ,2），又1＋sinθ－cosθ＝2sineq\f（θ，2）coseq\f（θ,2)＋2sin2eq\f（θ，2)＝2sineq\f（θ，2）(sineq\f(θ，2）＋coseq\f（θ,2)）∴原式＝eq\f(2sin\f（θ，2)sin\f（θ，2)＋cos\f(θ,2)sin\f（θ，2)－cos\f（θ，2）,2sin\f(θ，2））＝－cosθ。思維升華(1)解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示.①當(dāng)“已知角"有兩個(gè)時(shí)，“所求角"一般表示為兩個(gè)“已知角"的和或差的形式;②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角"變成“已知角”.(2）常見(jiàn)的配角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f（α＋β，2）－eq\f(α－β,2），α＝eq\f（α＋β，2）＋eq\f（α－β,2)，eq\f（α－β,2）＝（α＋eq\f（β,2)）－(eq\f（α,2）＋β）等。（1）(2016·泰州模擬）若sin（eq\f（π,4）＋α）＝eq\f（1,3)，則cos（eq\f（π,2)－2α）＝。(2)(2016·南京模擬）化簡(jiǎn)(tanα＋eq\f（1，tanα))·eq\f（1，2)sin2α－2cos2α＝。(3）計(jì)算：sin50°（1＋eq\r（3)tan10°)＝。答案(1）－eq\f（7,9）(2)－cos2α(3)1解析(1）∵sin(eq\f（π,4)＋α）＝eq\f(1，3),∴cos（eq\f(π，4)－α)＝eq\f（1，3），∴cos（eq\f(π，2)－2α）＝cos2(eq\f（π，4)－α)＝2×eq\f（1,9)－1＝－eq\f(7，9).(2)原式＝eq\f(1,sinαcosα）·eq\f(1,2）sin2α－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos2α.（3）sin50°（1＋eq\r(3)tan10°)＝sin50°(1＋eq\r(3)eq\f(sin10°,cos10°))＝sin50°×eq\f（cos10°＋\r(3）sin10°,cos10°)＝sin50°×eq\f(2\f(1，2）cos10°＋\f(\r(3）,2）sin10°，cos10°）＝eq\f(2sin50°cos50°，cos10°）＝eq\f（sin100°,cos10°)＝eq\f（cos10°，cos10°）＝1.8.利用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行角的變換典例(1)設(shè)α為銳角，若cos（α＋eq\f（π,6))＝eq\f（4，5),則sin(2α＋eq\f(π,12）)的值為.（2)若tanα＝2taneq\f(π，5)，則eq\f(cosα－\f(3π，10)，sinα－\f(π,5））＝。思想方法指導(dǎo)三角變換的關(guān)鍵是找出條件中的角與結(jié)論中的角的聯(lián)系，通過(guò)適當(dāng)?shù)夭鸾?、湊角?lái)利用所給條件。常見(jiàn)的變角技巧有eq\f(α＋β，2)＝(α－eq\f(β,2)）－(eq\f（α,2)－β）；α＝(α－β)＋β；α＋eq\f（π,12)＝(α＋eq\f（π,3）)－eq\f(π，4）;15°＝45°－30°等.解析(1)∵α為銳角且cos(α＋eq\f(π，6）)＝eq\f（4，5）〉0，∴α＋eq\f（π，6)∈（eq\f(π,6)，eq\f（π,2)），∴sin（α＋eq\f（π,6））＝eq\f（3,5).∴sin（2α＋eq\f（π,12））＝sin[2（α＋eq\f(π，6））－eq\f(π，4）]＝sin2(α＋eq\f（π，6））coseq\f（π,4）－cos2（α＋eq\f(π，6))sineq\f（π，4)＝eq\r(2)sin（α＋eq\f(π，6))cos(α＋eq\f(π,6））－eq\f（\r（2)，2)［2cos2(α＋eq\f（π，6))－1]＝eq\r（2)×eq\f（3,5)×eq\f（4,5）－eq\f（\r（2)，2)[2×(eq\f(4,5))2－1］＝eq\f(12\r(2)，25）－eq\f(7\r(2),50)＝eq\f（17\r(2）,50).