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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.大衍數(shù)列,米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過(guò)程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為()A. B. C. D.2.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.3.為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R(shí),駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗,協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個(gè)不同的路口站崗,每個(gè)路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種4.若,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.若集合,則()A. B.C. D.6.如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),,分別記二面角,,的平面角為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.7.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件8.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,且,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.給出下列四個(gè)命題:①在拋物線上滿足條件的點(diǎn)僅有一個(gè);②若是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為;③無(wú)論過(guò)點(diǎn)的直線在什么位置,總有;④若點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則三點(diǎn)在同一條直線上.其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.49.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)及點(diǎn),則雙曲線的方程為()A. B. C. D.10.已知,如圖是求的近似值的一個(gè)程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.11.網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.412.已知集合,,則=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,則________.14.能說(shuō)明“在數(shù)列中,若對(duì)于任意的,,則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.(寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式)15.內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,若,則__________.16.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和點(diǎn),若點(diǎn)在的平分線上,且,則向量的坐標(biāo)為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知都是大于零的實(shí)數(shù).(1)證明;(2)若,證明.18.(12分)中的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別是,,,若,.(1)求;(2)若,點(diǎn)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.19.(12分)如圖,在四棱錐中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中點(diǎn).證明:;設(shè),點(diǎn)M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,已知,,角為銳角,的面積為.(1)求角的大??;(2)求的值.22.(10分)已知六面體如圖所示,平面,,,,,,是棱上的點(diǎn),且滿足.(1)求證:直線平面;(2)求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
直接代入檢驗(yàn),排除其中三個(gè)即可.【詳解】由題意,排除D,,排除A,C.同時(shí)B也滿足,,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式,解題時(shí)可代入檢驗(yàn),利用排除法求解.2.D【解析】
設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,設(shè),得,求出的值,即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設(shè),則,又.故,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3.C【解析】
先將甲、乙兩人看作一個(gè)整體,當(dāng)作一個(gè)元素,再將這四個(gè)元素分成3個(gè)部分,每一個(gè)部分至少一個(gè),再將這3部分分配到3個(gè)不同的路口,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得選項(xiàng).【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個(gè)整體,個(gè)人變成了4個(gè)元素,再把這4個(gè)元素分成3部分,每部分至少有1個(gè)人,共有種方法,再把這3部分分到3個(gè)不同的路口,有種方法,由分步計(jì)數(shù)原理,共有種方案。故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列與組合,常常運(yùn)用捆綁法,插空法,先分組后分配等一些基本思想和方法解決問(wèn)題,屬于中檔題.4.A【解析】
將化成以為底的對(duì)數(shù),即可判斷的大小關(guān)系;由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可判斷出與1的大小關(guān)系,從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)?,?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí),底數(shù)相同,則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù),結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大?。蝗粽鏀?shù)相同,則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大??;若真數(shù)和底數(shù)都不相同,則可與中間值如1,0比較大小.5.A【解析】
先確定集合中的元素,然后由交集定義求解.【詳解】,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求集合的交集運(yùn)算,掌握交集定義是解題關(guān)鍵.6.D【解析】
過(guò)點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因?yàn)椋?,所以,即過(guò)點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.7.A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當(dāng)函數(shù)為冪函數(shù)時(shí),,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標(biāo);②:做關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為,通過(guò)分析可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值,由兩點(diǎn)間的距離公式,可求此時(shí)最小值;③:設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計(jì)算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進(jìn)而可判斷三點(diǎn)在同一條直線上.【詳解】解:對(duì)于①,設(shè),由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點(diǎn)有二個(gè),故①不正確;對(duì)于②,不妨設(shè),則關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為,故,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,故②正確;對(duì)于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補(bǔ),所以,故③正確.對(duì)于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點(diǎn)在同一條直線上,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了拋物線的性質(zhì),考查了直線方程,考查了兩點(diǎn)的斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題,結(jié)合初中的“飲馬問(wèn)題”分析出何時(shí)取最小值.9.C【解析】
根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點(diǎn)代入可得,連接,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.10.C【解析】
由于中正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項(xiàng)A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.11.A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長(zhǎng)度如上圖所以所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見(jiàn)圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對(duì)本題可以利用長(zhǎng)方體,根據(jù)三視圖刪掉沒(méi)有的點(diǎn)與線,屬中檔題.12.C【解析】
計(jì)算,,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化,屬基礎(chǔ)題.14.答案不唯一,如【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知,不妨設(shè),則,很明顯為遞減數(shù)列,說(shuō)明原命題是假命題.所以,答案不唯一,符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列,還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】∵,∴,即,∴,∴.16.【解析】
點(diǎn)在的平分線可知與向量共線,利用線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在的平線上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,利用向量的坐標(biāo)求向量的模,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)答案見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)利用基本不等式可得,兩式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【詳解】(1)兩式相加得(2)由(1)知于是,.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)(2)10【解析】
(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根據(jù)二倍角的余弦公式計(jì)算即可;(2)由已知可得,利用余弦定理解出,由已知計(jì)算出與,再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】(1),,在中,由正弦定理得,,又,,,(2),,,由余弦定理得,,則,化簡(jiǎn)得,,解得或(負(fù)值舍去),,,,,,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查了二倍角公式的應(yīng)用,考查了運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19.(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)由平面平面的性質(zhì)定理得平面,.在中,由勾股定理得,平面,即可得;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,由空間向量法和異面直線與所成角的余弦值為,得點(diǎn)M的坐標(biāo),從而求出二面角的余弦值.【詳解】(1)平面平面,平面平面=,,所以.由面面垂直的性質(zhì)定理得平面,,在中,,,由正弦定理可得:,,即,平面,.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),則,,得,,而,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,取平面的法向量,則,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用,屬于中檔題.20.(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)要證明,只需證明即可;(2)有3個(gè)根,可轉(zhuǎn)化為有3個(gè)根,即與有3個(gè)不同交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可.【詳解】(1)令,則,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,即,所以.(2)由已知,,依題意,有3個(gè)零點(diǎn),即有3個(gè)根,顯然0不是其根,所以有3個(gè)根,令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,作出的圖象,易得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.21.(1);(2)7.【解析】分析:(1)由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值,進(jìn)而求得A;(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求得a.詳解:(1)∵,∴,∵為銳角,∴;(2)由余弦定理得:.點(diǎn)睛:本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù),屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.22.(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)連接,設(shè),連接.通過(guò)證
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