高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)

高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)理論AdvancedMicroeconomicTheoryGeoffreyA.JehlePhilipJ.Reny微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)基本理論和內(nèi)容都是一樣的。但是劃分初、中、高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的關(guān)鍵是理論在一般化、形式化程度上有差別。微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)基本核心三大假定三大原理三大分析方法資源稀缺、經(jīng)濟(jì)理性、保護(hù)私有財(cái)產(chǎn)供求原理、等價(jià)交換原理、福利最大化原理均衡分析方法（動(dòng)態(tài)與靜態(tài)）、收益成本分析（動(dòng)態(tài)與靜態(tài)）、帕累托標(biāo)準(zhǔn)分析一個(gè)好模型研究可觀察的真實(shí)世界的各種現(xiàn)象，而不是虛構(gòu)各種事實(shí)，或者研究虛擬世界。解釋的現(xiàn)象如果太特殊，理論沒有意義，解釋的現(xiàn)象如果太空泛，放之四海的真理容易變成套套邏輯。假設(shè)和“前提性假設(shè)”。假設(shè)為我們的研究設(shè)定了一個(gè)范圍和條件，使待研究的現(xiàn)象變得更簡單，讓研究者的精力集中在主要方面，而暫時(shí)忽略一些次要內(nèi)容。在滿足這個(gè)假設(shè)條件下，得到的推論是可靠的。但是，關(guān)于假設(shè)條件是否必須為真，經(jīng)濟(jì)學(xué)家之間通常有嚴(yán)重分歧。如弗里德曼認(rèn)為，假設(shè)是否為真不重要，重要的是得到的結(jié)論有比較普遍的解釋能力。如理性假設(shè)、完全競爭市場模型的四個(gè)假設(shè)條件、古諾模型的假設(shè)條件。在界定范圍后，需要引入的變量。需要注意哪些變量是外生變量，哪些變量是內(nèi)生變量。在確定變量后，選擇合適的函數(shù)形式。函數(shù)形式既要考慮經(jīng)濟(jì)含義，又要考慮處理的方便。太復(fù)雜的函數(shù)通常不容易求解出結(jié)果，推導(dǎo)過程也會(huì)很復(fù)雜。由于資源總是稀缺的，因此，還必須加入約束條件。如何處理好約束條件，是模型構(gòu)建的難點(diǎn)和重點(diǎn)，也是經(jīng)濟(jì)學(xué)家水平的重要分水嶺。一個(gè)好模型必須能夠解釋觀察到的各種現(xiàn)象，推測的結(jié)果要用真實(shí)世界觀察到的現(xiàn)象或者素材來檢驗(yàn)，一個(gè)好模型還必須是有可能被可證偽的。這樣，理論才能不斷創(chuàng)新，不斷發(fā)展。Ch0.導(dǎo)論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）Asetisanycollectionofelements.Wecanbedefinedbyenumeration(列舉）oftheirelementsorbydescriptionoftheirelements.一個(gè)集合是所有元素的合并。我們既可以用列舉法來定義集合中的這些元素，也可以用描述法來定義集合中的這些元素。A={1,3,5,7,9}orA={小于10的奇數(shù)｝數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）Membershiporinclusioninaset,weusethesymbol.otherwise,AsetSisasubsetofanothersetT,wewriteST(SiscontainedinT)orIfTS(TcontainsS),thenxSxT數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）Theemptyset（空集）symbolis

.S=Tmeanstwosetsareequal.IfandonlyifSTandTS.Theunion(并集）ofTandSisST{xxSorxT}Theintersection(交集）ofTandSisST{xxSandxT}數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）實(shí)數(shù)集數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）ConvexsetsinRn

isaconvexsetifforallwehave

如果一個(gè)集合包含了該集合中每對點(diǎn)的所有凸組合，它才是凸的。當(dāng)且僅當(dāng)我們可把集合內(nèi)的兩點(diǎn)用一條直線連接，該連接線又完全處在集合內(nèi)的情況下，這一集合才是凸的。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）:binaryrelationbetweenSandTAnycollectionoforderedpairss與t存在特定關(guān)系或數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）Completeness（完備性）ArelationonSiscompleteif,forallelementsx,yinS,Transitivity（傳遞性）ArelationonSistransitiveif,foranythreeelementsx,y,zinS,implies。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）度量與度量空間歐氏空間歐氏度量：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）開鄰域閉鄰域數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）例1：在R1上的鄰域

