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廣東省梅州市梅林中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是函數(shù)的極小值點(diǎn),則=(
)(A)-16
(B)-2
(C)16
(D)2參考答案:D試題分析:,令得或,易得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故的極小值為,由已知得,故選D.1考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值,屬于難題.求函數(shù)極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù);(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么在處取極大值,如果左負(fù)右正,那么在處取極小值.2.某幾何體的三視圖入圖所示,則此幾何體對(duì)應(yīng)直觀圖中△PAB的面積是(A)
(B)2
(C)
(D)參考答案:A3.已知集合,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C,所以,故選C.考點(diǎn):1.集合的運(yùn)算;2.二次不等式的求解.4.已知集合A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|y=ln(1﹣|x|)},則A∩(?RB)=()A.(1,2) B.[1,2) C.(﹣1,1) D.(1,2]參考答案:B【考點(diǎn)】1H:交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【分析】求出集合A中不等式的解集,確定出集合A,求出集合B中函數(shù)的定義域,確定出集合B,找出R中不屬于B的部分,求出B的補(bǔ)集,找出A與B補(bǔ)集的公共部分即可.【解答】解:由集合A中的不等式x2﹣x﹣2<0,解得:﹣1<x<2,∴A=(﹣1,2),由集合B中的函數(shù)y=ln(1﹣|x|),得到1﹣|x|>0,即|x|<1,解得:﹣1<x<1,∴B=(﹣1,1),又全集R,∴CRB=(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞),則A∩(CRB)=[1,2).故選B5.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問(wèn)題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問(wèn)積幾何?答曰:二千一百一十二尺.術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.這里所說(shuō)的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”.就是說(shuō):圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長(zhǎng)的平方×高),則由此可推得圓周率π的取值為(
)A.3
B.3.1
C.3.14
D.3.2參考答案:A6.已知向量=(1,2),=(a,﹣1),若⊥,則實(shí)數(shù)a的值為()A.﹣2 B.﹣ C. D.2參考答案:D【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.【分析】直接利用向量垂直數(shù)量積為0列式求得a值.【解答】解:∵=(1,2),=(a,﹣1),∴由⊥,得1×a+2×(﹣1)=0,即a=2.故選:D.7.已知點(diǎn)P(3,4)和圓C:(x2)2+y2=4,A,B是圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|AB|=,則(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍是(
)A.[3,9] B.[1,11] C.[6,18] D.[2,22]參考答案:D8.關(guān)于函數(shù):①;②是奇函數(shù);③上單調(diào)遞增;④方程總有四個(gè)不同的解,其中正確的是(
)A.僅②④
B.僅②③
C.僅①②
D.僅③④參考答案:C9.(5分)(2015?浙江模擬)若a是實(shí)數(shù),則“a2≠4”是“a≠2”的()A.充要條件B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件D.必要不充分條件參考答案:C【考點(diǎn)】:必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【專題】:簡(jiǎn)易邏輯.【分析】:根據(jù)充分必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.解:若“a2≠4”,則“a≠2”,是充分條件,若“a≠2”,則推不出“a2≠4”,不是必要條件,故選:C.【點(diǎn)評(píng)】:本題考查了充分必要條件,考查了不等式問(wèn)題,是一道基礎(chǔ)題.10.已知集合A={0,1},B={x|x2≤4},則A∩B=(
) A.{0,1} B.{0,1,2} C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤2}參考答案:A考點(diǎn):交集及其運(yùn)算.專題:集合.分析:求出B中不等式的解集確定出B,找出A與B的交集即可.解答: 解:由B中不等式變形得:(x﹣2)(x+2)≤0,解得:﹣2≤x≤2,即B=,∵A={0,1},∴A∩B={0,1}.故選:A.點(diǎn)評(píng):此題考查了交集及其運(yùn)算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),若關(guān)于x的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.參考答案:(-∞,1]12.若函數(shù)f(x)=(2x2-a2x-a)lgx的值域?yàn)?則a=_________參考答案:略13.在平面幾何里,已知的兩邊互相垂直,且,則邊上的高;現(xiàn)在把結(jié)論類比到空間:三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,平面,且,則點(diǎn)到平面的距離
.參考答案:14.已知函數(shù)f(x)=ex+alnx的定義域是D,關(guān)于函數(shù)f(x)給出下列命題:①對(duì)于任意a∈(0,+∞),函數(shù)f(x)是D上的減函數(shù);②對(duì)于任意a∈(-∞,0),函數(shù)f(x)存在最小值;③存在a∈(0,+∞),使得對(duì)于任意的x∈D,都有f(x)>0成立;④存在a∈(-∞,0),使得函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是________(寫出所有正確命題的序號(hào)).參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;命題的真假判斷與應(yīng)用.A2
B3
B12【答案解析】②④
