選擇最大信息預(yù)報因子

第二章選擇最大信息的預(yù)報因子

1.概率、條件概率以及預(yù)報指標(biāo)2.天氣預(yù)報指標(biāo)的統(tǒng)計檢驗3.定量數(shù)據(jù)時的指標(biāo)4.高相關(guān)變量間的相關(guān)系數(shù)及其檢驗第1頁/共77頁第一頁，共78頁。早在天氣圖出現(xiàn)之前，民間就已經(jīng)廣泛流傳著有關(guān)天氣的諺語。因為天氣與人類的生活是密切相關(guān)的。諺語所反映的就是前期的征兆與后期天氣的統(tǒng)計關(guān)聯(lián)性。朝霞不出門，暮霞行千里。(《田家五行》論霞)早上太陽在東方，如有紅霞，多在天頂或西方，這就是說，天頂或西方有低云出現(xiàn)。（在中高緯）天氣變化總是自西而東的，這種低云必定是慢慢向本地接近，可見雨天即將到來；反之，晚上太陽在西方，如有紅霞，多在天頂和東方，那末，這種成霞的低云，將繼續(xù)向東去，離本地漸遠(yuǎn)，如有雨下，也下不到本地，所以天氣是晴朗的。

第2頁/共77頁第二頁，共78頁。朝霞不出門暮霞行千里第3頁/共77頁第三頁，共78頁。四季東風(fēng)有雨下，只怕東風(fēng)刮不大。天上鉤鉤云，地上雨淋淋。大霧不過三，過三陰雨天。降水過程有共同性，也有特殊性，單一預(yù)報指標(biāo)必然管不住所有的降水過程。選擇最大信息的預(yù)報指標(biāo)（因子）可以減少天氣預(yù)報的漏報率和空報率。第4頁/共77頁第四頁，共78頁。第一節(jié)概率和條件概率以及預(yù)報指標(biāo)一、概率1.事件：自然界中的一切現(xiàn)象。2.頻率：衡量事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。n次觀測次數(shù)中，事件A出現(xiàn)m次，則事件A的頻率為：第5頁/共77頁第五頁，共78頁。3.概率：觀測次數(shù)n足夠大，P(A)穩(wěn)定接近某個常數(shù)，這就是事件A的概率。概率是事件的總體特征（頻率的理論值），頻率是事件的樣本值（概率的估計值）。第6頁/共77頁第六頁，共78頁。二、條件概率和天氣預(yù)報指標(biāo)1.概念在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下計算事件A的概率，稱為事件A在事件B已出現(xiàn)條件下的條件概率，記為P(A/B)。若事件A、B同時出現(xiàn)的概率為P(AB)，則有：條件概率是統(tǒng)計預(yù)報的基礎(chǔ)。統(tǒng)計天氣預(yù)報中，往往將A取為所要預(yù)報的具體內(nèi)容，而將B取為事件A以前τ時刻（τ預(yù)報時效）的某個前期氣象條件。第7頁/共77頁第七頁，共78頁。舉例：事件A：長江中下游當(dāng)年6月平均降水小于250mm；事件B：長江中下游當(dāng)年1月平均降水小于22mm；統(tǒng)計1885－1980年共96年資料得：P(A)＝69/96＝0.72P(A/B)＝13/14＝0.93則：若長江中下游地區(qū)觀測到1月份平均降水小于22mm時，可預(yù)報當(dāng)年6月份降水小于250mm。

預(yù)報時效為5個月。第8頁/共77頁第八頁，共78頁。2.天氣預(yù)報指標(biāo)必須滿足兩個經(jīng)驗性的條件（1）P(A/B)>>P(A)或者P(A/B)<<P(A)

A、B之間有比較可靠聯(lián)系（2）P(A/B)----1或P(A/B)----0

預(yù)報指標(biāo)有一定準(zhǔn)確率第9頁/共77頁第九頁，共78頁。3.事件的獨立性如果事件B的出現(xiàn)與否不影響事件A出現(xiàn)的概率，則稱事件A對于事件B是獨立的，滿足：

