2021-2022學(xué)年山西省忻州市業(yè)余少體校高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年山西省忻州市業(yè)余少體校高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等比數(shù)列{an}中，a2=9，a5=243，{an}的前4項和為(

)A．81 B．120 C．168 D．192參考答案：B【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比數(shù)列的首項和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的公式即可求出{an}的前4項和．【解答】解：因為==q3=27，解得q=3又a1===3，則等比數(shù)列{an}的前4項和S4==120故選B【點評】此題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的前n項和的公式化簡求值，是一道中檔題．2.不等式的解集是（

）

.

.

.

.參考答案：A3.展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A

解析：只有第六項二項式系數(shù)最大，則，

，令4.已知點M到兩個定點A（，0）和B（1，0）的距離之和是定值2，則動點M的軌跡是 A．一個橢圓 B．線段AB C．線段AB的垂直平分線 D．直線AB參考答案：B略5.設(shè)函數(shù)，若對于任意∈[0，2]都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）

A．

B．

C．

D．.參考答案：A6.已知=(2，1，﹣3)，=(4，2，λ)，若⊥，則實數(shù)λ等于（）A．﹣2 B． C．2 D．參考答案：B【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【分析】利用向量垂直的性質(zhì)直接求解．【解答】解：∵，⊥，∴=8+2﹣3λ=0，解得．故選：B．7.（5分）設(shè)實數(shù)x，y滿足，則μ=的取值范圍是（） A． [，2] B． [，] C． [，2] D． [2，]參考答案：A考點： 簡單線性規(guī)劃．專題： 計算題；不等式的解法及應(yīng)用；直線與圓．分析： 根據(jù)不等式組畫出可行域，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部的區(qū)域．設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一點，根據(jù)斜率計算公式可得μ=表示直線OP的斜率，運動點P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到μ=的取值范圍．解答： 解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部的區(qū)域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的動點，可得μ=表示直線OP的斜率，其中P（x，y）在區(qū)域內(nèi)運動，O是坐標原點．運動點P，可得當P與A點重合時，μ=2達到最大值；當P與C點重合時，μ=達到最小值．綜上所述，μ=的取值范圍是[，2]故選：A點評： 本題給出二元一次不等式組，求μ=的取值范圍．著重考查了直線的斜率公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．8.下列命題中，正確的命題有（）①命題“，使得”的否定是“，都有”；②設(shè)p、q為簡單命題，若“”為假命題，則“為真命題”；③“”是“函數(shù)在內(nèi)有極小值”的必要條件；④命題“，使得”為假命題時，實數(shù)的取值范圍是。A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：D略9.設(shè)等比數(shù)列{}的前項和為若，則＝

(

)A．3:4

B．2:3

C．1:2

D．1:3參考答案：A略10.一船自西向東勻速航行上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為 （

） A．海里/小時 B．海里/小時 C．海里/小時 D．海里/小時參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實數(shù)a，b滿足2a+2b=1，則a+b的最大值是

．參考答案：﹣2【考點】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，從而可求a+b的最大值，注意等號成立的條件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，當且僅當，即a=b=﹣1時取等號，∴a=b=﹣1時，a+b取最大值﹣2．故答案為：﹣2．12.不等式≤0的解集為．參考答案：{x|x＜0，或x≥1}【考點】其他不等式的解法．【分析】不等式即即，由此求得x的范圍．【解答】解：不等式≤0，即≥0，即，求得x＜0，或x≥1，故答案為：{x|x＜0，或x≥1}．13.已知、都是銳角，，則的值為

.參考答案：略14.雙曲線的一條漸近線方程為．參考答案：y=x【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出雙曲線的a=2，b=，再由漸近線方程y=x，即可得到．【解答】解：雙曲線的a=2，b=，則漸近線方程為y=x，故答案為：y=x．【點評】本題考查雙曲線方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．15.直線ax+by+3=0與直線dx+ey+3=0的交點為（3，–2），則過點（a，b），（d，e）的直線方程是___________________.參考答案：3x–2y+3=016.對滿足不等式組的任意實數(shù)x，y，則z=x2+y2﹣4x的最小值是

