數字信號處理第6章

1第6章傅里葉變換的應用

6.2模擬濾波器的基本概念與設計方法6.1信號的傳輸與濾波6.3信號的采樣6.4調制與解調6.5MATLAB在信息處理與通信中的應用

26.1信號的傳輸與濾波6.1.1無失真?zhèn)鬏?/p>

信號無失真?zhèn)鬏斒侵疙憫盘柵c激勵信號相比，只有幅度大小和出現(xiàn)時間的不同，而沒有波形上的變化。1.時域條件-------常數，其中：-------滯后時間線性系統(tǒng)

32.頻域條件對式（6.1.1）兩邊取傅氏變換，得：即6.1信號的傳輸與濾波

4無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應滿足如下兩個條件：（1）系統(tǒng)的幅頻特性在整個頻率范圍內為常數；（2）系統(tǒng)的相頻特性在整個頻率范圍內應與成正比變化。6.1.2理想濾波器

理想濾波器：在通帶（pass-band）內，濾波器的幅頻特性為常數，相頻特性呈線性；而在阻帶（stop-band）內，濾波器的幅頻特性立即降為零。

6.1信號的傳輸與濾波

56.1信號的傳輸與濾波理想低通濾波器是將頻率低于的所有信號予以無失真地傳輸，而將頻率高于的信號完全抑制。00或---截止頻率1、理想低濾波器

66.1信號的傳輸與濾波（1）沖激響應當時，的特點：響應超前于激勵（非因果系統(tǒng)）000

76.1信號的傳輸與濾波（2）階躍響應令則

86.1信號的傳輸與濾波---------正弦積分00

96.1信號的傳輸與濾波g(t)的特點：a)響應波形的前沿是傾斜的，響應信號的建立需要一段時間。-------階躍響應的建立（上升）時間0000

106.1信號的傳輸與濾波b)理想低通濾波器階躍響應的建立（上升）時間與濾波器的截止頻率成反比。c）響應與激勵相比有波紋。

最大波峰的高度約為跳變值的8.95%左右（波峰值為1.0895),它與無關。

--------吉伯斯現(xiàn)象階躍響應g(t)的第一個極大值發(fā)生在處，將它代入到式(6.1-8)中，得到階躍響應的極大值:0

116.1信號的傳輸與濾波矩形脈沖響應除了比矩形脈沖輸入延遲一段時間t0外，矩形脈沖響應的波形也不再是矩形脈沖，即產生了失真。（3）矩形脈沖響應00

126.1信號的傳輸與濾波a)失真的程度既與理想低通濾波器的頻帶寬度有關，也與矩形脈沖的頻帶寬度或脈沖寬度有關。為矩形脈沖的頻帶寬度

136.1信號的傳輸與濾波b)不同的理想低通濾波器對矩形脈沖的響應

146.1信號的傳輸與濾波在下述情況下，會產生吉伯斯現(xiàn)象：1）激勵有跳變；2）系統(tǒng)的帶寬為有限值。0000

156.1信號的傳輸與濾波2、理想帶通濾波器

166.1信號的傳輸與濾波這是以等效低通濾波器的沖激響應為包絡的正弦調幅信號。

176.2模擬濾波器的基本概念與設計方法6.2.1系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性從時域上看，一個物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的沖激響應h(t)應滿足：（即物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)）從頻域上看，一個物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的頻響特性應滿足：---------佩利-維納準則（Paley-Winnercriterion）

一個物理可實現(xiàn)的實際濾波器的特性只能是理想特性的最佳逼近。

186.2模擬濾波器的基本概念與設計方法6.2.2典型模擬低通濾波器的設計方法通帶

過渡帶

阻帶0通帶公差帶阻帶公差帶通帶邊界頻率阻帶邊界頻率低通濾波器的實際特性：

196.2模擬濾波器的基本概念與設計方法1.巴特沃茲（Butterworth）濾波器（最大平坦幅度特性）n=3n=2n=6---------截止頻率n---------階數模擬濾波器的設計步驟：(1)根據技術指標（濾波器的幅頻特性），確定系統(tǒng)函數H(s)；(2)設計實際網絡實現(xiàn)H(s)。0

206.2模擬濾波器的基本概念與設計方法巴特沃茲濾波器的極點分布特征：

216.2模擬濾波器的基本概念與設計方法令即當n為奇數時：當n為偶數時：設n=2,則

226.2模擬濾波器的基本概念與設計方法可以證明：選左半s平面的兩個極點作為H(s)的極點，則一般形式：---------巴特沃茲多項式(參見P189表6.2-1)0

