名校《強(qiáng)基計(jì)劃》初升高銜接數(shù)學(xué)講義（上）

名校《強(qiáng)基計(jì)劃》初升高數(shù)學(xué)銜接講義（上）

第一講代數(shù)式........................................2

1.知識(shí)要點(diǎn)..................................................2

2.例題精講..................................................2

3.習(xí)題鞏固..................................................3

4.自招鏈接...................................................4

5.參考答案..............................................?.4

第二講方程..........................................13

1.知識(shí)要點(diǎn)................................................13

2.例題精講................................................14

3.習(xí)題鞏固................................................15

4.自招鏈接...............................................,.15

5.參考答案................................................16

第三講函數(shù)..........................................29

1.知識(shí)要點(diǎn)................................................29

2.例題精講...............................................,29

3.習(xí)題鞏固................................................31

4.自招鏈接................................................32

5.參考答案................................................33

第四講不等式........................................44

1.知識(shí)要點(diǎn)...............................................,44

2.例題精講................................................44

3.習(xí)題鞏固................................................45

4啟招鏈接.................................................46

5.參考答案.................................................46

第五講圓............................................55

1.知識(shí)要點(diǎn)...............................................,.55

2.例題精講................................................55

3.習(xí)題鞏固................................................58

4.自招鏈接................................................60

5.參考答案...............................................,61

第六講幾何證明.....................................74

1.知識(shí)要點(diǎn)...............................................,.74

2.例題精講................................................74

3.習(xí)題鞏固................................................76

4.自招鏈接................................................77

5.參考答案...............................................,.78

1

第一講代數(shù)式

1.知識(shí)要點(diǎn)

代數(shù)式包括在整個(gè)初中我們學(xué)習(xí)的整式、分式、根式等相關(guān)內(nèi)容.在自招中所占的比例較大,

無論在填空還是在解答晚上再中都可以找到代數(shù)式的身影.

首先我們來看一下代數(shù)式章節(jié)幾個(gè)重要的公式（以下列舉課本中未涉及的公式）：

ababaabb

3322

ababaabb

3322

3

a33a2b3ab2b3ab

_3

aababbab,

2

33323

3221

abcabbecaabbc

ca

222

2

a3b2c23abcabca2b2c2abbeca.

2.例題精、

1.若a2016,b2017,c2018,求a2b2abbeac的值得.

c“11------------~

2-已知a4,求、的

a2a3值.

aaa

23

1的值是—

3.若xyz11

3,則??

xyz

333

xy

111

11111111

4.計(jì)算1++1++1+++1

+

12233420172018

22222222

、是實(shí)數(shù).若ccaab之和恰等于1,

已知、bc2

5.ab、c

22222222

2bc2ac2ab

求證：這三個(gè)分?jǐn)?shù)的值有兩個(gè)為1,一個(gè)為-1.

6.設(shè)Pxxaxbxexd,其中a、b、c、d為常數(shù).若P12018,

432

2

1

P24036,P36054.試計(jì)算

P11P7

4

7.對(duì)于所有的正整數(shù)，定義.若正整數(shù)滿足

2017f1f2

則n的最大值為—

20152015

為正整數(shù).

8.求所有的三元有序整數(shù)組使得2015

xyyzz

x

3.習(xí)題鞏固

9.因式分解

a34a3.

10.因式分解X898x4y4

------y8.

1

11.已知求2

5m

12.若x3為正整數(shù),且是2x2數(shù)可能值總和.

的值.

zXzxyX

13.若xyyyy

ZzZX

求

zyX

xyz

1111

14.計(jì)算

212322343341009999

100

15.⑴若實(shí)數(shù)a使得a2a12,求a2a1的值；

1

⑵若實(shí)數(shù)a滿足a1,設(shè)pa2a1a2a1,求證：

2p一定是無―

理數(shù).

1124

16.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x2y4z222的

2y4z值.

xyz

7

abc

17.已知1求證abc1.

aab1bbe1

1

18.已知.f

323232

xX2x1X1X

2x1

3

求f132017

4.自招鏈接

19.求|x|1|2x|?+3卜|3+4x4的最小值.

1

我們學(xué)過等差數(shù)列的求各公式

20.TIn

123n請(qǐng)

利用

2

22

1223M的公式.