．參考答案：﹣2【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義進行求解即可．【解答】解：z=x2+y2﹣4x=（x﹣2）2+y2﹣4設(shè)m=（x﹣2）2+y2，則m的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到點（2，0）的距離的平方，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，則由圖象知，D到直線x﹣y=0的距離最小，此時d==，則m=d2=2，則z的最小值為z=2﹣4=﹣2，故答案為：﹣217.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+，則函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是．參考答案：（1，+∞）【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．【解答】解：∵，（x＞0），∴f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，故函數(shù)的遞增區(qū)間是（1，+∞），故答案為：（1，+∞）．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)全集是實數(shù)集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）當a=﹣4時，求A∩B和A∪B；（2）若（?RA）∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】交、并、補集的混合運算；集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．【分析】（1）A={x|≤x≤3}，當a=﹣4時，B={x|﹣2＜x＜2}，由此能求出A∩B和A∪B．（2）?RA={x|x＜或x＞3}，當（?RA）∩B=B時，B??RA，由此進行分類討論能夠求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）∵A={x|≤x≤3}，當a=﹣4時，B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|≤x＜2}，A∪B={x|﹣2＜x≤3}．…（2）?RA={x|x＜或x＞3}，當（?RA）∩B=B時，B??RA，①當B=?，即a≥0時，滿足B??RA；②當B≠?，即a＜0時，B={x|﹣＜x＜}，要使B??RA，需≤，解得﹣≤a＜0．綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是a≥﹣．…19.（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)上的點到直線的最短距離；（2）對于任意正實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）（2）20.分別過橢圓E：=1（a＞b＞0）左、右焦點F1、F2的動直線l1、l2相交于P點，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k1、k2、k3、k4，且滿足k1+k2=k3+k4，已知當l1與x軸重合時，|AB|=2，|CD|=．（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在定點M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點坐標，若不存在，說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出橢圓E的方程．（2）焦點F1、F2坐標分別為（﹣1，0），（1，0），當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（﹣1，0）或（1，0），當直線l1，l2斜率存在時，設(shè)斜率分別為m1，m2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韋達定理結(jié)合題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在點M，N其坐標分別為（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2．【解答】解：（1）當l1與x軸重合時，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l(xiāng)2垂直于x軸，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴橢圓E的方程為．（2）焦點F1、F2坐標分別為（﹣1，0），（1，0），當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（﹣1，0）或（1，0），當直線l1，l2斜率存在時，設(shè)斜率分別為m1，m2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由題意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，設(shè)P（x，y），則，即，x≠±1，由當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（﹣1，0）或（1，0）也滿足，∴點P（x，y）點在橢圓上，∴存在點M，N其坐標分別為（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查是否存在定點M，N，使得|PM|+|PN|為定值的判斷與證明，對數(shù)學(xué)思維的要求較高，有一定的探索性，解題時要注意函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．21.以下莖葉圖記錄了甲組3名同學(xué)寒假假期中去圖書館學(xué)習(xí)的次數(shù)和乙組4名同學(xué)寒假假期中去圖書館學(xué)習(xí)的次數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以表示.（Ⅰ）如果，求乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)次數(shù)的平均數(shù)和方差；（Ⅱ）如果，從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的學(xué)生中選兩名同學(xué)，求選出的兩名同學(xué)恰好分別在兩個圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20的概率．參考答案：解：（Ⅰ）當x=7時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)次數(shù)是：7，8，9，12，所以平均數(shù)為

……………3分方差為

……………6分（Ⅱ）記甲組3名同學(xué)為A1，A2，A3，他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為9，12，11；乙組4名同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為9，8，9，12；從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的學(xué)生中人選兩名學(xué)生，所有可能的結(jié)果有15個，它們是：A1A2，A1A3，A1B1，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B3，A2B4，A3B1，A3B3，A3B4，B1B3，B1B4，B3B4.