2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 三定問(wèn)題及最值（精練）（原卷版）

9.6三定問(wèn)題及最值（精練）【題組一定點(diǎn)】1．（2021·北京新農(nóng)村中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為.直線與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.2．（2021·全國(guó)高三開學(xué)考試（理））已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)斜率分別為，的兩條直線，均經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且直線，與雙曲線C分別交于A，B兩點(diǎn)（A，B異于點(diǎn)Q），若，試判斷直線AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．3．（2021·江蘇周市高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，．交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．4（2021·全國(guó)）已知雙曲線（，）的左焦點(diǎn)為，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)是，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)是．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．5（2021·全國(guó)高三）雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的兩條直線，與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)(，兩點(diǎn)不與點(diǎn)重合)，設(shè)直線，的斜率分別為，，若，證明：直線過(guò)定點(diǎn).6．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知曲線，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和.（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，求的值；（2）設(shè)直線（不與軸垂直）與曲線交于、兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，，且，求證為定點(diǎn).【題組二定值】1．（2021·湖北襄陽(yáng)市·襄陽(yáng)五中高三月考）已知雙曲線：的左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方）．（1）若，求直線的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，，證明：為定值．2．（2021·廣東珠海市·高三月考）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)力程；（2）己知點(diǎn)A是C上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若為定值，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值．3．（2021·福建高三月考）已知雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線的右頂點(diǎn)在圓：上，且．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)、，問(wèn)(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說(shuō)明理由．4．（2021·全國(guó)高三月考）已知雙曲線與有相同的漸近線，點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，為的左，右頂點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，設(shè)直線斜率分別為，是否存在實(shí)數(shù)入使得?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．（2021·河北唐山·高三開學(xué)考試）已知雙曲線E：的離心率為2，點(diǎn)在E上.（1）求E的方程：（2）過(guò)點(diǎn)的直線1交E于不同的兩點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)P），求直線PA，PB的斜率之和.6．（2021·渝中·重慶巴蜀中學(xué)）已知雙曲線的漸近線方程為：，且過(guò)點(diǎn)（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過(guò)右焦點(diǎn)且斜率不為的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，求【題組三定直線】1．（2021·北京二中高三）已知橢圓的離心率為，橢圓C的下頂點(diǎn)和上項(xiàng)點(diǎn)分別為，且，過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)k=2時(shí)，求△OMN的面積；（3）求證：直線與直線的交點(diǎn)T恒在一條定直線上.2．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學(xué)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足，.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知A、B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，記直線的交點(diǎn)為T，是否存在一條定直線l，使點(diǎn)T恒在直線l上？3．（2021·福建漳州三中高三）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，且滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設(shè)，，若過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，且直線與交于點(diǎn).證明：（i）點(diǎn)在定直線上；（ii）若直線與交于點(diǎn)，則.4．（2021·上海高三）設(shè)直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，，問(wèn)是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2021·江蘇南通·高三）已知為拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，與交于點(diǎn)(異于點(diǎn)).直線與相切于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn).（1）證明：線段的中點(diǎn)在定直線上；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，試判斷，，三點(diǎn)是否共線.6．（2021·江蘇高三）已知拋物線，為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線交拋物線于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn).（1）若，設(shè)的面積為，的面積為，求的值；（2）若，求證：的垂心在定直線上.【題組四最值（范圍）】1．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中高三月考（理））已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，過(guò)下焦點(diǎn)且與軸平行的弦長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若、分別為橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最大值及此時(shí)的值.2．（2021·上海市控江中學(xué)高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，點(diǎn)，，為上的兩點(diǎn)，在第一象限，滿足.（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)為上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）記△的面積為，△的面積為，求的最小值.3．（2021·重慶北碚區(qū)·西南大學(xué)附中高三月考）已知直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)是.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與線段AB相交（不含端點(diǎn)）且交橢圓于C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.4．（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三（理））如圖所示，、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，過(guò)作直線的垂線，與圓交