（2）eq\f（cosα－\f(3π,10),sinα－\f（π，5))＝eq\f(sinα－\f(3π,10)＋\f(π，2),sinα－\f(π,5）)＝eq\f(sinα＋\f（π，5）,sinα－\f(π，5)）＝eq\f(sinαcos\f（π，5)＋cosαsin\f（π，5）,sinαcos\f（π，5)－cosαsin\f（π,5))＝eq\f（\f（sinα,cosα）cos\f（π，5)＋sin\f（π，5）,\f（sinα，cosα）cos\f(π,5)－sin\f（π,5))＝eq\f(2·\f(sin\f（π，5)，cos\f(π,5)）cos\f(π，5)＋sin\f（π，5),2·\f(sin\f（π，5），cos\f（π，5)）cos\f（π，5)－sin\f(π，5)）＝eq\f(3sin\f(π,5），sin\f(π,5)）＝3。答案(1)eq\f(17\r(2）,50)（2）31.（2016·蘇州暑假測(cè)試)已知α∈(0，π),cosα＝－eq\f（4，5),則tan（α＋eq\f(π，4）)＝.答案eq\f（1，7）解析由α∈(0，π），cosα＝－eq\f（4，5)，得tanα＝－eq\f（3,4），則tan(α＋eq\f（π,4））＝eq\f(tanα＋1,1－tanα）＝eq\f（－\f（3，4）＋1，1＋\f(3，4）)＝eq\f(1,7)。2。(2016·鹽城三模)若角α＋eq\f(π，4)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線(xiàn)y＝eq\f（1，2)x上，則tanα的值為。答案－eq\f(1，3）解析若角α＋eq\f（π,4)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線(xiàn)y＝eq\f(1，2)x上,則tan（α＋eq\f(π,4)）＝eq\f(1，2)，又tan（α＋eq\f（π，4））＝eq\f(tanα＋1，1－tanα），所以tanα＝－eq\f(1，3).3。(2015·重慶改編）若tanα＝eq\f（1，3），tan(α＋β)＝eq\f(1，2)，則tanβ＝.答案eq\f（1，7)解析tanβ＝tan［(α＋β）－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(\f（1,2)－\f（1,3），1＋\f(1，2）×\f(1，3)）＝eq\f（1，7）。4。(2016·江蘇啟東中學(xué)階段檢測(cè)）若α、β均為銳角，且cosα＝eq\f(1,17),cos（α＋β)＝－eq\f(47,51），則cosβ＝。答案eq\f（1，3)解析由于α、β都是銳角，所以α＋β∈（0,π)，又cosα＝eq\f(1，17)，cos(α＋β)＝－eq\f(47，51)，所以sinα＝eq\f（12\r(2),17),sin（α＋β)＝eq\f（14\r（2),51)，所以cosβ＝cos［（α＋β）－α］＝cos(α＋β）cosα＋sin(α＋β）sinα＝－eq\f（47，51)×eq\f(1，17）＋eq\f（14\r(2）,51)×eq\f(12\r(2）,17）＝eq\f(1,3）。5.eq\f（2cos10°－sin20°，sin70°）的值是。答案eq\r（3)解析原式＝eq\f（2cos30°－20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r（3)cos20°，cos20°)＝eq\r(3）.6。若0〈α〈eq\f(π,2），－eq\f(π，2)〈β<0，cos(eq\f（π，4）＋α)＝eq\f（1，3），cos(eq\f(π,4）－eq\f（β，2)）＝eq\f(\r（3）,3）,則cos（α＋eq\f（β,2))＝。答案eq\f（5\r(3），9)解析由已知得α＋eq\f(π，4)∈（eq\f（π,4），eq\f（3，4)π），eq\f（π,4)－eq\f（β，2）∈(eq\f（π,4),eq\f（π,2）)，所以sin（α＋eq\f(π，4)）＝eq\f（2\r（2），3）,sin(eq\f(π，4）－eq\f(β，2）)＝eq\f（\r（6),3)，所以cos（α＋eq\f(β,2））＝cos［（eq\f（π,4)＋α）－（eq\f（π,4）－eq\f(β，2））]＝cos(eq\f（π,4）＋α）cos(eq\f（π，4)－eq\f（β,2））＋sin(eq\f(π,4）＋α)sin（eq\f(π，4）－eq\f(β，2））＝eq\f（1，3）×eq\f（\r（3）,3）＋eq\f（2\r(2）,3）×eq\f（\r(6),3)＝eq\f(5\r（3)，9）.7.