山西省運(yùn)城市北垣中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省運(yùn)城市北垣中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)y=f(x)的圖象如圖，則函數(shù)y=f(1-x)的圖象大致為參考答案：A2.已知向量滿足，則=（）A．3 B． C．7 D．參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式以及向量的模的計算即可．【解答】解：∵向量滿足，∴|+|2=||2+2?+||2=2+2?=1，∴2?=﹣1，∴|2+|2=4||2+4?+||2=4﹣2+1=3，∴|2+|=，故選：B3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）

參考答案：D4.曲線y=在點(diǎn)（﹣1，1）處的切線方程為(

)A．y=2x+3 B．y=2x+1 C．y=﹣2x﹣1 D．y=﹣2x參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=﹣1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程即可．【解答】解：y′==∴y′|x=﹣1=2而切點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1）∴曲線y=在點(diǎn)（﹣1，1）處的切線方程為y=2x+3．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)，若，則下列不等式中正確的是

(A)(B)

(C)

(D)參考答案：B略6.（多選題）設(shè)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A.在(0,+∞)單調(diào)遞增 B.在(0,+∞)單調(diào)遞減C.在(0,+∞)上有極大值 D.在(0,+∞)上有極小值參考答案：ABC【分析】根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝xf（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得到結(jié)論．【詳解】解：由x2f′（x）+xf（x）＝lnx得x＞0，則xf′（x）+f（x），即[xf（x）]′，設(shè)g（x）＝xf（x），即g′（x）0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即當(dāng)x＝1時，函數(shù)g（x）＝xf（x）取得極小值g（1）＝f（1），故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7.已知函數(shù)，，若至少存在一個，使成立，則實(shí)數(shù)a的范圍為（

）A．1，+∞）

B．（0，+∞）

C．10，+∞）

D．（，+∞）參考答案：B8.已知函數(shù)，若的圖象向左平移個單位所得的圖象與的圖象向右平移個單位所得的圖象重合，則的最小值為（

）A.

2B.

3C.

4D.

5參考答案：C9.已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．參考答案：D略10.已知為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則“”是“點(diǎn)在第四象限”的

（

）

A．充要條件

B．必要而不充分條件C．充分而不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．參考答案：12.已知，若，則參考答案：3略13.曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是________________．參考答案：.14.已知sinα=3sin（α+），則tan（α+）=

．參考答案：2﹣4【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】利用同角三角的基本關(guān)系、兩角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案為：2﹣4．15.已知，則對應(yīng)的的集合為

.參考答案：[-1，2]16.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當(dāng)x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個命題：①f（2）=0；②x=﹣4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣8．上述命題中所有正確命題的序號為．參考答案：①②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，從而有f（x+4）=f（x），故得函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，再結(jié)合y=f（x）單調(diào)遞減、奇偶性畫出函數(shù)f（x）的簡圖，最后利用從圖中可以得出正確的結(jié)論．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，又當(dāng)x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的奇偶性畫出函數(shù)f（x）的簡圖，如圖所示．從圖中可以得出：②x=﹣4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞減；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣8．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，考查學(xué)生的綜合分析與轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．17.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為，若點(diǎn)，則的最大值為.參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2正三角形，D是A1C1的中點(diǎn)，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．（Ⅰ）求證：A1B∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）連結(jié)BC1，B1C，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則OD∥A1B，由此能證明A1B∥平面B1DC．（2）以D為原點(diǎn)，DC1為x軸，DB1為y軸，過D作平面A1B1C1的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．【解答】證明：（1）連結(jié)BC1，B1C，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2正三角形，D是A1C1的中點(diǎn)，∴OD∥A1B，∵A1B?平面B1DC，OD?平面B1DC，∴A1B∥平面B1DC．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2正三角形，D是A1C1的中點(diǎn)，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．∴以D為原點(diǎn)，DC1為x軸，DB1為y軸，過D作平面A1B1C1的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B1（0，，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），=（﹣1，，﹣3），=（﹣1，0，﹣3），=（0，0，﹣3），設(shè)平面B1DC的法向量=（x，y，z），則，取z=1，得=（﹣3，0，1），設(shè)平面B1CC1的法向量=（a，b，c），則，取b=1，得=（），設(shè)二面角D﹣B1C﹣C1的平面角為θ，則cosθ===．∴二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值為．19.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分別是AA1，BC的中點(diǎn)，∠CDC1=90°，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°．（1）證明：AM∥平面BDC1；（2）證明：DC1⊥平面BDC．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）取BC1的中點(diǎn)N，連接DN，MN，證明：四邊形ADNM為平行四邊形，可得DN∥AM，即可證明AM∥平面BDC1；（2）證明：DC1⊥BC，DC1⊥DC，且DC∩BC=C，即可證明DC1⊥平面BDC．【解答】證明：（1）取BC1的中點(diǎn)N，連接DN，MN，則且．又且，∴AD∥MN，且AD=MN，∴四邊形ADNM為平行四邊形，∴DN∥AM．又DN?平面BDC1，AM?平面BDC1，∴AM∥平面BDC1．（2）由題設(shè)AC=1，則AB=2，由余弦定理，得．由勾股定理，得∠ACB=90°，BC⊥AC1．又∵BC⊥CC1，且CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1．又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．又DC1⊥DC，且DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC．20.設(shè)函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，在其圖象上一點(diǎn)P（x，y）處的切線的斜率記為.

（1）若方程=0有兩個實(shí)根分別為-2和4,求的表達(dá)式；

（2）若在區(qū)間[-1,3]上是單調(diào)遞減函數(shù),求的最小值.參考答案：解（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),所以,則.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,………4分由已知—2、4是方程的兩個實(shí)數(shù),由韋達(dá)定理，

…………6分

（Ⅱ）在區(qū)間[—1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，所以在[—1，3]區(qū)間上恒有,即在[—1，3]恒成立,這只需滿足即可,也即…………10分而可視為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，其中點(diǎn)（—2，—3）距離原點(diǎn)最近，所以當(dāng)時,有最小值13

13分略21.某市為了制定合理的節(jié)電方案，供電局對居民用電進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年200戶居民每戶的月均用電量（單位：度），將數(shù)據(jù)按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求直方圖中m的值并估計居民月均用電量的中位數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從第8組和第9組的居民中任選取2戶居民進(jìn)行訪問，則兩組中各有一戶被選中的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖求出m的值；（Ⅱ）根據(jù)條件概率求出兩組中各有一戶被選中的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）1﹣100×（0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002）=2m×100，∴m=0.0015．設(shè)中位數(shù)是x度，前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48＜0.5，所以400＜x＜500，，故x=408，即居民月均用電量的中位數(shù)為408度．（Ⅱ）第8組的戶數(shù)為0.0004×100×100=4，分別設(shè)為A1，A2，A3，A4，第9組的戶數(shù)為0.0002×100×100=2，分別設(shè)為B1，B2，則從中任選出2戶的基本事件為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），