PPT第六章彎曲變形

Chapter6DeflectionofBeams第六章彎曲變形第六章彎曲變形

(DeflectionofBeams)

§6-1基本概念及工程實(shí)例（Basicconceptsandexampleproblems)

§6-4

用疊加法求彎曲變形

(Beamdeflectionsbysuperposition)§6-3

用積分法求彎曲變形（Beamdeflectionbyintegration)§6-2

撓曲線的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)§6-5靜不定梁的解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)§6-6

提高彎曲剛度的措施(Themeasurestostrengthenrigidity)

§6-1基本概念及工程實(shí)例（Basicconceptsandexampleproblems）一、工程實(shí)例（Exampleproblem）但在另外一些情況下,有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形,以滿足特定的工作需要.例如,車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形,以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用.1.撓度（Deflection）二、基本概念（Basicconcepts）w撓度C'CABwx橫截面形心C（即軸線上的點(diǎn)）在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度.用w表示.2.轉(zhuǎn)角

（Slope）轉(zhuǎn)角AC'CwB

xw撓度（橫截面對(duì)其原來位置的角位移,稱為該截面的轉(zhuǎn)角.用表示3.撓曲線

（Deflectioncurve）梁變形后的軸線稱為撓曲線.式中,x為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo),w為該點(diǎn)的撓度.撓曲線wAB

x轉(zhuǎn)角w撓度（C'C撓曲線方程（equationofdeflectioncurve）為4.撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系（Relationshipbetween

deflectionandslope）：wABx轉(zhuǎn)角w撓度C'C撓曲線5.撓度和轉(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定（Signconventionfordeflectionandslope）撓度向上為正,向下為負(fù).轉(zhuǎn)角自x轉(zhuǎn)至切線方向,逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正,順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù).

wABx轉(zhuǎn)角w撓度C'C撓曲線§6-2撓曲線的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)一、推導(dǎo)公式（Derivationoftheformula)1.純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系（Relationshipbetweenthecurvatureofbeamandthebendingmoment）橫力彎曲時(shí),M和都是x的函數(shù).略去剪力對(duì)梁的位移的影響,則2.由數(shù)學(xué)得到平面曲線的曲率（Thecurvaturefromthemathematics）在規(guī)定的坐標(biāo)系中,x軸水平向右為正,w軸豎直向上為正.曲線向上凸時(shí):OxwxOw因此,與的正負(fù)號(hào)相同曲線向下凸時(shí):此式稱為

梁的撓曲線近似微分方程（differentialequationofthedeflectioncurve）(6.5)近似原因:（1）略去了剪力的影響;（2）略去了

項(xiàng);（3）與1相比十分微小而可以忽略不計(jì),故上式可近似為

§6-3用積分法求彎曲變形（Beamdeflectionbyintegration)一、微分方程的積分

（Integratingthedifferentialequation)若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量上式可改寫成2.再積分一次,得撓度方程（Integratingagaingivestheequationforthedeflection）二、積分常數(shù)的確定（Evaluatingtheconstantsofintegration）1.邊界條件（Boundaryconditions）

2.連續(xù)條件（Continueconditions）

1.積分一次得轉(zhuǎn)角方程（Thefirstintegrationgivestheequationfortheslope）AB在簡(jiǎn)支梁中,左右兩鉸支座處的撓度和都等于0.在懸臂梁中,固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角都應(yīng)等于0.ABABxFw例題1圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用.試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角（1）彎矩方程為解：（2）撓曲線的近似微分方程為xwABxF對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為邊界條件將邊界條件代入（3）（4）兩式中,可得BxyAF（）都發(fā)生在自由端截面處和（）例題2圖示一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其和ABql解:由對(duì)稱性可知,梁的兩個(gè)支反力為ABqlFRAFRBx此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為邊界條件x=0和x=l時(shí),

xABqlFRAFRBAB在x=0和x=l處轉(zhuǎn)角的絕對(duì)值相等且都是最大值，最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為wmax在梁跨中點(diǎn)處有最大撓度值例題3圖示一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁,在D點(diǎn)處受一集中力F的作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角.ABFDabl解:梁的兩個(gè)支反力為FRAFRBABFDabl12xx兩段梁的彎矩方程分別為兩段梁的撓曲線方程分別為（a）（0x