解析:由對(duì)數(shù)函數(shù)知:函數(shù)的定義域?yàn)椋海?,+∞),f′(x)=ex+①∵a∈(0,+∞)∴f′(x)=ex+≥0,是增函數(shù).所以①不正確,②∵a∈(﹣∞,0),∴存在x有f′(x)=ex+=0,可以判斷函數(shù)有最小值,②正確.③畫出函數(shù)y=ex,y=alnx的圖象,如圖:顯然不正確.④令函數(shù)y=ex是增函數(shù),y=alnx是減函數(shù),所以存在a∈(﹣∞,0),f(x)=ex+alnx=0有兩個(gè)根,正確.故答案為:②④【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo)數(shù),若為減函數(shù)則導(dǎo)數(shù)恒小于零;在開(kāi)區(qū)間上,若有最小值則有唯一的極小值,若有零點(diǎn)則對(duì)應(yīng)方程有根.15.(5分)函數(shù)f(x)=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.參考答案:(﹣∞,2﹣)∪【考點(diǎn)】:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【專題】:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.【分析】:函數(shù)f(x)=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線?方程f′(x)=在區(qū)間x∈(0,+∞)上有解,并且去掉直線2x﹣y=0與曲線f(x)相切的情況,解出即可.解:,(x>0).∵函數(shù)f(x)=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線,∴方程在區(qū)間x∈(0,+∞)上有解.即在區(qū)間x∈(0,+∞)上有解.∴a<2.若直線2x﹣y=0與曲線f(x)=lnx+ax相切,設(shè)切點(diǎn)為(x0,2x0).則,解得x0=e.此時(shí).綜上可知:實(shí)數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,2﹣)∪.故答案為:(﹣∞,2﹣)∪.【點(diǎn)評(píng)】:本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的斜率、相互平行的直線之間的斜率關(guān)系、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.16.在極坐標(biāo)系中,曲線C1:ρ=﹣2cosθ與曲線C2:ρ=2sinθ的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
.參考答案:2略17.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù),且,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為
.參考答案:,表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率,因?yàn)?,所以,,即函?shù)圖象在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1,即在內(nèi)恒成立。由定義域可知,所以,即,所以成立。設(shè),則,當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為15,所以,即的取值范圍為。三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)
已知函數(shù),
(1)若存在x>0,使f(x)≤0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍,
(2)設(shè)1<m≤e,H(x)=f(x)一(m+1)x,證明:對(duì)任意的x1,,x2∈[1,m],恒有H(x1)-
H(x2)<1.參考答案:(1)(-∞,-e]∪(0,+∞)(2)略【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12(1)由題意f(x)=x2+mlnx,得f′(x)=x+.
①當(dāng)m>0時(shí),f′(x)=x+>0,因此f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知f(x)的值域?yàn)镽,因此x>0,使f(x)≤0成立;
②當(dāng)m=0時(shí),f(x)=>0,對(duì)x>0,f(x)>0恒成立;
③當(dāng)m<0時(shí),由f′(x)=x+得x=,
x
(,+∞)
-0+f(x)↘極小值↗此時(shí)f(x)min=f()=-+mln.
令f(x)min>0-e<m<0.
所以對(duì)x>0,f(x)>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-e,0].
故x>0,使f(x)≤0成立,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-e]∪(0,+∞).
(2)∵H(x)=f(x)-(m+1)x=x2+mlnx-(m+1)x,
∴H′(x)=x+-(m+1)=.
x∈[1,m],H′(x)=≤0,所以函數(shù)H(x)在[1,m]上單調(diào)遞減.
于是H(x1)-H(x2)≤H(1)-H(m)=m2-mlnm-.
H(x1)-H(x2)<1m2-mlnm-<1m-lnm-<0.
記h(m)=m-lnm-(1<m≤e),則h′(m)=-+>0,
所以函數(shù)h(m)=m-lnm-在(1,e]上是單調(diào)增函數(shù),
所以h(m)≤h(e)=-1-<0,故對(duì)x1,x2∈[1,m],恒有H(x1)-H(x2)<1【思路點(diǎn)撥】(1)由題意f(x)=x2+mlnx,得f′(x)=x+.討論m的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性與其最值,通過(guò)最小值與0的關(guān)系得到m的范圍.
(2)H′(x)=x+-(m+1)=≤0,所以函數(shù)H(x)在[1,m]上單調(diào)遞減.H(x1)-H(x2)<1?m2-mlnm-<1?m-lnm-<0,所以設(shè)h(m)=m-lnm-(1<m≤e)判斷其單調(diào)性求其最值即可證得.19.本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講:已知函數(shù)(1)解不等式;
(2)若不等式的解集為空集,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:.(1)
解得
……………5分(2)由的圖像可得
……………10分略20.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中,,且,,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,求Sn.參考答案:(1);(2)見(jiàn)解析。(1)設(shè)公差為d,則由,,成等比數(shù)列.得整理得,所以。(2)利用“錯(cuò)位相減法”求和21.(本小題滿分12分)某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比(如圖1),B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注:利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元)(注:利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元)(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)、表示為投資額x的函數(shù);(2)該團(tuán)隊(duì)已籌集到10萬(wàn)元資金,并打算全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問(wèn):當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為多少萬(wàn)元時(shí),生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為多少?參考答案:(1),;(2)6.25,4.0625.
試題分析:(1)由產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比,產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比,結(jié)合函數(shù)圖象,我們可以利用待定系數(shù)法來(lái)求兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系;(2)由(1)的結(jié)論,我們?cè)O(shè)產(chǎn)品的投資額為萬(wàn)元,則產(chǎn)品的投資額為萬(wàn)元,這時(shí)可以構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于收益的函
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