236.2模擬濾波器的基本概念與設計方法例6.2-1如圖所示，設計一低通巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數。要求在通帶邊界頻率=200rad/s處，幅度衰減δp≤2dB，在阻帶邊界頻率=400rad/s處，幅度衰減δs≥15dB。解：由于通帶邊界頻率處幅度衰減不為3dB，因此要根據通帶和阻帶的衰減要求，聯(lián)立方程。

246.2模擬濾波器的基本概念與設計方法上述兩式取等號可求出由于濾波器的階數n必須是整數，為了滿足和超過所給的技術指標，n應取3。

256.2模擬濾波器的基本概念與設計方法c=687rad/s通過查表6.2-1并將s用代替，最后可得巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數為得到濾波器的系統(tǒng)函數H(s)后，通?？梢圆捎脽o源網絡或有源網絡來實現(xiàn)。

266.2模擬濾波器的基本概念與設計方法2.切比雪夫(Chebyshew)濾波器第一類切比雪夫濾波器的幅頻特性

276.2模擬濾波器的基本概念與設計方法2.切比雪夫(Chebyshew)濾波器第二類切比雪夫濾波器的幅頻特性除了以上兩種濾波器之外，還有橢圓濾波器。橢圓濾波器的幅頻特性在通帶內和阻帶內都具有等波紋特性。

286.2模擬濾波器的基本概念與設計方法6.2.3頻率變換低通濾波器其它類型濾波器（高通、帶通、帶阻）（原型低通濾波器）原型變換設計步驟：(1)根據所設計的濾波器指標要求，導出相應的原型低通指標；(2)確定原型低通的H(s)；(3)根據頻率變換關系得到所設計的濾波器的H(s)。

296.2模擬濾波器的基本概念與設計方法低通濾波器高通濾波器設：－－－低通濾波器的系統(tǒng)函數（角頻率為截止角頻率為）－－－高通濾波器的系統(tǒng)函數（角頻率為截止角頻率為）變換關系：令有

上式表明：s平面中的虛軸正好映射到p平面的虛軸上，其變換關系為：

306.2模擬濾波器的基本概念與設計方法與之間的關系：從原型低通濾波器到高通濾波器的變換關系為：低通原型濾波器與其它類型濾波器的變換參見表6.2-2。000

316.3信號的采樣6.3.1信號采樣的概念

所謂“采樣”就是利用采樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列的離散樣值，這種離散信號通常稱為“采樣信號”。采樣后信號fs(t)，可以看成是原信號

f(t)和一采樣脈沖序列p(t)的乘積。

采樣的模型

326.3信號的采樣

當采樣脈沖是周期矩形序列，將這種采樣稱為矩形脈沖采樣或稱為自然采樣。當采樣脈沖是單位沖激序列，這種采樣稱為沖激采樣或理想采樣。相乘

336.3信號的采樣6.3.2采樣信號的傅里葉變換其中：E0令連續(xù)信號f(t)的傅里葉變換為采樣脈沖p(t)的傅里葉變換為采樣后信號fs(t)的傅里葉變換為所以，

346.3信號的采樣（1）矩形脈沖采樣E

356.3信號的采樣

366.3信號的采樣Fs(jΩ)

是將F(jΩ)在以Ωs為周期的重復過程中幅度以的規(guī)律變化。

由于沖激序列的傅里葉系數Pn為常數，所以F(jΩ)是以Ωs為周期等幅地重復。（2）沖激采樣tp(t)Ts(1)0

376.3信號的采樣

386.3信號的采樣6.3.3采樣定理

用采樣脈沖對連續(xù)信號進行采樣，采樣信號能否代表原連續(xù)信號呢？如果能則又如何從采樣信號中恢復原連續(xù)信號？

從上圖可知：只有滿足

才不會產生頻譜混疊，即保留了原連續(xù)時間信號的全部信息。

這時只要將施加于“理想低通濾波器”，就可恢復原信號f(t)。

ΩFs(jΩ)Ω

m-Ω

m1/TsΩ

s-Ω

s0理想采樣信號的頻譜如右圖所示

396.3信號的采樣

406.3信號的采樣

通常把最低不失真采樣樣率稱為奈奎斯特采樣率，把最大不失真采樣間隔稱為奈奎斯特間隔。即或：采樣定理：一個頻譜受限的信號f(t)，如果頻譜只占據-Ωm~Ωm的范圍，則信號f(t)可以用等間隔的采樣值來惟一地表示。采樣頻率必須大于2fm（)或者說采樣間隔必須小于1/2fm,()。