332

n1n3n3n1,推導(dǎo)

5.參考答案

例題精講

1.對(duì)于這樣的題目，第一次就直接代入是很不應(yīng)該的，我們先書寫公式：

2221

222

abcabbeacabbcca

+

2

然后把a(bǔ)2016,b2017,-c20184^入，得

abcabbeac

222

'222

2

20162017201720182018

20163.——

2.這樣的題目在自招的試卷中出現(xiàn)的次數(shù)也是非常的多，應(yīng)熟練選用合適的公式.熟用完

全平方公式（注意符號(hào)）：

2

11

aa216

2

aa

2

1

所以a2

18.

a

2

熟用立方差公式（注意符號(hào)）：

111

aaa

32

14181

76

aaa

32

3.在自招試卷中下面這個(gè)公式非常重要：

a3b3c33abcabca2b2c2abbeca

設(shè)x1a,y1bz1c.則

4

x~~1~y1-z1

abc

abc

333333

X1y1z1

又xyz3,故abc0.

c33abeabca2b2c2abbeca0.

3

333

x1y1z1

4.在自招試卷中：算式中出現(xiàn)省略號(hào)的話，我們一般把通項(xiàng)寫田來，然后進(jìn)行變形，從

而找出規(guī)律.

222

11nrr-1-n-1nnn12nn11

222

1

nn1nTin1n

222222

2

nnnn

--------1--------1―1——1——f

1

211

nnnn

2

nn1

11111111

所以，原式

1111

12233420172018

12017

201712017

20182018

lbcacababc

5.由越設(shè)222222222

1,且abc

0,即

2bc2ac2ab

boaacbabc

222222222

11

10

2bc2ac2ab

b2c2a22bca?c?b22aca2b2

則2bc

'2bc2ac2ab

22222

2

bcaacbabc

0,

2bc2ac2ab

cabcaacbacbabca

0,

2bc2ac2ab

20

abcc.

ab

2abe

5

0.

abccabc

ab

2abc

所以abC0或者cab?；蛘遙ca。中，必有一個(gè)成立.

不妨設(shè)abc0,則將acb,bca,cab分別代入三個(gè)分式,可得三個(gè)

分式的值分別為1、1、-L

6.對(duì)于數(shù)字規(guī)律明顯的試題，可以考慮使用因式定理來進(jìn)行化簡(jiǎn).

因式定理：如果多項(xiàng)式fx能被xa整除即xa是fx的一個(gè)因式，那么f0.

反之，如果fa0,那么xa是fx的一個(gè)因式.

通過因式定理的推導(dǎo),可判斷

PXXxXXkX.

1232018

所以

11

PPk

11-711111211311201811

44

+7172737k

20187

1

10987112018118910

k

4

7k20187

1

109811891072018117

4

kk

1

89101820184

4

291018+2018

324020185258.

7.將具體的數(shù)字代入原不等式得：

-2-

2017111221nn+1111221nn1

424242222

通項(xiàng)

a4a21a2a1a2a1.

原不等式化簡(jiǎn)得：

2017111221nn+1111221nn1.

222222

當(dāng)你做到這一步的時(shí)候，可以嘗試對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算：

2017137nn13713nn1,

22

6

q,則

yz

162015,

zx162015,

X

4030,

y4030,

解得

z28210.

⑷2,3d,f)=(1,2,2),通過奇偶分析無整數(shù)

解.

bdf

111

(3)3,lb,d,f)=(1,1,1),通過奇偶分析無整數(shù)

解.

bdf

所以,滿足題目條件的為(4030,4030,28210),(4030,28210,4030),(28210,4030,

4030)三組.

習(xí)題鞏固

9.

a1aa3.

2

10.

x898x4y4y8x82xx4y4y896x4y4

2

X4y464x4y432x4y4

2

X4y416x2y2x4y464x4y432x4y416x2y2x4y4

2

_x4y48x2y2_16x2y2_x4y42x2y2

22

Xyxyxyxy

82_21A222-2

X4y48x2y24x3y4xy3x4y48x2y24x3y4xy3

111

IL由于m25m10,則2m25m2m2m21m2

1,又

mmm

222

2

111

m5，所m1m

以，328.

m2

mm

,c2x5x132x6xx316小赦協(xié)16刖小散物

12.[6為整數(shù)，則為整數(shù),

22X3

2x1J

x3x3x

3

X31,2,4,8,16,X取值總和為46.