P(A)=P(A/B)

或者

P(AB)=P(A)×P(B)注意：要圓滿地回答A和B是否相互獨立的問題，應(yīng)知道計算頻率時所用的觀測資料的次數(shù)，使用統(tǒng)計檢驗理論。第10頁/共77頁第十頁，共78頁。問題：求n次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)m次的概率？第二節(jié)天氣預(yù)報指標(biāo)的統(tǒng)計檢驗1.二項分布（1）二分類預(yù)報：只預(yù)報事件A出現(xiàn)或者不出現(xiàn)（），又稱為正反預(yù)報。設(shè)第11頁/共77頁第十一頁，共78頁。。第12頁/共77頁第十二頁，共78頁。（2）符合二項分布的三個條件：第一：每次試驗只有兩個結(jié)果；第二：試驗條件不變，每次試驗均有

P(A)=p,

；第三：試驗的獨立性。第13頁/共77頁第十三頁，共78頁。2、二項分布在天氣預(yù)報中的應(yīng)用（1）計算天氣現(xiàn)象出現(xiàn)的概率，特別是小概率事件。第14頁/共77頁第十四頁，共78頁。第15頁/共77頁第十五頁，共78頁。2、二項分布在天氣預(yù)報中的應(yīng)用（2）天氣預(yù)報指標(biāo)的檢驗

用二項分布檢驗天氣預(yù)報指標(biāo)，是檢驗?zāi)骋粭l件概率所指示的事件是屬于偶然性還是具有規(guī)律性的一種方法。某事件A出現(xiàn)的概率是p，而在條件B時，事件A出現(xiàn)的頻率是m/n，則：當(dāng)Q值小于0.05或0.01時，事件發(fā)生的偶然性極小，指標(biāo)可用。當(dāng)Q值大于某上限值時，偶然性過大，指標(biāo)不可用.第16頁/共77頁第十六頁，共78頁。

當(dāng)Q值小于0.05或0.01時，A事件在n次試驗中出現(xiàn)m次的事件是小概率事件，在一次試驗中不可能出現(xiàn)，但在條件B影響下發(fā)生了，說明B起的作用。小概率事件：概率很接近于0（即在大量重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率非常低）的事件。一般多采用0.01~0.05兩個值，即事件發(fā)生的概率在0.01以下或0.05以下的事件稱為小概率事件，這兩個值稱為小概率標(biāo)準(zhǔn)。

第17頁/共77頁第十七頁，共78頁?！靶「怕适录蓖ǔＶ赴l(fā)生的概率小于5%的事件，認(rèn)為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識是進(jìn)行假設(shè)檢驗推斷的出發(fā)點。需要注意兩點：（1）這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗”來說的，因為試驗次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；（2）當(dāng)我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時，我們也有5%的犯錯誤的可能。第18頁/共77頁第十八頁，共78頁。假設(shè)檢驗的基本思想：就是小概率反證法思想。即先提出假設(shè)，設(shè)H0為一原假設(shè)，H1為一與其對立的備擇假設(shè)（對立假設(shè)），構(gòu)造一個隨機事件A，當(dāng)原假設(shè)成立時，隨機事件A以很小的概率發(fā)生該事件稱為小概率事件。一般來說，在一次試驗中小概率事件不應(yīng)發(fā)生，若發(fā)生了，則否定原假設(shè)H0，接受與其對立的備擇假設(shè)H1。

