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高等教育自學(xué)考試本科生畢業(yè)論文PAGE19-高等教育自學(xué)考試本科生畢業(yè)論文目錄1引言 -4-2求函數(shù)最值的幾種解法探討 -5-2.1判別式法 -5-2.2配方法 -6-2.3均值不等式法 -6-2.4換元法 -7-2.5三角函數(shù)法 -8-2.6單調(diào)性法 -9-2.7導(dǎo)數(shù)法 -9-3求解函數(shù)最值時應(yīng)注意的一些問題 -10-3.1注意定義域 -10-3.2注意值域 -11-3.3注意參變數(shù)的約束條件 -12-3.4注意對判別式的運(yùn)用 -13-3.5注意均值不等式的運(yùn)用 -13-4函數(shù)最值在實際問題中的應(yīng)用 -15-4結(jié)論 -19-致謝 -20-參考文獻(xiàn) -21-

1引言函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容,貫穿于整個中學(xué)階段,而函數(shù)最值問題是函數(shù)的重要組成部分.處理函數(shù)最值的過程就是實現(xiàn)未知向已知、新問題向舊問題以及復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化,雖然解決問題的具體過程不盡相同,但就其思維方式來講,通常是將待解決的問題通過一次又一次的轉(zhuǎn)化,直至劃歸為一類很容易解決或已解決的問題,從而獲得原問題的解答.函數(shù)最值問題是一類特殊的數(shù)學(xué)問題,它在生產(chǎn)、科學(xué)研究和日常生活中有著廣泛的應(yīng)用,而且在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也占據(jù)著比較重要的位置,是近幾年數(shù)學(xué)競賽中的常見題型也是歷年高考重點(diǎn)考查的知識點(diǎn)之一.由于其綜合性強(qiáng),解法靈活,故而解決這類問題,要掌握各數(shù)學(xué)分支知識,并能綜合運(yùn)用各種所學(xué)知識技巧,靈活選擇合適的解題方法.函數(shù)最值的定義:一般地,函數(shù)的最值分為最小值和最大值:設(shè)函數(shù)在處的函數(shù)值是如果對于定義域內(nèi)任意,不等式都成立,那么叫做函數(shù)的最小值,記作;如果對于定義域內(nèi)任意,不等式都成立,那么叫做函數(shù)的最大值,記作.函數(shù)的最值一般有兩種特殊情況:(1)如果函數(shù)在上單調(diào)增加(減少),則是在上的最小值(最大值),是在上的最大值(最小值).(2)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極大(小)值,而沒有極小(大)值,則此極大(小)值就是函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值.2求函數(shù)最值的幾種解法探討2.1判別式法對于某些特殊形式的函數(shù)的最值問題,經(jīng)過適當(dāng)變形后,使函數(shù)出現(xiàn)在一個有實根的一元二次方程的系數(shù)中,然后利用一元二次方程有實根的充要條件來求出的最值.例.求函數(shù)的最值.解:因為,所以,而,所以有所以,當(dāng)時,;當(dāng)時,.應(yīng)注意:用判別式法求函數(shù)的最值時,是表示或,并非要此二者同時成立.因此,在利用求出的的取值范圍:或且中,不能隨意斷定或,還必須求出與、對應(yīng)的的值,并將其代入原來的函數(shù)中進(jìn)行驗算,只有當(dāng)、的對應(yīng)值存在,并滿足所求得的不等式時,才能確定為原來函數(shù)的最值.2.2配方法如果給定函數(shù)是二次函數(shù)或變形后可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題,一般可用此法求解.例.求在區(qū)間內(nèi)的最值.解:配方得,因為,所以,從而當(dāng)即,取得最大值;當(dāng)即時取得最小值1.2.3均值不等式法設(shè)是n個正數(shù),則有,其中等號成立的條件是.運(yùn)用均值不等式求最值,必須具備三個必要條件,即一正二定三等,缺一不可.“正”是指各項均為正數(shù),這是前提條件;“定”是指各項的和或積為定值;“等”是等號成立的條件.