13.若xyz0,則xyz,yzx,zxy

年xyy

故ZZX「

xyz

8

cxyzxyZxyzxy彳

若Xzo,則，___：

zT~x-xy-z

（等比性質(zhì)），故有

xyz,從而可8

知

1k+1kkk+1k+1kkk+1

14.

丁丁丁廠廠；rl

百11111119

11

原式

223-989999-100w10

15.(1)22

⑵將P平方：

Paaaaa2aa,又P0

-------------g—2—2g_X-2-2-12212

故p2,因此p為無理數(shù)（無理數(shù)的證明請(qǐng)參考七年級(jí)第二學(xué)期課本閱讀材料）.

222

2222111

1

x+2y4zx2y4z0.x2y

4z0

77777

1----------124

顯然xvz,

可得49.

7x-yz

-----ab-1,

1bbe1cca1aab

1aab

abcacabc

2

1bbe1cca

babab211

故ccaabc

ab1,

1bbe1cca

babab2abc1

則1

ab1

1bbe1cca

babab2abcab

故1

1bbe1c

ca

111,

1bc

aab

等式兩邊同時(shí)除以ab,可得

1bbe1c

ca

9

進(jìn)而

1bbebec

------------------a------ab

1bfc1cca

——1-------------------1.

bec

aab

則1-

1--------------------------

1bbe1c

ca

子1Q-

bec

aab

故

1bbe1c

ca

11

be

c

aab

從而_,_,

d1bbq1以

ca

11

故

be1

bbe

a「.丁丁d—個(gè)―

21

展開并化簡(jiǎn)，可得2

czabccabc1

0—故

,即abca2b2c21abc,從而

ab

abc1.

18.I

abaabb

22

13131313

1

XXX

X_______________________

323232XX

112

x2x1x1x2x1

所以f1f3f2017

311311331331320171320171

22

323034323201832016

222

32018

2

自招鏈接

19.根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，我們知道X1x4的最小值在1x4時(shí)取

得.2x22x4,x3x42x3分別求出最小值的取值范圍，可得

x3時(shí)取的最小值，最小值為8.

10

我們先把可以利用的公

20.雖然有很多同學(xué)知道這個(gè)公式最后的答案為---------------

12

1

6

332

式寫出來看看：

n1n3n3n1.

2

上面的式子中我們發(fā)現(xiàn)了需要推導(dǎo)的r>2,那么下面就是尋找

n1,我們可以把公式變

為

332

3

nnnnn

211131311

3

然后依次類推：

011131311.

33---------2------------

我們把所有的式子相加：

3左

邊

012n1

333

12n3123n312

3nn,右邊

3332222

化簡(jiǎn)得

22223n1n2n33n23n2n2n33n2n

31233

nnn

222

所以

22231

12223n121

nnnnnn

66

11

12

第二講方程

1.知識(shí)要點(diǎn)

一、代數(shù)方程分類：

①整式方程；②分式方程；③無理方程.

二、解方程的基本思想：

①化分式方程為整式方程；

②化高次方程為一次或二次方程；

③化多元為一元；

④化無理方程為有理方程.

總之，最后轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程.

三、解方程的基本方法：

①解整式方程：一般采用消元（加減消元、代入消元、因式分解消元、換元法消元等），降

次（換元降次、因式分解降次、輔助式降次等）等方法.

②解分式方程：一般采用去分母，換元法，重組法，兩邊夾等方法.

③解無理方程：一般采用兩邊平方，根式的定義、性質(zhì)、換元，幾何構(gòu)造，構(gòu)造三角函數(shù).

