廣東省廣州市大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

廣東省廣州市大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知x,y滿足約束條件

，則的最大值是

（

）

A．

B．

C．2

D．4參考答案：B2.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z=|x+4y|的最大值為（）A．9 B．17 C．5 D．15參考答案：B【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，設(shè)t=x+4y，將其對應(yīng)的直線進(jìn)行平移并觀察直線在軸上的截距變化，可得﹣17≤x+4y≤5，由此即得z=|x+4y|的最大值為17．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（﹣3，5），B（﹣3，﹣3），C（1，1）設(shè)t=F（x，y）=x+4y，將直線l：t=x+4y進(jìn)行平移，∵F（﹣3，5）=﹣17，F(xiàn)（﹣3，﹣3）=﹣15，F(xiàn)（1，1）=5，∴當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，目標(biāo)函數(shù)t達(dá)到最大值；當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)t達(dá)到最小值由此可得：﹣17≤4x+y≤5，即得z=|x+4y|的最大值為17故選：B3.有下列關(guān)系：①人的年齡與他（她）擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系，其中有相關(guān)關(guān)系的是(

).A．①②③ B．①②

C．②③ D．①③④參考答案：D4.

某程序的框圖如圖所示，則運(yùn)行該程序后輸出的的值是（

）A．B．C．D．參考答案：A5.設(shè)，則（

）A．0.16

B．0.32

C．0.84

D．0.64參考答案：A6.若實(shí)數(shù)滿足則的最小值是

A．0

B．1

C．

D．9參考答案：B略7.在極坐標(biāo)系中，曲線關(guān)于（）

A.直線軸對稱BB．直線軸對稱D．

C.點(diǎn)中心對稱

D.極點(diǎn)中心對稱參考答案：B將原極坐標(biāo)方程，化為：ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，化成直角坐標(biāo)方程為：x2+y2+2x﹣2y=0，是一個(gè)圓心在（﹣，1），經(jīng)過圓心的直線的極坐標(biāo)方程是直線軸對稱．故選B．8.函數(shù)f（x）=x2﹣lnx的遞減區(qū)間為（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．【解答】解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=x﹣=，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函數(shù)f（x）在（0，1）遞減，故選：B．9.在等差數(shù)列中，已知，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.下列四個(gè)命題：①對立事件一定是互斥事件

②若為兩個(gè)事件，則③若事件兩兩互斥，則④若事件滿足則是對立事件.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是（

）A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.球O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C在球面上，A與B、A與C的球面距離都是，B與C的球面距離為，則球O在二面角B–OA–C內(nèi)的部分的體積是

；表面積是

。參考答案：，12.將邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱錐中，給出下列三個(gè)命題：①面是等邊三角形；

②；

③三棱錐的體積是.其中正確命題的序號是_________.（寫出所有正確命題的序號）

參考答案：①②.13.設(shè)曲線

。參考答案：114.曲線在點(diǎn)P（0，1）處的切線方程是__________。參考答案：15.已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，是以為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略16.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)=

．參考答案：317.將邊長為1的正方形ABCD延對角形AC折起，使平面平面，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，給出下列三個(gè)命題：1

面是等邊三角形； 2

③三棱錐D-ABC的體積為其中正確命題的序號是_________（寫出所有正確命題的序號）參考答案：①②三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓：的短軸長為，且斜率為的直線過橢圓的焦點(diǎn)及點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知直線過橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)P、Q.（?。┤魸M足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積；（ⅱ）若直線與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點(diǎn)在軸上，且使為的一條角平分線，則稱點(diǎn)為橢圓的“特征點(diǎn)”，求橢圓的特征點(diǎn)．參考答案：解：（Ⅰ）由題意可知，直線的方程為，………1分∵直線過橢圓的焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為∴…………2分又橢圓的短軸長為，∴，∴………3分∴橢圓的方程為………4分（Ⅱ）（?。摺唷?分∴…………8分（ⅱ）設(shè)特征點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，可設(shè)直線PQ的方程為，由消去得設(shè)，則……………10分∵為的一條角平分線，∴，即…………12分又，，代入上式可得∴，解得∴橢圓C的特征點(diǎn)為．………14分略19.（本小題滿分12分）如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，,點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是的中點(diǎn)，且(1)求證:平面平面;(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：(1)取中點(diǎn)，連接，則面，，----------5分（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離，…………6分,……8分……12分

20.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25．（I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；（II）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），α為直線l的傾斜角，l與C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=，求l的斜率．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，能求出C的極坐標(biāo)方程．（Ⅱ）直線l的直角坐標(biāo)方程為=0，圓心（﹣6，0）到直線l的距離d==，由此能求出l的斜率k．【解答】解：（Ⅰ）∵在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴C的極坐標(biāo)方程為ρ2+ρcosθ+11=0．（Ⅱ）∵直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），α為直線l的傾斜角，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為=0，∵l與C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=，∴圓心（﹣6，0）到直線l的距離d==，解得cosα=，當(dāng)cosα=時(shí)，l的斜率k=tanα=2；當(dāng)cosα=﹣時(shí)，l的斜率k=tanα=﹣2．21.（14分）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中a>0。設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同。（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求證：參考答案：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同。

2分

由題意。

即由

得（舍去）

即有。

4分

令則。于是

當(dāng)，即；

當(dāng)，即。

故h(t)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是h(t)在的最大值為。

7分

（Ⅱ）設(shè)

10分

則。

10分

故F(x)在(0，a）為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)F(x)在上的最小值是。

故當(dāng)x>0時(shí)，有，即當(dāng)x>0時(shí)，14分22.有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，求這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和．參考答案：【考點(diǎn)】84：等差數(shù)