a）撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程（b）（a

x

l）D點(diǎn)的連續(xù)條件邊界條件在x=a處在x=0處,在x=l處,代入方程可解得:ABFDab12FRAFRB（a）（0x

a）（b）（a

x

l）將x=0和x=l分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角當(dāng)a>b時(shí),右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大簡(jiǎn)支梁的最大撓度應(yīng)在處先研究第一段梁,令得當(dāng)a>b時(shí),x1<a

最大撓度確實(shí)在第一段梁中梁中點(diǎn)C處的撓度為結(jié)論:在簡(jiǎn)支梁中,不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無拐點(diǎn),其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來代替,其精確度是能滿足工程要求的.（a）對(duì)各段梁,都是由坐標(biāo)原點(diǎn)到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的.所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程.只增加了(x-a)的項(xiàng).（b）對(duì)(x-a)的項(xiàng)作積分時(shí),應(yīng)該將(x-a)項(xiàng)作為積分變量.從而簡(jiǎn)化了確定積分常數(shù)的工作.積分法的原則

§6–4用疊加法求彎曲變形

（Beamdeflectionsbysuperposition）

梁的變形微小,且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí),梁在幾項(xiàng)荷載(可以是集中力,集中力偶或分布力)同時(shí)作用下的撓度和轉(zhuǎn)角,就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加.當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿w軸方向),其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy平面內(nèi))時(shí),則疊加就是代數(shù)和.這就是疊加原理.一、疊加原理

（Superposition）

1.載荷疊加（Superpositionofloads）多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和.2.結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度.解:（a）載荷分解如圖（b）由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表,查簡(jiǎn)單載荷引起的變形.BqFACaaF=AB+ABq

（c）疊加qFF=+AAABBBCaaq例題4一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁受荷載如圖所示.試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度wC和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角A

,B。ABCqMel解:將梁上荷載分為兩項(xiàng)簡(jiǎn)單的荷載,如圖所示ABCqMe(a)lBAMe(c)lAq(b)BlCC()()()例題5試?yán)茂B加法,求圖所示抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁跨中點(diǎn)的撓度wC

和兩端截面的轉(zhuǎn)角A

,B

.ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2解:可視為正對(duì)稱荷載與反對(duì)稱荷載兩種情況的疊加.（1）正對(duì)稱荷載作用下ABCq/2CABq/2q/2（2）反對(duì)稱荷載作用下在跨中C截面處,撓度wC等于零,但轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的彎矩也等于零可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長(zhǎng)度為l

/2的簡(jiǎn)支梁CABq/2q/2可得到：Bq/2ACq/2將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加,即得()()()例題6一抗彎剛度為EI的外伸梁受荷載如圖所示,試按疊加原理并利用附表,求截面B的轉(zhuǎn)角B以及A端和BC中點(diǎn)D的撓度wA

和wD.ABCDaa2a2qq解:將外伸梁沿B截面截成兩段,將AB段看成B端固定的懸臂梁,BC段看成簡(jiǎn)支梁.ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qAB2qaB截面兩側(cè)的相互作用為：簡(jiǎn)支梁BC的受力情況與外伸梁AC的BC段的受力情況相同由簡(jiǎn)支梁BC求得的B,wD就是外伸梁AC的B,wD2qaBCDqqBCDBCD簡(jiǎn)支梁BC的變形就是MB和均布荷載q分別引起變形的疊加.由疊加原理得:DBC2qaBCDqDBC（1）求B

,wD（2）求wA由于簡(jiǎn)支梁上B截面的轉(zhuǎn)動(dòng),帶動(dòng)AB段一起作剛體運(yùn)動(dòng),使A端產(chǎn)生撓度w1