416.3信號的采樣實際上，理想低通濾波器是不可能實現(xiàn)的。另一方面，實際被傳輸的信號，一般不是頻帶受限信號。

采樣信號通過實際低通濾波器非頻帶受限信號采樣后頻譜的混疊現(xiàn)象

426.3信號的采樣6.3.4從采樣信號恢復連續(xù)信號為了從頻譜中無失真地選出，可以將采樣信號通過一理想低通濾波器，低通濾波器的頻率特性為其中

從頻域角度講，濾波器輸出端的頻譜就是與相乘。

即濾波器的輸出端可以得到頻譜為的連續(xù)信號當采樣信號的頻譜無混疊時，就與采樣前的連續(xù)時間信號一樣。

436.3信號的采樣下面再從時域角度來看如何由采樣信號恢復

446.3信號的采樣若取上式說明，連續(xù)信號f(t)可以展開成正交抽樣函數（Sa函數）的無窮級數，級數的系數等于采樣值

456.3信號的采樣

466.3信號的采樣解:（1）奈奎斯特取樣率為：例6.3-1：已知信號用對其進行取樣，（1）確定奈奎斯特取樣率；（2）若取求取樣信號并畫出波形圖；（3）求并畫出頻譜圖；（4）確定低通濾波器的截止頻率00

476.3信號的采樣（2）0

486.3信號的采樣（3）即（4）低通濾波器的截止頻率應滿足下式：00

496.3信號的采樣例6.3-2：大致畫出下圖所示周期矩形信號沖激取樣后信號的頻譜。若被間隔為Ts的沖激序列所取樣，令取樣后的信號為,求其傅里葉變換。解:首先求出對應于的單脈沖信號0

506.3信號的采樣000時域周期延拓頻域采樣時域采樣頻域周期延拓

516.3信號的采樣f0(t)以T1為周期重復，構成其中：

526.3信號的采樣所以

536.3信號的采樣若被間隔為的沖激序列所采樣，便構成了周期矩形采樣信號

546.3信號的采樣

556.4調制與解調6.4.1調制的概念及調制的分類1.調制的概念2.調制的目的（1）便于信號的輻射（2）便于多路通信調制就是由攜帶信息且需要傳送的調制信號去控制不含信息的高頻載波信號的一個或某幾個參數，使這些參數按照信號的規(guī)律變化，從而形成具有高頻頻譜的窄帶信號。

566.4調制與解調3.調制的分類（1）按調制信號g(t)的不同進行分類

a)模擬調制：g(t)為模擬信號。典型波形為單頻正弦波。

b）數字調制：g(t)為數字信號。典型代表為二進制數字脈沖序列。（2）按載波信號c(t)的不同進行分類

a)連續(xù)波調制：c(t)為連續(xù)波形。典型代表為正弦波。

b）脈沖調制：c(t)為脈沖波形。典型代表為矩形脈沖序列。（3）按調制器的功能不同進行分類

a)幅度調制（調幅）：用g(t)改變c(t)的幅度參數（即：載波c(t)的幅度隨g(t)成比例地變化）。如：常規(guī)調幅（AM)、脈沖調幅(PAM)、抑制載波調幅(SC-AM)等。

576.4調制與解調

b）頻率調制（調頻）：用g(t)改變c(t)的頻率參數（即：載波c(t)的頻率隨g(t)成比例地變化）。如：調頻（FM)、脈沖調頻(PFM)等。

c）相位調制（調相）：用g(t)改變c(t)的相位參數（即：載波c(t)的相位隨g(t)成比例地變化）。如：調相（PM)、脈沖調相(PPM)等。調頻與調相都表現(xiàn)為總相角受到調制，所以總稱為角度調制（調角）。幅度調制為線性調制，角度調制為非線性調制。本章我們只討論線性調制。

586.4調制與解調6.4.2調幅信號的傅里葉變換--------調制信號--------載波信號--------已調制信號調幅的一般模型根據g(t)與c(t)的不同，分別介紹以下幾種調幅信號及其傅里葉變換：

596.4調制與解調1.常規(guī)調幅（AM）--------g(t)中的直流分量--------g(t)中載有信息的交變分量為討論問題方便起見，設則（1）

606.4調制與解調AM調制不失真的條件是：0000反相點過調制失真0

616.4調制與解調設：

626.4調制與解調把若干個要傳送的信號分別搬移到不同的載頻上，就可以在同一信道內同時傳送幾個信號。用這種辦法構成的通信系統(tǒng)稱為頻分多路復用（FDM，frequency-divisionmultiplex）系統(tǒng)。00

