2017-2018版高中數(shù)學第二章推理與證明2.1.1合情推理（二）學案1-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2.1.1合情推理(二）明目標、知重點1。通過具體實例理解類比推理的意義。2.會用類比推理對具體問題作出判斷.1。類比推理根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質的推理，叫做類比推理（簡稱類比)。2。類比推理的一般步驟（1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）.探究點一平面圖形與立體圖形間的類比閱讀下面的推理，回答后面提出的問題：1.科學家對火星進行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽運行、繞軸自轉的行星;（2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)變更；（3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學家猜想：火星上也可能有生命存在.2。根據等式的性質猜想不等式的性質。等式的性質：（1）a＝b?a＋c＝b＋c;（2）a＝b?ac＝bc；（3）a＝b?a2＝b2等等.猜想不等式的性質:(1）a>b?a＋c>b＋c；（2）a>b?ac〉bc；(3）a〉b?a2>b2等等.思考1這兩個推理實例在思維方式上有什么共同特點？答這兩個推理實例都是根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質.思考2猜想正確嗎？答不一定正確.思考3類比圓的特征，填寫下表中球的有關特征圓的概念和性質球的類似概念和性質圓的周長球的表面積圓的面積球的體積圓心與弦（非直徑）中點的連線垂直于弦球心與截面圓（不經過球心的截面圓)圓心的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球心距離相等的兩個截面圓面積相等；與球心距離不等的兩個截面圓面積不等,距球心較近的截面圓面積較大以點P(x0，y0）為圓心，r為半徑的圓的方程為（x－x0）2＋（y－y0)2＝r2以點P(x0,y0，z0）為球心，r為半徑的球的方程為(x－x0)2＋（y－y0）2＋(z－z0）2＝r2例1如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai（i＝1，2，3,4），此四邊形內任一點P到第i條邊的距離記為hi(i＝1，2，3,4)，若eq\f（a1，1)＝eq\f(a2，2)＝eq\f（a3，3)＝eq\f（a4,4）＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f(2S，k)，類比以上性質,體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si（i＝1,2，3，4)，此三棱錐內任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i＝1，2，3，4),若eq\f(S1,1)＝eq\f(S2，2)＝eq\f（S3，3)＝eq\f(S4，4)＝K,則H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？解對平面凸四邊形：S＝eq\f(1,2)a1h1＋eq\f(1,2）a2h2＋eq\f(1,2）a3h3＋eq\f(1，2)a4h4＝eq\f(1，2）(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4）＝eq\f(k,2)（h1＋2h2＋3h3＋4h4)，所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f(2S，k）；類比在三棱錐中，V＝eq\f（1,3)S1H1＋eq\f（1，3）S2H2＋eq\f（1,3）S3H3＋eq\f（1，3）S4H4＝eq\f(1，3)（KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)＝eq\f（K,3)（H1＋2H2＋3H3＋4H4)。故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝eq\f（3V，K).反思與感悟解決此類問題注意用類比推理的方法去分析問題，研究當條件變化時，問題的本質有哪些不同，有哪些變化,如本題中平面圖形中點到直線的距離類比三棱錐中點到平面的距離。平面圖形中的面積類比三棱錐中的體積，進而計算出結果.跟蹤訓練1在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2”.拓展到空間(如圖)，類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的結論是____________________________________________。答案設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則Seq\o\al（2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB）＝Seq\o\al(2，△BCD)解析類比條件：兩邊AB、AC互相垂直eq\o（→，\s\up7（平面→空間、邊垂直→面垂直））側面ABC、ACD、ADB互相垂直。結論：AB2＋AC2＝BC2eq\o(→,\s\up7（邊長→面積））Seq\o\al（2，△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD）＋Seq\o\al（2，△ADB）＝Seq\o\al（2，△BCD)。探究點二定義、定理或性質中的類比例2在等差數(shù)列{an｝中，若a10＝0，證明等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19,n∈N＋）成立，并類比上述性質相應在等比數(shù)列{bn｝中，若b9＝1，則有等式_____________成立.答案b1b2…bn＝b1b2…＋b17－n（n<17，n∈N＋）解析在等差數(shù)列｛an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19,a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n。相應地，類比此性質在等比數(shù)列{bn｝中，可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n≤17，n∈N＋）。反思與感悟（1)運用類比思想找出項與項的聯(lián)系,應用等差、等比數(shù)列的性質解題是解決該題的關鍵.（2)等差數(shù)列和等比數(shù)列有非常類似的運算和性質，一般情況下等差數(shù)列中的和（或差)對應著等比數(shù)列中的積(或商）。跟蹤訓練2設等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列.類比以上結論有：設等比數(shù)列{bn｝的前n項積為Tn，則T4，______,______,eq\f（T16,T12)成等比數(shù)列.答案eq\f(T8，T4）eq\f（T12，T8)1.下列說法正確的是（)A。由合情推理得出的結論一定是正確的B。合情推理必須有前提、有結論C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的結論不能判斷正誤答案B解析根據合情推理可知，合情推理必須有前提、有結論。2。在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1∶2，則它們的體積比為________。答案1∶8解析∵兩個正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方。同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方，∴它們的體積比為1∶8。3.若數(shù)列｛cn}是等差數(shù)列，則當dn＝eq\f（c1＋c2＋…＋cn,n）時，數(shù)列｛dn｝也是等差數(shù)列，類比上述性質，若數(shù)列｛an｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當bn＝________時，數(shù)列｛bn}也是等比數(shù)列。答案eq\r(n,a1a2…an）4。對命題“正三角形的內切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體的內切球切于四面各正三角形的________.答案中心［呈重點、現(xiàn)規(guī)律］1。合情推理主要包括歸納推理和類比推理。數(shù)學研究中，在得到一個新結論前,合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結論,在證明一個數(shù)學結論之前，合情推