第19頁/共77頁第十九頁，共78頁。天氣預(yù)報指標(biāo)的檢驗實際上是反面來檢驗該預(yù)報指標(biāo)的可靠程度，歷史擬合的準(zhǔn)確率從正面說明該指標(biāo)的可靠程度。第20頁/共77頁第二十頁，共78頁。第三節(jié)定量數(shù)據(jù)時的指標(biāo)狀態(tài)要素：可以用條件概率選擇預(yù)報因子并且用二項分布檢驗預(yù)報因子的可靠程度。定量數(shù)據(jù)要素：主要用相關(guān)系數(shù)選擇預(yù)報因子或因子集，并用t檢驗方法檢驗其可靠性。第21頁/共77頁第二十一頁，共78頁。自然界中各現(xiàn)象間存在普遍的關(guān)系。可分為兩種：確定性關(guān)系：數(shù)學(xué)上的函數(shù)關(guān)系非確定性關(guān)系：統(tǒng)計上的相關(guān)關(guān)系相關(guān)系數(shù)：度量各變量（各要素）間相關(guān)程度的量。第22頁/共77頁第二十二頁，共78頁。本節(jié)主要內(nèi)容簡單相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的檢驗－t檢驗自相關(guān)系數(shù)落后交叉相關(guān)系數(shù)復(fù)相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)第23頁/共77頁第二十三頁，共78頁。一、簡單相關(guān)系數(shù)（Pearson

相關(guān)）卡爾·皮爾遜（KarlPearson，1857.3.27-1936.4.27），生于倫敦，英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)的創(chuàng)始人之一。被尊稱為統(tǒng)計學(xué)之父。

第24頁/共77頁第二十四頁，共78頁。1.概念

描述兩個變量線性相關(guān)的統(tǒng)計量，一般簡稱為相關(guān)系數(shù)或者點相關(guān)系數(shù)，用r表示。它也做為兩總體相關(guān)系數(shù)ρ的估計。第25頁/共77頁第二十五頁，共78頁。2.表達(dá)式設(shè)有兩個變量x，y，觀測值分別為：相關(guān)系數(shù)的幾種表示方式：第26頁/共77頁第二十六頁，共78頁。（1）原始資料：第27頁/共77頁第二十七頁，共78頁。（2）距平序列（均值為0）：第28頁/共77頁第二十八頁，共78頁。（3）標(biāo)準(zhǔn)化序列：標(biāo)準(zhǔn)化后資料均值為0，均方差為1.相關(guān)系數(shù)就是標(biāo)準(zhǔn)化變量的協(xié)方差第29頁/共77頁第二十九頁，共78頁。3.相關(guān)系數(shù)的校正根據(jù)統(tǒng)計學(xué)中大樣本定理，樣本量大于30才有統(tǒng)計意義。當(dāng)樣本量較小時，計算所得相關(guān)系數(shù)可能會離總體相關(guān)系數(shù)甚遠(yuǎn)。這時，可以用計算無偏相關(guān)系數(shù)加以校正。第30頁/共77頁第三十頁，共78頁。4.幾點重要理解(1)(2)r的絕對值越大，表示變量之間關(guān)系越密切。當(dāng)r>0，表明兩變量呈正相關(guān)，越接近1.0，正相關(guān)越顯著；當(dāng)r<0，表明兩變量呈負(fù)相關(guān)，越接近-1.0，負(fù)相關(guān)越顯著；當(dāng)r=0，則表示兩變量相互獨立。(3)相關(guān)系數(shù)的值與樣本量n有關(guān)，計算出的相關(guān)系數(shù)是否顯著，需要經(jīng)過顯著性檢驗。第31頁/共77頁第三十一頁，共78頁。第32頁/共77頁第三十二頁，共78頁。二、相關(guān)系數(shù)的檢驗－t檢驗樣本相關(guān)是否意味著總體就相關(guān)？

需相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計檢驗正態(tài)總體的相關(guān)檢驗實質(zhì)上是兩個變量間或不同時刻間觀測數(shù)據(jù)的獨立性檢驗。就是檢驗總體相關(guān)系數(shù)ρ=0的假設(shè)是否顯著。在假設(shè)ρ=0成立條件下，樣本相關(guān)系數(shù)r檢驗的統(tǒng)計量符合自由度n-2的t分布。所以，可以用t分布檢驗法來檢驗。第33頁/共77頁第三十三頁，共78頁。1、統(tǒng)計檢驗的一般流程：（1）明確要檢驗的問題，提出統(tǒng)計假設(shè)；（2）確定信度范圍α；（3）針對研究問題，選取一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量；（4）根據(jù)觀測樣本計算有關(guān)統(tǒng)計量；（5）對給定的α，從表上查對應(yīng)的數(shù)值，即確定出臨界值；（6）比較統(tǒng)計量計算值與臨界值，判斷是否顯著。第34頁/共77頁第三十四頁，共78頁。(1)假設(shè)ρ=0成立，它服從自由度為n-2的t

