廣東省汕頭市澄初級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

廣東省汕頭市澄初級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)AB=6，在線段AB上任取兩點(diǎn)（端點(diǎn)A、B除外），將線段AB分成了三條線段，（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；（2）若分成的三條線段的長度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率．參考答案：【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式；CF：幾何概型．【分析】（1）本題是一個(gè)古典概型，若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能為：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3種情況，其中只有三條線段為2，2，2時(shí)能構(gòu)成三角形，得到概率．（2）本題是一個(gè)幾何概型，設(shè)出變量，寫出全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，和滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域，注意整理三條線段能組成三角形的條件，做出面積，做比值得到概率．【解答】解：（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能為：1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；2，1，3；2，2，2；2，3，1；3，1，2；3，2，1；4，1，1共10種情況，其中只有三條線段為2，2，2時(shí)能構(gòu)成三角形則構(gòu)成三角形的概率p=．（2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型設(shè)其中兩條線段長度分別為x，y，則第三條線段長度為6﹣x﹣y，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，即為0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切蜲AB；若三條線段x，y，6﹣x﹣y，能構(gòu)成三角形，則還要滿足，即為，所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切蜠EF，由幾何概型知所求的概率為：P==2.對(duì)于不等式，某同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：（1）當(dāng)時(shí)，，不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，即當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，不等式成立，則上述證法（

）A.過程全部正確

B.驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確

D.從到的推理不正確參考答案：D點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法證明中需注意的事項(xiàng)(1)初始值的驗(yàn)證是歸納的基礎(chǔ)，歸納遞推是證題的關(guān)鍵，兩個(gè)步驟缺一不可．(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的過程中，要注意從k到k＋1時(shí)命題中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的變化，防止對(duì)項(xiàng)數(shù)估算錯(cuò)誤．(3)解題中要注意步驟的完整性和規(guī)范性，過程中要體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法證題的形式.3.實(shí)驗(yàn)測得四組（x，y）的值為（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），則y與x之間的線性回歸方程為（）A．y=x+1 B．y=x+2 C．y=2x+1 D．y=x﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入所給的四個(gè)選項(xiàng)中驗(yàn)證，若能夠成立的只有一個(gè)，這一個(gè)就是線性回歸方程．【解答】解：∵=×（1+2+3+4）=2.5，=×（2+3+4+5）=3.5，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（2.5，3.5）把樣本中心點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中，只有y=x+1成立，故選A．4.點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C5.某學(xué)校為解決教師的停車問題，在校內(nèi)規(guī)劃了一塊場地，劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個(gè)空車位連在一起，則不同的停車方法有（）A．種 B．種C．8種 D．2種參考答案：A【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，用捆綁法分析：將4個(gè)空車位看成一個(gè)整體，并將這個(gè)整體與8輛不同的車全排列，由排列數(shù)公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求有4個(gè)空車位連在一起，則將4個(gè)空車位看成一個(gè)整體，將這個(gè)整體與8輛不同的車全排列，有A99種不同的排法，即有A99種不同的停車方法；故選：A．6.已知函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值是(

)A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：D7.由直線，，與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（）．A． B．1 C． D．參考答案：A，選．8.如果方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C9.下面四個(gè)命題：①是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則是純虛數(shù)；②任何兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；③若，，且，則；④兩個(gè)共軛虛數(shù)的差為純虛數(shù)．其中正確的有（

）Ａ．1個(gè)

Ｂ．2個(gè)

Ｃ．3個(gè)

Ｄ．4個(gè)參考答案：A略10.如圖，M是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，給出下列命題①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B1C1都相交；②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B1C1都垂直；③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B1C1都相交；④過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B1C1都平行．其中真命題是（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③參考答案：C【考點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)；平面與平面垂直的性質(zhì)．【分析】點(diǎn)M不在這兩異面直線中的任何一條上，所以，過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B1C1都相交，①正確．②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B1C1都垂直，正確．過M點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與直線AB、B1C1都相交，③不正確．④過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B1C1都平行，正確．【解答】解：直線AB與B1C1是兩條互相垂直的異面直線，點(diǎn)M不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖所示：取C1C的中點(diǎn)N，則MN∥AB，且MN=AB，設(shè)BN與B1C1交于H，則點(diǎn)A、B、M、N、H共面，直線HM必與AB直線相交于某點(diǎn)O．所以，過M點(diǎn)有且只有一條直線HO與直線AB、B1C1都相交；故①正確．過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B1C1都垂直，此垂線就是棱DD1，故②正確．過M點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與直線AB、B1C1都相交，故③不正確．過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B1C1都平行，此平面就是過M點(diǎn)與正方體的上下底都平行的平面，故④正確．綜上，①②④正確，③不正確，故選

