大學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

第三節(jié)盡可能地描述函數(shù)曲線(xiàn)：判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，尋找特殊點(diǎn)—極值及拐點(diǎn)，曲線(xiàn)的凸性與漸近線(xiàn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用

第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無(wú)妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說(shuō)明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開(kāi)區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證畢機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾何上解釋?zhuān)?/p>

1.導(dǎo)數(shù)大于零：切線(xiàn)斜率大于0，單調(diào)增

2.導(dǎo)數(shù)小于零：切線(xiàn)斜率小于0，單調(diào)減回憶：函數(shù)曲線(xiàn)在局部看成斜率為f’(x)的直線(xiàn)。例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束y在y在二、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱(chēng)為的極大值點(diǎn)

,稱(chēng)為函數(shù)的極大值

;(2)則稱(chēng)為的極小值點(diǎn)

,稱(chēng)為函數(shù)的極小值

.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得不可導(dǎo)點(diǎn)：3)列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)——導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn)：(2)

最大值最小值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注:

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義.

對(duì)于可導(dǎo)單調(diào)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)曲線(xiàn)(1)往上凸：位于該曲線(xiàn)上任一點(diǎn)切線(xiàn)的下方。該曲線(xiàn)被稱(chēng)為上凸曲線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為上凸函數(shù)。(2)往下凸：位于該曲線(xiàn)上任一點(diǎn)切線(xiàn)的下方。該曲線(xiàn)被稱(chēng)為下凸曲線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為下凸函數(shù)。

函數(shù)曲線(xiàn)上凸與下凸的分界點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn)

.三、曲線(xiàn)的凸性與拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3.(凸性判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)是下凸的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)是上凸的.“證”:從前面圖像可觀(guān)察到：下凸：曲線(xiàn)切線(xiàn)斜率越來(lái)越大，即導(dǎo)函數(shù)單增；二階導(dǎo)數(shù)>0.上凸：曲線(xiàn)切線(xiàn)斜率越來(lái)越小，即導(dǎo)函數(shù)單減；二階導(dǎo)數(shù)<0.

嚴(yán)格證明見(jiàn)P71定理3.13：利用一階泰勒公式（P71定理3.12)可得。

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)例4.判斷曲線(xiàn)的凸性.解:故曲線(xiàn)在上是向上凸的.說(shuō)明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:則曲線(xiàn)的凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線(xiàn)或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線(xiàn)的一個(gè)拐點(diǎn).例5.求曲線(xiàn)的凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線(xiàn)在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).下凸下凸上凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束點(diǎn)M

與某一直線(xiàn)L的距離趨于0,四、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)定義.

若曲線(xiàn)

C上的點(diǎn)M

沿著曲線(xiàn)無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),則稱(chēng)直線(xiàn)L為曲線(xiàn)C

的漸近線(xiàn).或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束只講：

水平與鉛直漸近線(xiàn)若則曲線(xiàn)有水平漸近線(xiàn)若則曲線(xiàn)有垂直漸近線(xiàn)例6.

求曲線(xiàn)的漸近線(xiàn).解:為水平漸近線(xiàn);為垂直漸近線(xiàn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束五、函數(shù)圖形的描繪步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.求并求出及3.根據(jù)第二步判別增減及上下凸區(qū)間4.求水平和垂直漸近線(xiàn);5.在坐標(biāo)上描出這些特殊點(diǎn),再依據(jù)上面其他三個(gè)步驟逐段描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點(diǎn)，以及對(duì)應(yīng)的極值和拐點(diǎn)（統(tǒng)稱(chēng)特殊點(diǎn)）;并考察其對(duì)稱(chēng)性及周機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.

描繪的圖形.解:1)定義域?yàn)闊o(wú)對(duì)稱(chēng)性及周期性.2)3)(極大)(拐點(diǎn)）(極小)4)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.描繪方程的圖形.解:1)定義域?yàn)?)求特殊點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)判別曲線(xiàn)形態(tài)(極大)(極小)4)求漸近線(xiàn)為垂直漸近線(xiàn)無(wú)定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5）繪圖(極大)(極小)綠色斜漸近線(xiàn)不用畫(huà)?。?！垂直漸近線(xiàn)特殊點(diǎn)