分布。(2)給定信度范圍α（0.05或0.01)(3)計算統(tǒng)計量t:(4)由給定的信度范圍α及自由度為n-2，查t分布表，得到臨界值tα(5)比較t

與tα，否定ρ=0，總體相關(guān)。接受ρ=0，總體非相關(guān)。2、相關(guān)系數(shù)t檢驗的步驟：第35頁/共77頁第三十五頁，共78頁。何為“自由度”？在統(tǒng)計模型中，自由度指樣本中可以自由變動的變量的個數(shù)，當(dāng)有約束條件時，自由度減少。自由度=樣本個數(shù)-樣本數(shù)據(jù)受約束條件的個數(shù)，即df=n-k（df:自由度，n:樣本個數(shù)，k:約束條件個數(shù)）。例如，一組數(shù)據(jù)，平均數(shù)一定，則這組數(shù)據(jù)有n-1個數(shù)據(jù)可以自由變化；若一組數(shù)據(jù)平均數(shù)一定，標(biāo)準(zhǔn)差也一定，則有n-2個數(shù)據(jù)可以自由變化。

第36頁/共77頁第三十六頁，共78頁。單側(cè)第37頁/共77頁第三十七頁，共78頁。舉例：第38頁/共77頁第三十八頁，共78頁。單側(cè)第39頁/共77頁第三十九頁，共78頁。第40頁/共77頁第四十頁，共78頁。3、相關(guān)系數(shù)表

為了檢驗方便，可以構(gòu)造不同自由度，不同顯著性水平的相關(guān)系數(shù)檢驗表。實際應(yīng)用中，自由度已知，給定信度范圍，就可直接查表對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗。第41頁/共77頁第四十一頁，共78頁。臨界相關(guān)系數(shù)rc：rc表示在給定信度α和樣本數(shù)n

的條件下，相關(guān)系數(shù)r的臨界值。由此可以制備檢驗相關(guān)系數(shù)r

的臨界值表。一般rc隨自由度增大而減小。第42頁/共77頁第四十二頁，共78頁。第43頁/共77頁第四十三頁，共78頁。第44頁/共77頁第四十四頁，共78頁。第45頁/共77頁第四十五頁，共78頁。第46頁/共77頁第四十六頁，共78頁。西北地區(qū)地面感熱計算所用98站分布第47頁/共77頁第四十七頁，共78頁。

西北地區(qū)東部夏季感熱與全國634站同期降水的相關(guān)（紫色和深藍(lán)色區(qū)域為通過95%信度水平檢驗的區(qū)域，rα=0.396）第48頁/共77頁第四十八頁，共78頁。西北地區(qū)東部汛期降水190站分布第49頁/共77頁第四十九頁，共78頁。不同時段西北地區(qū)東部地表感熱與其汛期（5-9月）降水的關(guān)系第50頁/共77頁第五十頁，共78頁。西北地區(qū)東部地面感熱異常偏強年19821991199720002005異常偏弱年19841985198819922002-σσ合成分析第51頁/共77頁第五十一頁，共78頁。1、自協(xié)方差與自相關(guān)系數(shù)時間序列xi

（i=1,2,···n)，其時間間隔τ的自協(xié)方差為：三、自相關(guān)系數(shù)衡量某一氣象要素不同時刻之間關(guān)系密切程度的量。樣本平均值第52頁/共77頁第五十二頁，共78頁。自相關(guān)系數(shù)是描述某一變量不同時刻之間相關(guān)的統(tǒng)計量。將滯后長度為τ的自相關(guān)系數(shù)記為r(τ)。若τ為正整數(shù)，r(τ)稱為滯后（落后）自相關(guān)系數(shù)；若τ為負(fù)整數(shù)，r(τ)

