廣東省梅州市周江中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

廣東省梅州市周江中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)（），且，則滿足的軌跡方程是（

）A． B．Ks5uC． D．參考答案：A略2.圓C1:與圓C2:的位置關(guān)系是（

）A.外離

B.相交

C.內(nèi)切

D.外切參考答案：D略3.設(shè)向量=（x﹣1，4），=（2，x+1），則“x=3”是“∥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由向量共線可得x的值，再由集合的包含關(guān)系可得答案．【解答】解：=（x﹣1，4），=（2，x+1），∥，∴（x﹣1）（x+1）=4×2，解得x=±3，∵集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，∴“x=3”是“∥”的充分不必要條件，故選：A．4.已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量與的夾角為(

)A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】計(jì)算題．【分析】由題意可得：，進(jìn)而得到與||，||，再由cos＜，＞=可得答案．【解答】解：因?yàn)锳（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夾角為60°故選C．【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模，以及由向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)試題5.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲三次，設(shè)X為正面向上的次數(shù)，則等于（

）A．

B．0.25

C．0.75

D．0.5參考答案：C略6.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞1 B．k=1 C．k≤1 D．k＜1參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；絕對(duì)值不等式．【分析】若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，只需k小于|x+2|+|x+1|的最小值即可．由絕對(duì)值的幾何意義，求出|x+2|+|x+1|取得最小值1，得k＜1【解答】解：若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，只需k小于|x+2|+|x+1|的最小值即可．由絕對(duì)值的幾何意義，|x+2|+|x+1|表示在數(shù)軸上點(diǎn)x到﹣2，﹣1點(diǎn)的距離之和．當(dāng)點(diǎn)x在﹣2，﹣1點(diǎn)之間時(shí)（包括﹣1，﹣2點(diǎn)），即﹣2≤x≤﹣1時(shí)，|x+2|+|x+1|取得最小值1，∴k＜1故選D7.定義A﹣B={x|x∈A且x?B}，若A={1，3，5，7，9}，B={2，3，5}，則A﹣B等于(

)A．A B．B C．{2} D．{1，7，9}參考答案：D【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】新定義．【分析】理解新的運(yùn)算，根據(jù)新定義A﹣B知道，新的集合A﹣B是由所有屬于A但不屬于B的元素組成．【解答】解：∵A﹣B={x|x∈A且x?B}．A={1，3，5，7，9}，B={2，3，5}，則A﹣B={1，7，9}．

故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的運(yùn)算，是一道創(chuàng)新題，具有一定的新意．要求學(xué)生對(duì)新定義的A﹣B有充分的理解才能正確答．8.不等式的解集是（）A.

B.C.

D.參考答案：D9.已知函數(shù)，，，，，則A、B、C的大小關(guān)系為()A．A≤B≤C

B．A≤C≤BC．B≤C≤A

D．C≤B≤A參考答案：A10.對(duì)于，直線恒過(guò)定點(diǎn)，則以為圓心，為半徑的圓的方程是（

）A． B． C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為

參考答案：6略12.復(fù)數(shù)的虛部為________.參考答案：;13.已知點(diǎn)P（1，1），圓C：x2+y2﹣4x=2，過(guò)點(diǎn)P的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（M不同于P），若|OP|=|OM|，則l的方程是．參考答案：3x+y﹣4=0【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】圓C的方程可化為（x﹣2）2+y2=6，所以圓心為C（2，0），半徑為，設(shè)M（x，y），運(yùn)用?=0，化簡(jiǎn)整理求出M的軌跡方程．由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，可得ON⊥PM，由直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，再由點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程．【解答】解：圓C的方程可化為（x﹣2）2+y2=6，所以圓心為C（2，0），半徑為，設(shè)M（x，y），則=（x﹣2，y），=（1﹣x，1﹣y），由題設(shè)知?=0，故（x﹣2）（1﹣x）+y（1﹣y）=0，即（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．M的軌跡是以點(diǎn)N（1.5，0.5）為圓心，為半徑的圓．由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM．因?yàn)镺N的斜率為，所以l的斜率為﹣3，故l的方程為y﹣1=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4=0．故答案為：3x+y﹣4=0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則a1C＋a2C＋…＋an＋1C＝

