廣東省珠海市2022年高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或12.《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī):“挑水砍柴不堪苦,請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無(wú)所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:,,,,則按照以上規(guī)律,若具有“穿墻術(shù)”,則()A.48 B.63 C.99 D.1203.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.4.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,,為拋物線上三點(diǎn),若,則().A.9 B.6 C. D.5.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.6.已知是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓上的任意一點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交圓于點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.2 C. D.7.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.8.2019年10月1日上午,慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵儀式在天安門廣場(chǎng)隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國(guó)的科技軍事力量,更是讓世界感受到了中國(guó)的日新月異.今年的閱兵方陣有一個(gè)很搶眼,他們就是院??蒲蟹疥?他們是由軍事科學(xué)院、國(guó)防大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)聯(lián)合組建.若已知甲、乙、丙三人來(lái)自上述三所學(xué)校,學(xué)歷分別有學(xué)士、碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道:①甲不是軍事科學(xué)院的;②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士;③乙不是軍事科學(xué)院的;④乙不是博士學(xué)位;⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生.則丙是來(lái)自哪個(gè)院校的,學(xué)位是什么()A.國(guó)防大學(xué),研究生 B.國(guó)防大學(xué),博士C.軍事科學(xué)院,學(xué)士 D.國(guó)防科技大學(xué),研究生9.直線與拋物線C:交于A,B兩點(diǎn),直線,且l與C相切,切點(diǎn)為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.10.在鈍角中,角所對(duì)的邊分別為,為鈍角,若,則的最大值為()A. B. C.1 D.11.我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中間四人未到者,亦依次更給,問(wèn)各得金幾何?”則在該問(wèn)題中,等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金()A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)(x,y)滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為40,則+的最小值為_____.14.設(shè)全集,,,則______.15.若正實(shí)數(shù)x,y,滿足x+2y=5,則x216.若方程有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3a5=45,a2+a6=1.(I)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足:…,求{bn}的前n項(xiàng)和.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)是直線的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,求的最小值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若正數(shù)、滿足,求證:.20.(12分)為提供市民的健身素質(zhì),某市把四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用(1)在一次全民健身活動(dòng)中,四個(gè)籃球館的使用場(chǎng)數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從四場(chǎng)館的使用場(chǎng)數(shù)中依次抽取共25場(chǎng),在中隨機(jī)取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為,其相應(yīng)維修費(fèi)用為元,根據(jù)統(tǒng)計(jì),得到如下表的數(shù)據(jù):x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程;②叫做籃球館月惠值,根據(jù)①的結(jié)論,試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值參考數(shù)據(jù)和公式:,21.(12分)已知函數(shù).(1)若在處取得極值,求的值;(2)求在區(qū)間上的最小值;(3)在(1)的條件下,若,求證:當(dāng)時(shí),恒有成立.22.(10分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過(guò)的平面交于點(diǎn),若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

求得直線的斜率,利用曲線的導(dǎo)數(shù),求得切點(diǎn)坐標(biāo),代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對(duì)于,令,解得,故切點(diǎn)為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】

觀察規(guī)律得根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1,從而求出n.【詳解】解:觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理,發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】

圖像分析采用排除法,利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù),再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況。【詳解】,故奇函數(shù),四個(gè)圖像均符合。當(dāng)時(shí),,,排除C、D當(dāng)時(shí),,,排除A。故選B?!军c(diǎn)睛】圖像分析采用排除法,一般可供判斷的主要有:奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。4.C【解析】

設(shè),,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè),,,由及,得,故,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問(wèn)題,考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.5.A【解析】

由計(jì)算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域?yàn)?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對(duì)象角的取值范圍,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】

設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時(shí),取得等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問(wèn)題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識(shí),是一道容易題.7.B【解析】

方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.8.C【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校;由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學(xué)院的,③乙不是軍事科學(xué)院的;則丙來(lái)自軍事科學(xué)院;由②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士,則丙不是博士;由⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生,可知丙不是研究生,故丙為學(xué)士.綜上可知,丙來(lái)自軍事科學(xué)院,學(xué)位是學(xué)士.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由條件的相互牽制判斷符合要求的情況,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