懸臂梁AB本身的彎曲變形,使A端產(chǎn)生撓度w2A2qB2qaAC2qaBDq因此,A端的總撓度應(yīng)為由表6-1查得二、剛度條件（Stiffnesscondition）1.數(shù)學(xué)表達(dá)式（Mathematicalformula）2.剛度條件的應(yīng)用（Applicationofstiffnesscondition）（1）校核剛度（Checkthestiffnessofthebeam）（2）設(shè)計(jì)截面尺寸（Determinetheallowableloadonthebeam）（3）求許可載荷

（Determinetherequireddimensionsofthebeam）是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角.和例7下圖為一空心圓桿,內(nèi)外徑分別為:d=40mm,D=80mm,桿的E=210GPa,工程規(guī)定C點(diǎn)的[w/L]=0.00001,B點(diǎn)的[]=0.001弧度,試核此桿的剛度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB解:（1）結(jié)構(gòu)變換,查表求簡(jiǎn)單載荷變形.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNB+F2BC圖2圖3+F2BCDAM=圖1F1=1kNDC（2）疊加求復(fù)雜載荷下的變形F2=2kN=++圖1圖2l=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC圖3F2BDAMACCF2（3）校核剛度:（rad）一、基本概念（Basicconcepts）

1.超靜定梁（staticallyindeterminatebeams）§6-5靜不定梁的解法（Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams）單憑靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁,稱為超靜定梁FABABCFFRAFRBFRC2.“多余”約束（Redundantconstraint）多于維持其靜力平衡所必需的約束3.“多余”反力（Redundantreaction）“多余”與相應(yīng)的支座反力FRBABCFFABFRAFRC4.超靜定次數(shù)（Degreeof

staticallyindeterminateproblem）超靜定梁的“多余”約束的數(shù)目就等于其超靜定次數(shù).n=未知力的個(gè)數(shù)-獨(dú)立平衡方程的數(shù)目二、求解超靜定梁的步驟

(procedureforsolvingastaticallyindeterminate)1.畫靜定基建立相當(dāng)系統(tǒng)：

將可動(dòng)絞鏈支座作看多余約束,解除多余約束代之以約束反力RB.得到原超靜定梁的基本靜定系.2.列幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程超靜定梁在多余約束處的約束條件,梁的變形協(xié)調(diào)條件ABqqABFRB根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程:變形幾何方程為

3.列物理方程—變形與力的關(guān)系

查表得qAB將力與變形的關(guān)系代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程4.建立補(bǔ)充方程BAFRBqABFRB補(bǔ)充方程為由該式解得5.求解其它問題（反力,應(yīng)力,變形等）qABFRBFRAMA求出該梁固定端的兩個(gè)支反力qABBAFRB代以與其相應(yīng)的多余反力偶MA

得基本靜定系.變形相容條件為請(qǐng)同學(xué)們自行完成！方法二取支座A處阻止梁轉(zhuǎn)動(dòng)的約束為多余約束.ABqlABqlMA例題8

梁AC如圖所示,梁的A端用一鋼桿AD與梁AC鉸接,在梁受荷載作用前,桿AD內(nèi)沒有內(nèi)力,已知梁和桿用同樣的鋼材制成,材料的彈性模量為E,鋼梁橫截面的慣性矩為I,拉桿橫截面的面積為A,其余尺寸見圖,試求鋼桿AD內(nèi)的拉力FN.a2aABCq2qDlCADBq2qAFNFNA點(diǎn)的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結(jié)于A點(diǎn).即解:這是一次超靜定問題.將AD桿與梁AC之間的連結(jié)絞看作多余約束.拉力FN為多余反力.基本靜定系如圖ADBCq2qFNFNA1變形幾何方程為根據(jù)疊加法A端的撓度為BCq2qFNBCq2q在例題中已求得可算出:CFNB拉桿AD的伸長(zhǎng)為:補(bǔ)充方程為:由此解得:ADBCq2qFNFN例題9求圖示梁的支反力,并繪梁的剪力圖和彎矩圖.已知EI=5103kN·m3.4m3m2mABDC30kN20kN/m解:這是一次超靜定問題取支座B截面上的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)約束為多余約束.基本靜定系為在B支座截面上安置鉸的靜定梁,如圖所示.4m3m2mABDC