稱為超前相關(guān)系數(shù)。樣本標(biāo)準(zhǔn)差相對概念第53頁/共77頁第五十三頁，共78頁。1212第54頁/共77頁第五十四頁，共78頁。第55頁/共77頁第五十五頁，共78頁。自相關(guān)系數(shù)TheautocorrelationfunctionofthefirstPCofmonthly,year-roundNorthAtlanticSSTanomalies.theblacklineisinstantaneouscorrelations(value=1.0)2002,vol(15):2233-2256第56頁/共77頁第五十六頁，共78頁。當(dāng)樣本量足夠大時，對滯后長度為τ的自相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗，可通過統(tǒng)計量：2、自相關(guān)系數(shù)的檢驗-u檢驗進(jìn)行檢驗，上式遵循N(0,1)的正態(tài)分布。通過檢驗可以判斷氣候變量是否具有持續(xù)性。也可用t檢驗第57頁/共77頁第五十七頁，共78頁。信度uα第58頁/共77頁第五十八頁，共78頁。信度uα第59頁/共77頁第五十九頁，共78頁。四、落后交叉相關(guān)系數(shù)1、落后交叉協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)自協(xié)方差與自相關(guān)系數(shù)是衡量一個變量時間序列前后變化的，如何考慮兩個變量不同時刻之間的相關(guān)密切關(guān)系？----落后交叉協(xié)方差與落后交叉相關(guān)系數(shù)第60頁/共77頁第六十頁，共78頁。相應(yīng)的落后交叉相關(guān)系數(shù)為:2、表達(dá)式設(shè)xi和yi（i=1,2,…,n），分別為兩個時間序列，則對時間間隔τ的落后交叉協(xié)方差為：第61頁/共77頁第六十一頁，共78頁。3、舉例北京12月氣溫與落后1年的1月氣溫的交叉相關(guān)系數(shù)計算如下：1212第62頁/共77頁第六十二頁，共78頁。五、復(fù)相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)1、復(fù)相關(guān)系數(shù)反映預(yù)報因子集的優(yōu)劣程度的數(shù)量指標(biāo)。m個預(yù)報因子和預(yù)報對象y的單相關(guān)矩陣R表示為：

第63頁/共77頁第六十三頁，共78頁。m個因子與y的復(fù)相關(guān)系數(shù)表示為：第64頁/共77頁第六十四頁，共78頁。m=2時復(fù)相關(guān)系數(shù)計算公式為：m個因子與y的復(fù)相關(guān)系數(shù)最大，表示這m個因子線性組合后與y的關(guān)系最密切。復(fù)相關(guān)系數(shù)規(guī)定取正值。第65頁/共77頁第六十五頁，共78頁。m個預(yù)報因子與y有相關(guān)關(guān)系，則：x1與y的偏相關(guān)系數(shù):x2與y的偏相關(guān)系數(shù)：2、偏相關(guān)系數(shù)當(dāng)存在三個以上變量互相影響時（如考慮y和x1、x2之間的關(guān)系），需要考慮消除了x1(x2)影響后，x2(x1)與y的相關(guān)關(guān)系，這時候的相關(guān)系數(shù)稱為偏相關(guān)系數(shù)，記為：第66頁/共77頁第六十六頁，共78頁。偏相關(guān)系數(shù)計算公式：當(dāng)m=2時：第67頁/共77頁第六十七頁，共78頁。第68頁/共77頁第六十八頁，共78頁。第69頁/共77頁第六十九頁，共78頁。第四節(jié)高相關(guān)變量間的相關(guān)系數(shù)及其檢驗（1）非高自相關(guān)變量----兩變量無持續(xù)性相關(guān)系數(shù)t檢驗的自由度n-2

（2）高自相關(guān)變量----兩變量本身有強持續(xù)性或高自相關(guān)。相關(guān)系數(shù)t檢驗的自由度需用有效自由度n/T第70頁/共77頁第七十頁，共78頁。有效自由度計算公式：τ通常取到n/2

*

表示標(biāo)準(zhǔn)化值第71頁/共77頁第七十一頁，共78頁。Rxy(0.05)=0.344Rxy(0.01)