例.設(shè),求的最大值.解:由,有.又因為==其中當(dāng)時,上式等號成立,即時成立,故的最大值為.2.4換元法用換元法求函數(shù)最值,就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn),把某一部分看做一個整體或用一個新變元來代替,達(dá)到化繁難為簡易,化陌生為熟悉,從而使原問題得解.例.求函數(shù)的最值.解:因為,即給定函數(shù)的定義域為:.于是令,.則給定函數(shù)可變形為:==2[]-2==而..又因在是增函數(shù),所以其最值在端點(diǎn)處取得.2.5三角函數(shù)法如果給定函數(shù),經(jīng)變形后能化成:或(、是常數(shù))的形式,則由或可知:當(dāng)或時,(設(shè))當(dāng)或時,(設(shè))例.求函數(shù)的最大值.解:因為=當(dāng)時,;當(dāng)時,即,所以,當(dāng)時,.2.6單調(diào)性法當(dāng)自變量的取值范圍為一區(qū)間時,有時也用單調(diào)性法來求函數(shù)的最值.在確定函數(shù)在指定區(qū)間上的最值時,首先要考慮函數(shù)在這個區(qū)間上的單調(diào)情況.若函數(shù)在整個區(qū)間上是單調(diào)的,則該函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上取得最值.若函數(shù)在整個區(qū)間上不是單調(diào)的,則把該區(qū)間分成各個小區(qū)間,使得函數(shù)在每一個區(qū)間上是單調(diào)的,再求出各個小區(qū)間上的最值,從而可以得到整個區(qū)間上的最值[5].例.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù),對任意、均有關(guān)系,若時,且.求在上的最大值和最小值.解:先確定在上的單調(diào)性,設(shè)任意、且,則.所以有即.所以,在上是減函數(shù).因此,的最大值是;的最小值是.2.7導(dǎo)數(shù)法設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在上可導(dǎo),則在上的最大值和最小值為在內(nèi)的各極值與,中的最大值與最小值.要求三次及三次以上的函數(shù)的最值,以及利用其他方法很難求的函數(shù)式的最值,通常都用該方法.導(dǎo)數(shù)法往往就是最簡便的方法,應(yīng)該引起足夠重視.例.求函數(shù),的最大值和最小值.解:求導(dǎo)得.令,方程無解.因為,所以函數(shù)在上時增函數(shù).故當(dāng)時,;當(dāng)時,.綜上可知,函數(shù)最值問題內(nèi)涵豐富,解法靈活.沒有通用的方法和固定模式,在解題時要因題而異,而且上述介紹的幾種求解方法也并非彼此孤立,而是相互聯(lián)系、相互滲透的,有時一個問題需要多法并舉,互為補(bǔ)充,有時一個題目又會有多種解法,函數(shù)的最值解題方法是靈活多樣性的,除了以上講的,還有很多種方法,如:消元法、數(shù)形結(jié)合法、復(fù)數(shù)法、幾何法、待定系數(shù)法、萬能公式法等等.因此,解題的關(guān)鍵在分析和思考,因題而異地選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法,減少解題時間.3求解函數(shù)最值時應(yīng)注意的一些問題3.1注意定義域遇到求最值問題的時候,我們切記在求解的過程當(dāng)中,要注意觀察定義域的變化情況,在最初解題之時,應(yīng)當(dāng)先把函數(shù)的定義域確定;在解題過程中,當(dāng)函數(shù)變形時注意定義域是否發(fā)生改變,如果又引入新變量也要確定這個變量的取值范圍,以免在后面的求解過程中出現(xiàn)錯誤;在解題結(jié)束時,必須檢驗所求得的使函數(shù)取得最值的自變量是否包含在定義域的范圍內(nèi).例.求函數(shù)的最值.錯解:將兩邊同時平方并去分母得.因為,所以,化簡得.所以,故,.分析:這個答案致錯原因是兩邊平方及去分母,使函數(shù)的定義域擴(kuò)大了.正解:將兩邊平方并去分母,得.因為,所以,化簡得.所以,注意到原函數(shù)的定義域是,則有,,于是必有.所以,故,.3.2注意值域求函數(shù)的最值,不但對幾種基本初等函數(shù)的值域要非常熟悉,而且在解題過程中還要注意函數(shù)取值范圍的變化.