C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何圖形中直線和平面的相交、平行、垂直的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積是．參考答案：【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知該四棱錐是如圖所示的四棱錐S﹣ABCD，其中ABCD是邊長為2的正方體，面SAD⊥面ABCD，SA=SD，AD中點(diǎn)為E，SE=4，由此求出外接球的半徑，利用球體的表面積公式計(jì)算即可．【解答】解：由三視圖知該四棱錐是如圖所示的四棱錐S﹣ABCD，其中ABCD是邊長為2的正方體，面SAD⊥面ABCD，SA=SD，AD中點(diǎn)為E，SE=4，其BC中點(diǎn)G，連結(jié)EG、SG，BD∩AC=H，設(shè)該四棱錐的外接球球心為O，作OF⊥SE于F，則OH⊥平面ABCD，OF=EH=1，CH=，設(shè)OH=x，則SF=4﹣x，∵OS=OC=R，∴OS2=OC2，即（4﹣x）2+1=x2+2，解得x=，∴該四棱錐的外接球半徑R==，∴該四棱錐的外接球的表面積S=4πR2=4π×=．故答案為：．12.過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓與直線x=﹣1相切，則拋物線的方程為．參考答案：y2=4x【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】判斷以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，由已知得準(zhǔn)線方程為x=﹣2，即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：取AB的中點(diǎn)M，分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、N，如圖所示：由拋物線的定義可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切由已知得準(zhǔn)線方程為x=﹣1，∴=1，∴p=2，故所求的拋物線方程為y2=4x．故答案為：y2=4x．13.(不等式選講)若關(guān)于的不等式的解集為,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.參考答案：略14.已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是_______________．參考答案：略15.已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.則實(shí)數(shù)的值為________.參考答案：2或0；

16.在△的邊上有個(gè)點(diǎn)，邊上有個(gè)點(diǎn)，加上點(diǎn)共個(gè)點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有

個(gè).參考答案：

解析：17.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若，則c的值是______．參考答案：1【分析】由題得，解不等式得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以c=1.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn)．（1）求證：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．參考答案：考點(diǎn)： 用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．專題： 綜合題．分析： （1）連接A1C，交AC1于點(diǎn)O，連接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四邊形ACC1A1為矩形，由此利用三角形中位線能夠證明A1B∥平面ADC1．（2）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB1兩兩垂直．由此能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．解答： （1）證明：連接A1C，交AC1于點(diǎn)O，連接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四邊形ACC1A1為矩形，O為A1C的中點(diǎn)，又D為BC中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A1BC中位線，所以A1B∥OD，因?yàn)镺D?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1兩兩垂直．以BA為x軸，以BC為y軸，以BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn)，∴可設(shè)AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，設(shè)平面ADC1的法向量為，則，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值為|cos＜＞|=||=．點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運(yùn)用．19.（本小題滿分12分）已知小島A的周圍38海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后在C處測得小島A在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，問有無觸礁的危險(xiǎn)？參考答案：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，故∠A=15°由正弦定理得：,故于是A到BC的直線距離是Acsin45°==，大于38海里，無觸礁危險(xiǎn)。20.在△ABC中，已知A(5,-2)，B(7,3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)直線MN的方程；參考答案：(1)設(shè)C(x0，y0)，則AC中點(diǎn)M，BC中點(diǎn)N，….3分∵M(jìn)在y軸上，∴=0，x0=-5。……..4分∵N在x軸上，∴=0，y0=-3。.即C(-5,-3)?！?6分(2)∵M(jìn)，N(1,0)，∴直線MN的方程為=1，即5x-2y-5=0………4分.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值；（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小