2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理（二）學(xué)案1-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE10學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE2.1.1合情推理(二）明目標(biāo)、知重點(diǎn)1。通過(guò)具體實(shí)例理解類(lèi)比推理的意義。2.會(huì)用類(lèi)比推理對(duì)具體問(wèn)題作出判斷.1。類(lèi)比推理根據(jù)兩類(lèi)不同事物之間具有某些類(lèi)似(或一致）性，推測(cè)其中一類(lèi)事物具有與另一類(lèi)事物類(lèi)似(或相同)的性質(zhì)的推理，叫做類(lèi)比推理（簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比)。2。類(lèi)比推理的一般步驟（1)找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；（2）用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）.探究點(diǎn)一平面圖形與立體圖形間的類(lèi)比閱讀下面的推理，回答后面提出的問(wèn)題：1.科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類(lèi)似的特征：(1)火星也是繞太陽(yáng)運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星;（2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)變更；（3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在.2。根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：（1）a＝b?a＋c＝b＋c;（2）a＝b?ac＝bc；（3）a＝b?a2＝b2等等.猜想不等式的性質(zhì):(1）a>b?a＋c>b＋c；（2）a>b?ac〉bc；(3）a〉b?a2>b2等等.思考1這兩個(gè)推理實(shí)例在思維方式上有什么共同特點(diǎn)？答這兩個(gè)推理實(shí)例都是根據(jù)兩類(lèi)不同事物之間具有某些類(lèi)似(或一致）性，推測(cè)其中一類(lèi)事物具有與另一類(lèi)事物類(lèi)似(或相同)的性質(zhì).思考2猜想正確嗎？答不一定正確.思考3類(lèi)比圓的特征，填寫(xiě)下表中球的有關(guān)特征圓的概念和性質(zhì)球的類(lèi)似概念和性質(zhì)圓的周長(zhǎng)球的表面積圓的面積球的體積圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于弦球心與截面圓（不經(jīng)過(guò)球心的截面圓)圓心的連線(xiàn)垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)與球心距離相等的兩個(gè)截面圓面積相等；與球心距離不等的兩個(gè)截面圓面積不等,距球心較近的截面圓面積較大以點(diǎn)P(x0，y0）為圓心，r為半徑的圓的方程為（x－x0）2＋（y－y0)2＝r2以點(diǎn)P(x0,y0，z0）為球心，r為半徑的球的方程為(x－x0)2＋（y－y0）2＋(z－z0）2＝r2例1如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為ai（i＝1，2，3,4），此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為hi(i＝1，2，3,4)，若eq\f（a1，1)＝eq\f(a2，2)＝eq\f（a3，3)＝eq\f（a4,4）＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f(2S，k)，類(lèi)比以上性質(zhì),體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si（i＝1,2，3，4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i＝1，2，3，4),若eq\f(S1,1)＝eq\f(S2，2)＝eq\f（S3，3)＝eq\f(S4，4)＝K,則H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？解對(duì)平面凸四邊形：S＝eq\f(1,2)a1h1＋eq\f(1,2）a2h2＋eq\f(1,2）a3h3＋eq\f(1，2)a4h4＝eq\f(1，2）(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4）＝eq\f(k,2)（h1＋2h2＋3h3＋4h4)，所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f(2S，k）；類(lèi)比在三棱錐中，V＝eq\f（1,3)S1H1＋eq\f（1，3）S2H2＋eq\f（1,3）S3H3＋eq\f（1，3）S4H4＝eq\f(1，3)（KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)＝eq\f（K,3)（H1＋2H2＋3H3＋4H4)。故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝eq\f（3V，K).反思與感悟解決此類(lèi)問(wèn)題注意用類(lèi)比推理的方法去分析問(wèn)題，研究當(dāng)條件變化時(shí)，問(wèn)題的本質(zhì)有哪些不同，有哪些變化,如本題中平面圖形中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離類(lèi)比三棱錐中點(diǎn)到平面的距離。平面圖形中的面積類(lèi)比三棱錐中的體積，進(jìn)而計(jì)算出結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練1在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2”.拓展到空間(如圖)，類(lèi)比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的結(jié)論是____________________________________________。答案設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則Seq\o\al（2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB）＝Seq\o\al(2，△BCD)解析類(lèi)比條件：兩邊AB、AC互相垂直eq\o（→，\s\up7（平面→空間、邊垂直→面垂直））側(cè)面ABC、ACD、ADB互相垂直。結(jié)論：AB2＋AC2＝BC2eq\o(→,\s\up7（邊長(zhǎng)→面積））Seq\o\al（2，△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD）＋Seq\o\al（2，△ADB）＝Seq\o\al（2，△BCD)。探究點(diǎn)二定義、定理或性質(zhì)中的類(lèi)比例2在等差數(shù)列{an｝中，若a10＝0，證明等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19,n∈N＋）成立，并類(lèi)比上述性質(zhì)相應(yīng)在等比數(shù)列{bn｝中，若b9＝1，則有等式_____________成立.答案b1b2…bn＝b1b2…＋b17－n（n<17，n∈N＋）解析在等差數(shù)列｛an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19,a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n。相應(yīng)地，類(lèi)比此性質(zhì)在等比數(shù)列{bn｝中，可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n≤17，n∈N＋）。反思與感悟（1)運(yùn)用類(lèi)比思想找出項(xiàng)與項(xiàng)的聯(lián)系,應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解題是解決該題的關(guān)鍵.（2)等差數(shù)列和等比數(shù)列有非常類(lèi)似的運(yùn)算和性質(zhì)，一般情況下等差數(shù)列中的和（或差)對(duì)應(yīng)著等比數(shù)列中的積(或商）。跟蹤訓(xùn)練2設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T4，______,______,eq\f（T16,T12)成等比數(shù)列.答案eq\f(T8，T4）eq\f（T12，T8)1.下列說(shuō)法正確的是（)A。由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B。合情推理必須有前提、有結(jié)論C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤答案B解析根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提、有結(jié)論。2。在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______。答案1∶8解析∵兩個(gè)正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方。同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，∴它們的體積比為1∶8。3.若數(shù)列｛cn}是等差數(shù)列，則當(dāng)dn＝eq\f（c1＋c2＋…＋cn,n）時(shí)，數(shù)列｛dn｝也是等差數(shù)列，類(lèi)比上述性質(zhì)，若數(shù)列｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)bn＝________時(shí)，數(shù)列｛bn}也是等比數(shù)列。答案eq\r(n,a1a2…an）4。對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類(lèi)比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面各正三角形的________.答案中心［呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律］1。合情推理主要包括歸納推理和類(lèi)比推理。數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推