例.求的最值.錯解:原式變形為,因為,所以.解之得,所以,.分析:把代入得.而這個方程無解,故不在函數(shù)的值域內(nèi).事實上,由知,故只有最小值-2無最大值.由此可以看出用“判別式法”求最值,有可能擴(kuò)大的取值范圍.3.3注意參變數(shù)的約束條件有一類求最值的問題,在題設(shè)函數(shù)里含有參變數(shù),在計算過程中,當(dāng)問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)的二次函數(shù)時,如不考慮參變數(shù)的約束條件,易誤人用一般情況下求函數(shù)最值的方法代替求函數(shù)在特定區(qū)間最值的歧途.例.設(shè),,,求的最值.錯解:由題設(shè)知,,對其分別平方得:,,則.所以,.分析:根據(jù)約束條件,,要,只有且而它們又不滿足,因此不是的最小值,類似可推知也不是的最大值,錯誤處在上面不等式的變形不是同解變形,為了避免這類錯誤,一方面要盡量減少不等式之間的四則運(yùn)算,另一方面,對不等式進(jìn)行四則運(yùn)算時,要注意等號成立的條件.正確的解法是:通過把原式轉(zhuǎn)換為一個一元二次函數(shù)即(),從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題.3.4注意對判別式的運(yùn)用用判別式求函數(shù)的最值,由于各種因素、各種條件的互相約束一不留神就會出現(xiàn)錯誤,所以用這種方法解題時應(yīng)注意把握好約束條件.例.求函數(shù)的最值.錯解:原式可化為,因為,所以即,解得.則,.分析:本題錯在只保證有實根,而不能保證其根屬于,當(dāng)時,方程變?yōu)?,不屬于,因此不能立即就斷定函?shù)最小值認(rèn)為是,最大值是,應(yīng)對判別式取等號時的值進(jìn)行校驗.事實上,因為,可知,,即.所以可知原函數(shù)最小值.最大值由前面分析可知即為.3.5注意均值不等式的運(yùn)用eq\o\ac(○,1)注意當(dāng)且僅當(dāng)這些正數(shù)相等時,它們的積(和)才能取大(小)值.例.求函數(shù)的最小值.錯解:因為,所以,,,于是所以的最小值是.分析:上面解法錯誤,是沒有注意到當(dāng)且僅當(dāng)時,函數(shù)才能取得最小值,但顯然不等于,所以不能取.eq\o\ac(○,2)對均值不等式中等號成立的條件生搬硬套例.已知,且,求的最小值,并求的最小值時的,,的值.錯解:因為,所以,,從而,,,當(dāng)且僅當(dāng)時,上式取等號,又,所以當(dāng)且僅當(dāng)時,有最小值162.分析:上面解法錯誤,是對均值不等式中等號成立的條件沒有理解而直接套用的結(jié)果,事實上,當(dāng)時,不等于162.正確的解法是:在,即中,等號當(dāng)且僅當(dāng),即,,時成立,所以當(dāng),,時,有最小值162.eq\o\ac(○,3)連續(xù)進(jìn)行幾次不等式變形,并且各次不等式中的等號不能同時成立而造成的錯誤例.已知,且,求的最小值.錯解:因為,所以,則,所以,因此的最小值是8.分析:上面解法中,連續(xù)進(jìn)行了兩次不等變形:與,且這兩次不等式中的等號不能同時成立,第一個不等式當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,第二個是當(dāng)且僅當(dāng)即,時等號成立,因此不可能等于8.事實上,題中的依然可以由替換,從而將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù):.由題意知,所以運(yùn)用均值不等式即可求得該函數(shù)最小值,即當(dāng)時取最小值,求得,,符合題意.所以最小值為9.4函數(shù)最值在實際問題中的應(yīng)用例1.某工廠要建造一個長方形無蓋儲水池,其容積為4800,深為,如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?分析:從題中分析可以得出,水池高度已知,進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求池壁的長和寬的問題,從而確定取什么值使總造價最低.即涉及到兩個變量,因為池壁的長和寬不可能為負(fù)數(shù),由此我們可以想到利用均值不等式來求解.解:設(shè)底面的長為,寬為,水池的總造價為元.根據(jù)題意有:,由容積為4800,可得,因此,.