設(shè)出坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長(zhǎng)公式求得,再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】設(shè),,聯(lián)立,得則,則由,得設(shè),則,則點(diǎn)到直線的距離從而.令當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故,即的最小值為本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問(wèn)題.解決圓錐曲線中的面積類最值問(wèn)題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來(lái)求解最值.10.B【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得,即可得到,再求出,最后根據(jù)求出的最大值;【詳解】解:因?yàn)椋砸驗(yàn)樗?,即,,時(shí)故選:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.11.C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得,故選C12.D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán),輸出,選D.點(diǎn)睛:算法與流程圖的考查,側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題,是求和還是求項(xiàng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分,當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過(guò)直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(diǎn)(8,10)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則的最小值為.14.【解析】

先求出集合,,然后根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15.8【解析】

分析:將題中的式子進(jìn)行整理,將x+1當(dāng)做一個(gè)整體,之后應(yīng)用已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問(wèn)題的求解方法,即可求得結(jié)果.詳解:x2-3x+1+2點(diǎn)睛:該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題,解決該題的關(guān)鍵是需要對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),轉(zhuǎn)化,利用整體思維,最后注意此類問(wèn)題的求解方法-------相乘,即可得結(jié)果.16.【解析】

由知x>0,故.令,則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在(0,e)上遞增,在(e,+)上遞減.故,即.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(I);(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則依題設(shè).由,可得.由,得,可得.所以.可得.(Ⅱ)設(shè),則.即,可得,且.所以,可知.所以,所以數(shù)列是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.所以前項(xiàng)和.考點(diǎn):等差數(shù)列通項(xiàng)公式、用數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式.18.(1),;(2)見解析【解析】

(1)消去t,得直線的普通方程,利用極坐標(biāo)與普通方程互化公式得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)判斷與圓相離,連接,在中,,即可求解【詳解】(1)將的參數(shù)方程(為參數(shù))消去參數(shù),得.因?yàn)?,,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)知曲線是以為圓心,3為半徑的圓,設(shè)圓心為,則圓心到直線的距離,所以與圓相離,且.連接,在中,,所以,,即的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標(biāo)與普通方程互化,直線與圓的位置關(guān)系,是中檔題19.(1);(2)見解析【解析】

(1)等價(jià)于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ),分別解出,再求并集即可;(2)利用基本不等式及可得,代入可得最值.【詳解】(1)等價(jià)于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ)由(Ⅰ)得:由(Ⅱ)得:由(Ⅲ)得:.原不等式的解集為;(2),,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式,考查三角不等式的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用,是一道中檔題.20.(1)見解析,12.5(2)①②20【解析】

(1)運(yùn)用分層抽樣,結(jié)合總場(chǎng)次為100,可求得的值,再運(yùn)用古典概型的概率計(jì)算公式可求解果;(2)①由公式可計(jì)算的值,進(jìn)而可求與的回歸直線方程;②求出,再對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合單調(diào)性,可估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值.【詳解】解:(1)抽樣比為,所以分別是,6,7,8,5所以兩數(shù)之和所有可能取值是:10,12,13,15,,,所以分布列為期望為(2)因?yàn)樗?,,;②,設(shè),所以當(dāng)遞增,當(dāng)遞減所以約惠值最大值時(shí)的值為20【點(diǎn)睛】本題考查直方圖的實(shí)際應(yīng)用,涉及求概率,平均數(shù)、擬合直線和導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題,關(guān)鍵是要讀懂題意,屬于中檔題.21.(1)2;(2);(3)證明見解析【解析】

(1)先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù),由已知函數(shù)在處取得極值,得到,即可求解的值;(2)由(1)得,定義域?yàn)?,分,和三種情況討論,分別求得函數(shù)的最小值,即可得到結(jié)論;(3)由,得到,把,只需證,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)由,定義域?yàn)?,則,因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值,所以,即,解得,經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意,所以.(2)由(1)得,定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),有,在區(qū)間上單調(diào)遞增,最小值為,當(dāng)時(shí),由得,且,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,最小值為,當(dāng)時(shí),則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;所以在處取得最小值,綜上可得:當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最小值為1,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最小值為.(3)由得,當(dāng)時(shí),,則,欲證,只需證,即證,即,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即,故,即當(dāng)時(shí),恒有成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,以及不等式的證明,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力,對(duì)于此類問(wèn)題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.22.(1)見證明;(2)【解析】

(1)先證明等腰梯形中,然后證明,即可得到丄平面,

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