四、二次方程中的韋達(dá)定理：

我們一般在初二的時(shí)候?qū)W習(xí)韋達(dá)定理，利用韋達(dá)定理可以解決很多根與系數(shù)方面的問題，

韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）

bc

若一元二次方程200x、x則zX\x—xx_

axbxca的1212

ia

兩根為2

a

各位同學(xué)，還記得推導(dǎo)過程嗎？

證法一：（求根公式推導(dǎo)）

一元二次方程200/----------

axbxcaM求根公式是

bb2

__x4ac

2a

則xYbxXC

人人12,

,a

12

a

證法二：（待定系數(shù)法）

若一元二次方程X、X,那么方程可以表示為

2

axbxc0a。的兩12

根為

八.be

axXixx系數(shù)---對(duì)應(yīng)，

20V人x入x1x2

就可以得到,a

12

a

13

2.例題精講

1.已知關(guān)于x的方程a3x2b2x38x7有無窮多個(gè)解，那么a、b值應(yīng)分別

為.

2.方程|2x|1|x|p|x1的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是一.

3.求方程

X33x2x2x3x24x76x215x180全部相與實(shí)根.

-1~~T-1

t

4.解方程組xyz2

-1-t-1

yzx3

111

zxy4

5.設(shè)x、x2k2xk23k50的兩個(gè)XX的最大值

實(shí)根，求與

22

X為方程12

12

最小值.

6.若k為正整數(shù)，且關(guān)于x的方程

k21X263k1x720有兩個(gè)相異正整數(shù)根,

求k的值.

7.關(guān)于x的二次方程

k26k8x22k26k4xk24的兩根都是整求滿

足條件的所有實(shí)數(shù)k的值.

8.關(guān)于x的方程X44x3mx2nx520的四根成等差數(shù)列，求方程的解.

xyzu

1,

2222

共21431527

9.萬22222222

xyzU

2222

22222222

41434547

xyzu

2222

t

1

22222222

61636567

Xyzu

2222

22222222

81838587

那么，xyzu的值為

252

10.設(shè)ab、c分別為ABC的三邊，求證：關(guān)于x的二次方程

b2x2b2c2a2xc20無實(shí)根.

11.解無理方程：345x316x1.

14

3.習(xí)題鞏固

12.方程2xxy3xy2006。的正整數(shù)解x,y共有多

少對(duì)？

2

x22yz

13.解方程組：X，

y2zx

乙

2

z2xy

14.求所有正實(shí)數(shù)a,使得方程x2ax4a0僅有整數(shù)根.

15.是否存在質(zhì)數(shù)p、q,使得關(guān)于X的一元二次方程

px2qxp0有有理數(shù)根；

16.求所有有理數(shù)r,使得方程2110

rxrx的所有根為整數(shù).

17.設(shè)方程

x23x10的根也是方程X6px?q。的根，試求整數(shù)p、q的

值.

18.設(shè)a與b為方程x2px10的兩個(gè)實(shí)根，c與d為方程x2qx10年兩個(gè)實(shí)根.

求證：

acbcadbdqp

22

19.設(shè)r、s、t是方程8x31001X2016。的三個(gè)根，求

333

rsstt*的

值.

20.已知p為質(zhì)數(shù)，使二次方程

X22pxp25p1。的兩根都是整數(shù)，求出所有可

能的P的值.

21.已知方程xax810有兩個(gè)整數(shù)根，求a的值.

22.已知關(guān)于X的二次方程

ax?2a3xa2。至少有一個(gè)整數(shù)根，求負(fù)整數(shù)a的

值.

4.自招鏈接

23.若方程X21X24k有4個(gè)非零實(shí)數(shù)根，且它們的數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)等距離

排歹II,求k的值.

15

2X1yZ

24.解方程組2

2

y2X

z

2

2

z3Xy

2

5.參考答案

例題精講

1.因?yàn)殛P(guān)于x的方程a3x2b2x38x7,3a2b_8x2a3b

7有

無窮多個(gè)解.

8oa

3a3b-2

所以

可得b

2a7

o3b

.

2.當(dāng)X1時(shí)，原方程化為2x1x2x1，解得<2（舍去）

所以方

程無解；

111

當(dāng)一時(shí)7原方程化為一~2x1xX，所X

2x1,解得以

1x22

2

1

當(dāng)x時(shí),原方程化為2x1x2x1,解得x為任

‘意實(shí)數(shù)，所以

2

當(dāng)X2時(shí)，原方程化為2x1x2x1,解得x2（舍去），所以方程無解.

1

2個(gè).

59

3-設(shè)x2xxA,x2xB則原

方程化為

2222

ABAB6B90,

則