由均值不等式與不等式的性質(zhì),可得:即.當(dāng),即時,等號成立.所以,將水池的地面設(shè)計成邊長為40的正方體時總造價最低,最低總造價是297600元.例2.某工廠2003年的純收入為500萬元,因設(shè)備老化等原因,工廠的生產(chǎn)能力將逐年下降.如果不對技術(shù)進(jìn)行改造,從今年起預(yù)計每年將比上一年減少純收入20萬元,所以今年年初該工廠為了進(jìn)行技術(shù)改造,一次性投入資金600萬元,預(yù)計在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,第年(第一年從今年算起)的利潤為萬元(為正整數(shù)).設(shè)從第一年起的前年,如果該工廠不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純收入為萬元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純收入為萬元(須扣除技術(shù)改造資金),則從今年起該工廠至少經(jīng)過多少年,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純收入超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純收入?分析:首先根據(jù)題意寫出、的表達(dá)式,可知它們都為數(shù)學(xué)上一個簡單的數(shù)列求和問題.繼而對它們作差就建立起一個函數(shù)關(guān)系式,即轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的函數(shù)最值問題,再利用合適的方法進(jìn)行求解即可.解:依題設(shè)有.則.因為函數(shù)在上為增函數(shù),所以當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以,僅當(dāng)時,.即至少要經(jīng)過4年,該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤.pq160244058pq16024405881(1)若售價為52元/件時,該店正好收支平衡,求該店的員工有多少;圖一(2)若該店只招聘了40名員工,則該店最快可在幾年后把所有債務(wù)還清,此時每件體育用品的價格定為多少元?圖一分析:由題中給出的圖可以看出,我們可以把它看做是在閉區(qū)間上的一個分段函數(shù)問題,從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,利用函數(shù)圖象所表示的幾何意義,借助于幾何圖形的直觀性來求分段函數(shù)最值問題.解:(1)設(shè)該店的月利潤為元,有職工名.則.又由圖可知:所以,由此知,當(dāng)時,,即,解得,即此時該店有50名職工.(2)若該店只安排40名職工,則月利潤當(dāng)時,求得時,取最大值7800元;當(dāng)時,求得時,取最大值6900元.綜上,當(dāng)時,有最大值7800元.設(shè)該店最早可在n年后還清債務(wù),依題意,有,解得.所以,該店最早可在5年后還清債務(wù),此時消費(fèi)品的單價定為55元.由此我們可以總結(jié)出實際問題利用函數(shù)求最值的一般步驟:(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系,正確選擇自變量和因變量,找準(zhǔn)等量關(guān)系,把實際問題化為數(shù)學(xué)問題,建立函數(shù)關(guān)系式,這是關(guān)鍵一步;(2)確定函數(shù)定義域,根據(jù)函數(shù)關(guān)系式,選擇合適的求解方法;(3)求出滿足條件的定義域范圍,結(jié)合實際,確定最值或最值點(diǎn).4結(jié)論本文簡單的介紹了幾種有關(guān)求函數(shù)最值問題的解法,以及在解題時需要注意的一些問題,告訴我們在解題時要學(xué)會分析思考,選擇合適的解法,盡量用簡便的方法快速地解答出問題,通過幾個在實例問題中的運(yùn)用分析,學(xué)好函數(shù)最值的求解方法是至關(guān)重要的,通過它可以解決科技、經(jīng)濟(jì)、社會中的一些如何使成本最低、產(chǎn)量最

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