2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理（一）學(xué)案2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2．1.1合情推理（一)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。2.了解歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用．1．推理根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)(或假設(shè)）得出一個(gè)判斷,這種思維方式就是推理．推理一般由兩部分組成：前提和結(jié)論．2．合情推理前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理,叫做合情推理．3．歸納推理根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納)．4．歸納推理具有如下的特點(diǎn)(1)歸納推理是從特殊到一般的推理；（2)由歸納推理得到的結(jié)論不一定正確；(3）歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理．[情境導(dǎo)學(xué)]佛教《百喻經(jīng)》中有這樣一則故事．從前有一位富翁想吃芒果，打發(fā)他的仆人到果園去買，并告訴他:“要甜的，好吃的，你才買．”仆人拿好錢就去了．到了果園,園主說(shuō)：“我這里樹上的芒果個(gè)個(gè)都是甜的，你嘗一個(gè)看．”仆人說(shuō)：“我嘗一個(gè)怎能知道全體呢？我應(yīng)當(dāng)個(gè)個(gè)都嘗過(guò)，嘗一個(gè)買一個(gè)，這樣最可靠．”仆人于是自己動(dòng)手摘芒果，摘一個(gè)嘗一口，甜的就都買回去．帶回家去，富翁見了，覺得非常惡心，一齊都扔了．想一想：故事中仆人的做法實(shí)際嗎?換作你，你會(huì)怎么做？學(xué)習(xí)了下面的知識(shí)，你將清楚是何道理．探究點(diǎn)一歸納推理的定義思考1在日常生活中我們常常遇到這樣一些問題：看到天空烏云密布,燕子低飛，螞蟻搬家等現(xiàn)象時(shí)，我們會(huì)得出一個(gè)判斷—-天要下雨了；張三今天沒來(lái)上課,我們會(huì)推斷-—張三生病了；諺語(yǔ)說(shuō)：“八月十五云遮月，來(lái)年正月十五雪打燈”等，像上面的思維方式就是推理,請(qǐng)問你認(rèn)為什么是推理？答根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程就叫做推理．思考2觀察下面兩個(gè)推理，回答后面的兩個(gè)問題：（1)哥德巴赫猜想：6＝3＋38＝3＋510＝5＋512＝5＋714＝7＋716＝5＋11……1000＝29＋9711002＝139＋863……猜想：任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和．（2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電．問題:①以上兩個(gè)推理在思維方式上有什么共同特點(diǎn)？②其結(jié)論一定正確嗎？答①共同特點(diǎn)：部分推出整體，個(gè)別推出一般．（這種推理稱為歸納推理)②其結(jié)論不一定正確．探究點(diǎn)二歸納推理的應(yīng)用例1已知數(shù)列｛an｝的第1項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝eq\f(an，1＋an)(n＝1,2，3,…)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．解當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝eq\f（1，1＋1)＝eq\f(1，2）;當(dāng)n＝3時(shí),a3＝eq\f（\f(1,2）,1＋\f(1，2）)＝eq\f（1，3);當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝eq\f（\f（1,3）,1＋\f(1，3）)＝eq\f（1，4）。通過(guò)觀察可得：數(shù)列的前四項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)，由此歸納出an＝eq\f（1,n).反思與感悟歸納推理的一般步驟：(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);（2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）．歸納推理在數(shù)列中應(yīng)用廣泛,我們可以從數(shù)列的前幾項(xiàng)找出數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律,歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式或探求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n＝1，2,3，…)(1)求a2，a3，a4，a5;（2)歸納猜想通項(xiàng)公式an。解(1）當(dāng)n＝1時(shí)，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31。（2）由a1＝1＝21－1,a2＝3＝22－1,a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可歸納猜想出an＝2n－1（n∈N＋）．例2在法國(guó)巴黎舉行的第52屆世乒賽期間,某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品,其中第1堆只有一層，就一個(gè)球;第2,3,4，…堆最底層（第一層)分別按圖所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f（3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代數(shù)式表示）．答案10eq\f（nn＋1n＋2，6)解析觀察圖形可知:f(1）＝1，f（2)＝4，f(3）＝10,f（4）＝20，…，故下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆個(gè)數(shù)加上下一堆第一層的個(gè)數(shù)，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2）＋6；f（4）＝f(3）＋10；…；f(n）＝f（n－1）＋eq\f(nn＋1,2).將以上(n－1)個(gè)式子相加可得f（n）＝f（1)＋3＋6＋10＋…＋eq\f（nn＋1,2)＝eq\f(1,2）［(12＋22＋…＋n2）＋（1＋2＋3＋…＋n）］＝eq\f(1,2)［eq\f（1，6）n（n＋1)(2n＋1)＋eq\f(nn＋1，2)］＝eq\f(nn＋1n＋2，6)。反思與感悟解本例的關(guān)鍵在于尋找遞推關(guān)系式：f（n)＝f（n－1）＋eq\f(nn＋1，2），然后用“疊加法”求通項(xiàng),而第一層的變化規(guī)律,結(jié)合圖利用不完全歸納法可得，即為正整數(shù)前n項(xiàng)和的變化規(guī)律．跟蹤訓(xùn)練2在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，凸六邊形有9條對(duì)角線，…由此猜想凸n（n≥4且n∈N＋）邊形有幾條對(duì)角線？解凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，比凸四邊形多3條，凸六邊形有9條對(duì)角線，比凸五邊形多4條，……于是猜想凸n邊形比凸(n－1)邊形多（n－2）條對(duì)角線．因此凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2）n（n－3）(n≥4且n∈N＋)．1．已知eq\r(2＋\f(2,3）)＝2eq\r（\f(2，3))，eq\r(3＋\f（3,8)）＝3eq\r(\f(3，8)),eq\r（4＋\f（4,15))＝4eq\r(\f（4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,b））＝6eq\r（\f（a，b))(a、b均為實(shí)數(shù)）．請(qǐng)推測(cè)a＝______,b＝________。答案635解析由前面三個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系：整數(shù)和這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是這個(gè)分子的平方減1,由此推測(cè)eq\r（6＋\f（a，b)）中，a＝6，b＝62－1＝35.2．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:123456789101112131415……按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為________．答案eq\f(n2－n＋6,2)解析前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n－1）個(gè)，即eq\f(n2－n，2)個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f（n2－n，2）＋3個(gè),即為eq\f（n2－n＋6，2).［呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]歸納推理的一般步驟(1）對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納、整理，發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；(2)從已