化簡(jiǎn)eq\f(2tan45°－α,1－tan245°－α）·eq\f(sinαcosα，cos2α－sin2α）＝.答案eq\f(1,2）解析原式＝tan(90°－2α)·eq\f（\f(1，2）sin2α,cos2α)＝eq\f(sin90°－2α,cos90°－2α)·eq\f（1,2）·eq\f（sin2α,cos2α）＝eq\f(cos2α，sin2α）·eq\f（1,2）·eq\f(sin2α,cos2α）＝eq\f(1，2).8。（2016·江蘇無(wú)錫普通高中期末）已知sin(α－45°)＝－eq\f(\r（2），10）且0°<α<90°，則cos2α的值為.答案eq\f(7，25)解析因?yàn)閟in（α－45°)＝－eq\f（\r(2），10)且0°〈α〈90°,所以cos(α－45°)＝eq\r(1－－\f(\r(2）,10）2)＝eq\f(7\r(2）,10）。cos2α＝sin（90°－2α)＝－sin（2α－90°）＝－sin[2（α－45°）］＝－2sin（α－45°)cos（α－45°）＝－2×(－eq\f(\r（2），10))×eq\f（7\r(2)，10）＝eq\f（7，25)。9。(2016·南京模擬）已知cos（eq\f(π,4）＋θ)cos（eq\f(π，4）－θ）＝eq\f(1,4），則sin4θ＋cos4θ的值為.答案eq\f（5，8）解析因?yàn)閏os（eq\f（π,4)＋θ)cos(eq\f(π,4)－θ）＝(eq\f(\r(2)，2）cosθ－eq\f（\r（2),2）sinθ)（eq\f(\r(2），2）cosθ＋eq\f(\r（2）,2)sinθ)＝eq\f(1,2）(cos2θ－sin2θ）＝eq\f（1，2)cos2θ＝eq\f(1,4)。所以cos2θ＝eq\f（1，2)。故sin4θ＋cos4θ＝（eq\f(1－cos2θ,2))2＋（eq\f(1＋cos2θ,2）)2＝eq\f(1，16）＋eq\f(9，16）＝eq\f（5,8）.10。將函數(shù)y＝eq\r(3）cosx＋sinx(x∈R）的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m的最小值是。答案eq\f(π,6）解析y＝eq\r(3)cosx＋sinx＝2sin（x＋eq\f（π,3)），所以此函數(shù)的圖象向左平移m(m〉0）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)＝2sin（x＋m＋eq\f（π，3））的圖象，由題意得m＋eq\f（π,3)＝eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）,∵m〉0,∴m＝eq\f（π,6)＋kπ(k∈Z且k≥0），∴m的最小值是eq\f(π,6)。11。已知α∈(eq\f(π,2），π）,sinα＝eq\f(\r(5),5).（1）求sin（eq\f（π,4）＋α）的值；(2）求cos(eq\f(5π，6）－2α）的值.解(1)因?yàn)棣痢剩╡q\f（π，2），π)，sinα＝eq\f（\r（5）,5）,所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5）。故sin(eq\f（π,4）＋α）＝sineq\f（π,4)cosα＋coseq\f（π,4)sinα＝eq\f（\r(2）,2）×(－eq\f（2\r(5),5）)＋eq\f（\r（2)，2）×eq\f(\r（5），5)＝－eq\f(\r(10）,10）.(2)由（1）知sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f（\r(5），5）×（－eq\f（2\r(5）,5)）＝－eq\f（4，5），cos2α＝1－2sin2α＝1－2×（eq\f（\r(5),5）)2＝eq\f(3，5），所以cos(eq\f(5π，6）－2α)＝coseq\f(5π,6)cos2α＋sineq\f（5π，6）sin2α＝（－eq\f（\r（3),2）)×eq\f(3，5)＋eq\f（1，2）×（－eq\f（4，5））＝－eq\f(4＋3\r（3)，10）.12。已知α∈(0，eq\f(π，2）），tanα＝eq\f(1,2)，求tan2α和sin(2α＋eq\f(π,3))的值。解∵tanα＝eq\f(1，2），∴tan2α＝eq\f（2tanα,1－tan2α）＝eq\f(2×\f(1，2