空間幾何體的結構特征及三視圖和直觀圖

空間幾何體的結構圖三視圖及直觀圖溫馨提示:請點擊相關欄目?？键c·大整合考向·大突破考題·大攻略多面體①棱柱的側棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多邊形②棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是平行且相似的多邊形旋轉體

①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉得到②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉得到③圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到④球可以由半圓或圓繞直徑旋轉得到1．辨明空間幾何體的結構特征

考點

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大整合基礎整合2.明確直觀圖的基本問題(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?1)畫法：常用斜二測畫法．(1)幾何體的三視圖包括正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長對正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：正側一樣高，正俯一樣長，側俯一樣寬；看不到的線畫虛線．3．明確三視圖的基本問題(1)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法．(2)確定正視、側視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同．(3)觀察簡單組合體是由哪幾個簡單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置．4．關注畫三視圖應注意的三個問題例1：下列結論正確的是(

)A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線

B錯誤．如圖2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉軸

不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐．

C錯誤．若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側棱長必然要大于底面邊長．D正確．解析：A錯誤．如圖1所示，由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的幾何體，

各面都是三角形，但它不是棱錐．答案：D

考向大突破一：空間幾何體的結構特征(1)定義法，即嚴格按照空間幾何體的有關定義判斷．(2)反例法，即通過舉反例來說明一個命題是錯誤的．求解空間幾何體概念辨析題的常用方法歸納升華B中對等腰三角形的腰是否為側棱未作說明，故也不正確．變式訓練1下列命題中，正確的是(

)A．有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱B．側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C．側面都是矩形的四棱柱是長方體D．底面為正多邊形，且有相鄰兩個側面與底面垂直的棱柱是正棱柱解析：認識棱柱一般要從側棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故A，C都不夠準確，答案：D例2(1)(2013·四川卷)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是(

)解析：(1)由于俯視圖是兩個圓，所以排除A，B，C，故選D.二、空間幾何體的三視圖(2)(2013·江西九校聯(lián)考)如圖，三棱錐V－ABC的底面為正三角形，側面VAC與底面垂直且VA＝VC，已知其正視圖的面積為

則其側視圖的面積為(

)三視圖中，正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬．即“長對正、寬相等，高平齊”．提醒：畫三視圖時，要注意虛、實線的區(qū)別．1.三視圖的位置安排

正視圖、側視圖分別放在左、右兩邊，俯視圖畫在正視圖的下邊．2．三視圖的長度特征歸納升華(1)(2013·長春調研)一個簡單幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示，則其側視圖不可能為(

)A．正方形B．圓C．等腰三角形D．直角梯形當幾何體是橫放的三棱柱時，C可能；只有D不可能，故選D.解析：(1)當幾何體是一個長方體，其中一個側面為正方形時，A可能；當幾何體是橫放的一個圓柱時，B可能；(2)(2013·陜西檢測)如圖是由若干個相同的小立方體組成的幾何體的俯視圖，其中小立方體中的數(shù)字表示相應位置的小立方體的個數(shù)，則該幾何體的側視圖為(

)解析(2)由俯視圖知側視圖從左到右能看到的小立方體個數(shù)分別為2,3,1，選C.例3：已知平面△ABC的直觀圖A′B′C′是邊長為a的正三角形，求原△ABC的面積．∵∠D′A′B′＝45°，∴A′D′＝

由斜二測畫法的法則知，在△ABC中，AB＝A′B′＝a，AB邊上的高是A′D′的二倍，解析：如圖所示，△A′B′C′是邊長為a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′軸于點D′，則D′到x′軸的距離為

歸納升華：直觀圖的斜二測畫法的關鍵之處在于將圖中的關鍵點轉化為坐標系中的水平方向與垂直方向的坐標長度，然后運用“水平長不變，垂直長減半”的方法確定出點，最后連線即得直觀圖．注意被遮擋的部分畫成虛線．

三、空間幾何體的直觀圖變式訓練3如圖所示，四邊形A′B′C′D′是一平面圖形的水平放置的斜二測畫法的直觀圖，在斜二測直觀圖中，四邊形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′與y′軸平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求這個平面圖形的實際面積．解析：根據(jù)斜二測直觀圖畫法規(guī)則可知，該平面圖形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不變．例：將正方體(如圖(1)所示)截去兩個三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的側視圖為(

)解析：還原正方體后，將D1，D，A三點分別向正方體右側面作垂線．D1A的射影為C1B，且為實線，B1C被遮擋應為虛線．答案：B[易錯警示]在解答本題時常出現(xiàn)以下錯誤：(1)沒有考慮B1C被遮擋，而誤選D.(2)對實線與虛線的畫法規(guī)則不明確而誤選A或C.[學習建議]解決三視圖與幾何體間的轉化問題，在學習時要注意：(1)側視圖在正視圖的右側，俯視圖在正視圖的正下方．(2)三視圖的實虛線