636.4調制與解調2.雙邊帶抑制載波調幅（DSB）在上式中令則（3）00

646.4調制與解調0反相點0

656.4調制與解調3.脈沖幅度調制

載波信號是一個矩形脈沖串時，這種類型的幅度調制稱為脈沖幅度調制（PAM）。E0

666.4調制與解調

676.4調制與解調脈沖幅度調制的重要應用之一是在一個單一的信道上傳輸多路信號?？梢詫崿F(xiàn)時分多路復用（time-divisionmultiplex）

686.4調制與解調6.4.3解調概念解調又稱為檢波，它是從s(t)恢復g(t)的過程。1.常規(guī)調幅信號的解調由左圖可見：的包絡與g(t)成線性關系。因此，可以采用最簡單、廉價的包絡檢波器（由二極管、電阻、電容組成）來恢復原調制信號。0

696.4調制與解調2.雙邊帶抑制載波調幅信號的解調由左圖可見：的包絡并不與g(t)成線性關系，而是隨而變化，因此其包絡并不包含g(t)的全部信息。因而不能采用包絡檢波的方法。

雙邊帶抑制載波調幅信號的解調必須采用相干（同步）解調的方法。0相乘低通濾波器（本地載波）

706.4調制與解調（3）相乘低通濾波器（本地載波）將（3）式代入（4）式得：

716.4調制與解調0再通過一個截止頻率為理想低通濾波器，即可取出。其中滿足：0

726.4調制與解調000

736.4MATLAB在信息處理與通信中的應用線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的主要功能是對信號進行濾波，將需要的信號保留或放大，將不需要的信號濾除或削弱。在MATLAB中，模擬濾波器設計函數相當成熟，主要有巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器四種類型。在信息通信中，對信號進行線性變換的方法，主要有信號的采樣與重構、調幅變換，在MATLAB中，這兩種變換方法沒有直接實現(xiàn)函數，需要通過編程實現(xiàn)。例6.5-1設計一個模擬低通濾波器，其性能指標為：通帶邊界頻率，通帶最大衰減，阻帶最小衰減。分別用巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器四種設計方法設計上述濾波器，并繪制各濾波器的幅頻特性曲線。，阻帶邊界頻率

746.4MATLAB在信息處理與通信中的應用

解:MATLAB信號處理工具箱為用戶提供了可以直接得到最優(yōu)濾波器階數的函數，即Buttord，Cheb1ord，Cheb2ord和Ellipord。通過上述函數可以得到濾波器的最小階數和截止頻率，從而設計出滿足要求的濾波器。Wp=1000;Ws=2500;Rp=1;Rs=30;w=linspace(1,3000,1000);[N1,Wn1]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N1％巴特沃思濾波器的最小階數[N2,Wn2]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N2[N3,Wn3]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N3[N4,Wn4]=Ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N4[b1,a1]=butter(N1,Wn1,'s');h1=freqs(b1,a1,w);％butter設計巴特沃思濾波器subplot(2,2,1);plot(w,abs(h1));grid;xlabel('rad/s');title('巴特沃思濾波器');[b2,a2]=cheby1(N2,Rp,Wn2,'s');h2=freqs(b2,a2,w); subplot(2,2,2);plot(w,abs(h2));grid;xlabel('rad/s');title('切比雪夫Ⅰ型濾波器');[b3,a3]=cheby2(N3,Rs,Wn3,'s');h3=freqs(b3,a3,w); subplot(2,2,3);plot(w,abs(h3));grid;xlabel('rad/s');title('切比雪夫Ⅱ型濾波器');[b4,a4]=Ellip(N4,Rp,Rs,Wn4,'s');h4=freqs(b4,a4,w); subplot(2,2,4);plot(w,abs(h4));grid;xlabel('rad/s');title('橢圓濾波器');

756.4MATLAB在信息處理與通信中的應用命令窗口會出現(xiàn)N1=5，N2=4，N3=4，N4=3，說明同樣的性能指標，用巴特沃思濾波器設計需要5階，用切比雪夫Ⅰ、Ⅱ型濾波器設計需要4階，用橢圓濾波器設計只需3階。當然橢圓濾波器存在通帶和阻帶的波動。

766.4MATLAB在信息處理與通信中的應用例6.5-2