.參考答案：略15.已知函數(shù)，且，則的值是

▲

.參考答案：4

略16.一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)它向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為，則3秒后，這只螞蟻在x=1處的概率為________.參考答案：【分析】3秒后，這只螞蟻在x=1處的概率即求螞蟻三次移動(dòng)中，向右移動(dòng)兩次，向左移動(dòng)一次的概率，由次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算即可?！驹斀狻?秒后，這只螞蟻在x=1處的概率即求螞蟻三次移動(dòng)中，向右移動(dòng)兩次，向左移動(dòng)一次的概率，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。17.6名運(yùn)動(dòng)員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服，由于燈光暗淡，有一部分隊(duì)員拿錯(cuò)了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到別人的外衣情況個(gè)數(shù)為

.參考答案：135三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲線y=f（x）與x軸切于原點(diǎn)O．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若f（x）?（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即可得到a，b的值；（2）由題意可得（x﹣1）[ex﹣（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=ex﹣（x2+2x+2），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即有0，1為二次方程x2+mx﹣n=0的兩根，即可得到m，n的值，進(jìn)而得到m+n的值．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex（2ax+ax2+bx+a）﹣（3x2+2x），由曲線y=f（x）與x軸切于原點(diǎn)O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即有a=0，b=1；（2）f（x）?（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即為[（x﹣1）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，即有（x﹣1）[ex﹣（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=ex﹣（x2+2x+2）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=ex﹣x﹣1，設(shè)h（x）=ex﹣x﹣1，h′（x）=ex﹣1，當(dāng)x≥0時(shí)，h′（x）≥0，h（x）遞增，可得h（x）≥h（0）=0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）遞增，可得g（x）≥g（0）=0，即ex﹣（x2+2x+2）≥0；當(dāng)x≤0時(shí)，h′（x）≤0，h（x）遞減，可得h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）遞減，可得g（x）≤g（0）=0，即ex﹣（x2+2x+2）≤0．由（*）恒成立，可得x≥0時(shí)，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，且x≤0時(shí)，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≤0恒成立，即有0，1為二次方程x2+mx﹣n=0的兩根，可得n=0，m=﹣1，則m+n=﹣1．19.（12分）（2015秋?湛江校級(jí)期中）數(shù)列{an}滿足a1=1，=+1，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=3n?，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式．（2）利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可．【解答】（本小題12分）（1）解：由已知可得﹣=1，…．（2分）所以是以=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．得=1+（n﹣1）?1=n，所以an=n2，…（4分）（2）由（1）得an=n2，從而bn=n?3n…．（5分）Sn=1×31+2×32+3×33+…+n?3n①3Sn=1×32+2×33+3×34+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1②①﹣②得：﹣2Sn=31+32+33+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=．…．（10分）所以Sn=．…．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力．20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．（1）證明：BE⊥DC；（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；MI：直線與平面所成的角．【分析】（1）取PD中點(diǎn)M，連接EM，AM，推導(dǎo)出四邊形ABEM為平行四邊形，CD⊥平面PAD，由此能證明BE⊥DC．（2）連接BM，推導(dǎo)出PD⊥EM，PD⊥AM，從而直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM，∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角，由此能求出直線BE與平面PDB所成角的正弦值．（3）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣P的余弦值．【解答】證明：（1）如圖，取PD中點(diǎn)M，連接EM，AM．∵E，M分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴EM∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四邊形ABEM為平行四邊形，∴BE∥AM．∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴BE⊥DC．解：（2）連接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M為PD的中點(diǎn)，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM為銳角，∴∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角．依題意，有PD=2，而M為PD中點(diǎn)，∴AM=，∴BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM==，∴直線BE與平面PBD所成角的正弦值為．（3）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，2），設(shè)平面BDP的法向量=（x，y，z），則，取x=2，得=（2，1，1），平面ABD的法向量=（0，0，1），設(shè)二面角A﹣BD﹣P的平面角為θ，則cosθ===．∴二面角A﹣BD﹣P的余弦值為．21.設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣b2+4．（Ⅰ）若a是從﹣2、﹣1、0、1、2五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0、1、2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)的概率；（Ⅱ）若a是從區(qū)間[﹣2，2]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；幾何概型．【分析】（Ⅰ）問(wèn)題等價(jià)于a2+b2＜4，列舉可得基本事件共有15個(gè)，事件A包含6個(gè)基本事件，可得概率；（Ⅱ）作出圖形，由幾何概型的概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣b2+4無(wú)零點(diǎn)等價(jià)于方程x2+2ax﹣b2+4=0無(wú)實(shí)根，可得△=（2a）2﹣4（﹣b2+4）＜0，可得a2+b2＜4記事件A為函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣b2+4無(wú)零點(diǎn)，總的基本事件共有15個(gè)：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），事件A包含6個(gè)基本事件，∴P（A）=（Ⅱ）如圖，試驗(yàn)的