山西省運(yùn)城市北垣中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省運(yùn)城市北垣中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)y=f(x)的圖象如圖，則函數(shù)y=f(1-x)的圖象大致為參考答案：A2.已知向量滿足，則=（）A．3 B． C．7 D．參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式以及向量的模的計(jì)算即可．【解答】解：∵向量滿足，∴|+|2=||2+2?+||2=2+2?=1，∴2?=﹣1，∴|2+|2=4||2+4?+||2=4﹣2+1=3，∴|2+|=，故選：B3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）

參考答案：D4.曲線y=在點(diǎn)（﹣1，1）處的切線方程為(

)A．y=2x+3 B．y=2x+1 C．y=﹣2x﹣1 D．y=﹣2x參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=﹣1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出切線方程即可．【解答】解：y′==∴y′|x=﹣1=2而切點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1）∴曲線y=在點(diǎn)（﹣1，1）處的切線方程為y=2x+3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)，若，則下列不等式中正確的是

(A)(B)

(C)

(D)參考答案：B略6.（多選題）設(shè)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A.在(0,+∞)單調(diào)遞增 B.在(0,+∞)單調(diào)遞減C.在(0,+∞)上有極大值 D.在(0,+∞)上有極小值參考答案：ABC【分析】根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝xf（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得到結(jié)論．【詳解】解：由x2f′（x）+xf（x）＝lnx得x＞0，則xf′（x）+f（x），即[xf（x）]′，設(shè)g（x）＝xf（x），即g′（x）0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)g（x）＝xf（x）取得極小值g（1）＝f（1），故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7.已知函數(shù)，，若至少存在一個(gè)，使成立，則實(shí)數(shù)a的范圍為（

）A．1，+∞）

B．（0，+∞）

C．10，+∞）

D．（，+∞）參考答案：B8.已知函數(shù)，若的圖象向左平移個(gè)單位所得的圖象與的圖象向右平移個(gè)單位所得的圖象重合，則的最小值為（

）A.

2B.

3C.

4D.

5參考答案：C9.已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．參考答案：D略10.已知為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則“”是“點(diǎn)在第四象限”的

（

）

A．充要條件

B．必要而不充分條件C．充分而不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．參考答案：12.已知，若，則參考答案：3略13.曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是________________．參考答案：.14.已知sinα=3sin（α+），則tan（α+）=

．參考答案：2﹣4【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】利用同角三角的基本關(guān)系、兩角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案為：2﹣4．15.已知，則對(duì)應(yīng)的的集合為

.參考答案：[-1，2]16.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：①f（2）=0；②x=﹣4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣8．上述命題中所有正確命題的序號(hào)為．參考答案：①②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，從而有f（x+4）=f（x），故得函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，再結(jié)合y=f（x）單調(diào)遞減、奇偶性畫(huà)出函數(shù)f（x）的簡(jiǎn)圖，最后利用從圖中可以得出正確的結(jié)論．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，又當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的奇偶性畫(huà)出函數(shù)f（x）的簡(jiǎn)圖，如圖所示．從圖中可以得出：②x=﹣4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞減；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣8．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，考查學(xué)生的綜合分析與轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．17.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為，若點(diǎn)，則的最大值為.參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2正三角形，D是A1C1的中點(diǎn)，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．（Ⅰ）求證：A1B∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）連結(jié)BC1，B1C，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則OD∥A1B，由此能證明A1B∥平面B1DC．（2）以D為原點(diǎn)，DC1為x軸，DB1為y軸，過(guò)D作平面A1B1C1的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．【解答】證明：（1）連結(jié)BC1，B1C，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2正三角形，D是A1C1的中點(diǎn)，∴OD∥A1B，∵A1B?平面B1DC，OD?平面B1DC，∴A1B∥平面B1DC．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2正三角形，D是A1C1的中點(diǎn)，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．∴以D為原點(diǎn)，DC1為x軸，DB1為y軸，過(guò)D作平面A1B1C1的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B1（0，，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），=（﹣1，，﹣3），=（﹣1，0，﹣3），=（0，0，﹣3），設(shè)平面B1DC的法向量=（x，y，z），則，取z=1，得=（﹣3，0，1），設(shè)平面B1CC1的法向量=（a，b，c），則，取b=1，得=（），設(shè)二面角D﹣B1C﹣C1的平面角為θ，則cosθ===．∴二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值為．19.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分別是AA1，BC的中點(diǎn)，∠CDC1=90°，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°．（1）證明：AM∥平面BDC1；（2）證明：DC1⊥平面BDC．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）取BC1的中點(diǎn)N，連接DN，MN，證明：四邊形ADNM為平行四邊形，可得DN∥AM，即可證明AM∥平面BDC1；（2）證明：DC1⊥BC，DC1⊥DC，且DC∩BC=C，即可證明DC1⊥平面BDC．【解答】證明：（1）取BC1的中點(diǎn)N，連接DN，MN，則且．又且，∴AD∥MN，且AD=MN，∴四邊形ADNM為平行四邊形，∴DN∥AM．又DN?平面BDC1，AM?平面BDC1，∴AM∥平面BDC1．（2）由題設(shè)AC=1，則AB=2，由余弦定理，得．由勾股定理，得∠ACB=90°，BC⊥AC1．又∵BC⊥CC1，且CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1．又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．又DC1⊥DC，且DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC．20.設(shè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，在其圖象上一點(diǎn)P（x，y）處的切線的斜率記為.

（1）若方程=0有兩個(gè)實(shí)根分別為-2和4,求的表達(dá)式；

（2）若在區(qū)間[-1,3]上是單調(diào)遞減函數(shù),求的最小值.參考答案：解（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),所以,則.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,………4分由已知—2、4是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù),由韋達(dá)定理，

…………6分

（Ⅱ）在區(qū)間[—1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，所以在[—1，3]區(qū)間上恒有,即在[—1，3]恒成立,這只需滿足即可,也即…………10分而可視為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，其中點(diǎn)（—2，—3）距離原點(diǎn)最近，所以當(dāng)時(shí),有最小值13

13分略21.某市為了制定合理的節(jié)電方案，供電局對(duì)居民用電進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了某年200戶居民每戶的月均用電量（單位：度），將數(shù)據(jù)按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求直方圖中m的值并估計(jì)居民月均用電量的中位數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從第8組和第9組的居民中任選取2戶居民進(jìn)行訪問(wèn)，則兩組中各有一戶被選中的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖求出m的值；（Ⅱ）根據(jù)條件概率求出兩組中各有一戶被選中的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）1﹣100×（0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002）=2m×100，∴m=0.0015．設(shè)中位數(shù)是x度，前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48＜0.5，所以400＜x＜500，，故x=408，即居民月均用電量的中位數(shù)為408度．（Ⅱ）第8組的戶數(shù)為0.0004×100×100=4，分別設(shè)為A1，A2，A3，A4，第9組的戶數(shù)為0.0002×100×100=2，分別設(shè)為B1，B2，則從中任選出2戶的基本事件為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），