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）

上的鄰域：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）開集如果，都使，那么是上的開集。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）閉集S如果S的補(bǔ)集Sc是開集，那么S是閉集。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）定理：一個(gè)集合是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)，對所有的序列，如果對任意的m有，那么，就有。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）BoundedSets（有界集）AsetSinRniscalledboundedifitisentirelycontainedwithinsomeThatis,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）upperandlowerboundofS

inRupperbound:u最小上界：上確界（l.u.b.）lowerbound:l最大下界：下確界（g.l.b.）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）定理1.5：實(shí)數(shù)子集的上界與下界1、有界開集不包含上、下確界；2、有界閉集包含上、下確界。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）Compactset（緊集）有界閉集Ch1消費(fèi)者理論Slide251.消費(fèi)者理論基本概念偏好關(guān)系與效用函數(shù)消費(fèi)者問題間接效用函數(shù)與支出函數(shù)需求函數(shù)性質(zhì)Slide261.1消費(fèi)集商品i及其數(shù)量種類有限性數(shù)量無限可分

消費(fèi)組合（束）Slide271.1消費(fèi)集消費(fèi)集：消費(fèi)者可以想象自己可能消費(fèi)的各種消費(fèi)組合的集合。——反映自然的約束以及消費(fèi)者關(guān)于商品的信息Slide281.1消費(fèi)集消費(fèi)集基本假設(shè)Nonempty：

isclosed凸性(convex)

Slide291.1消費(fèi)集可行集B在給定環(huán)境約束下，所有消費(fèi)者實(shí)際上可以選擇的消費(fèi)束。——反映制度、技術(shù)、個(gè)人能力等因素Slide301.2偏好與效用如何描述消費(fèi)者的偏好？Betham：效用可度量、可比較Jevons等：邊際效用遞減法則

需求規(guī)律——基數(shù)效用論Slide311.2偏好與效用序數(shù)效用論Hicks（1939）:ValueandCapitalSlide321.2偏好與效用理性假設(shè)theconsumercanchoose能夠判斷自己喜歡什么andchoicesareconsistent自己的偏好具有一致性Slide331.2.1偏好關(guān)系二元關(guān)系(binaryrelation):如果，有,那么至少與一樣好。讀作：偏好于。Slide341.2.1偏好關(guān)系偏好公理1：完備性

偏好公理2：傳遞性

Slide351.2.1偏好關(guān)系定義1.1：如果在消費(fèi)集上的二元關(guān)系滿足公理1和2，那么我們稱它為偏好關(guān)系。Slide361.2.1偏好關(guān)系定義1.2：strictpreferencerelation而且

讀作：嚴(yán)格偏好于

定義1.3：indifferencerelation而且

讀作：與無差異Slide371.2.1偏好關(guān)系消費(fèi)集的分劃弱偏好集：嚴(yán)格偏好集：無差異集：Slide381.2.1偏好關(guān)系

消費(fèi)集的分劃Slide391.2.1偏好關(guān)系公理3：連續(xù)性

,如果都有而且有和，那么就有和

是閉集。連續(xù)定理：Slide401.2.1偏好關(guān)系Slide411.2.1偏好關(guān)系公理:局部非飽和性

,,使得?！偞嬖诟倪M(jìn)福利的可能性Slide421.2.1偏好關(guān)系X1不滿足公理Slide43局部非飽和性

無差異集合是一條曲線，

不存在無差異區(qū)域。1.2.1偏好關(guān)系Slide44X3（好的）商品越多越好??！X2Slide451.2.1偏好關(guān)系公理4：嚴(yán)格單調(diào)性，如果有那么有，如果有，那么有嚴(yán)格單調(diào)性局部非飽和性Slide46X2X3X11.2.1偏好關(guān)系

無差異曲線斜率為負(fù)嚴(yán)格單調(diào)性Slide471.2.1偏好關(guān)系公理：凸性如果，那么Slide48X2X1Xt1.2.1偏好關(guān)系Slide491.2.1偏好關(guān)系公理5：嚴(yán)格凸性如果和，那么Slide50

X1Xt嚴(yán)格單調(diào)、嚴(yán)格凸性偏好嚴(yán)格凸向原點(diǎn)的無差異曲線1.2.1偏好關(guān)系Slide511.2.1偏好關(guān)系邊際替代率無差異曲線的斜率凸偏好邊際替代率非遞增嚴(yán)格凸偏好邊際替代率遞減Ch1.2.2效用函數(shù)Slide53數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)連續(xù)性如果定義域的一個(gè)“微小運(yùn)動(dòng)”并不導(dǎo)致值域的“大跳躍”，那么，函數(shù)基本上可以判斷是連續(xù)的。函數(shù)Slide54數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)連續(xù)性（Cauchy）在此定義中，函數(shù)的定義域不再在R中取值，而只是在R的一個(gè)子集中取值。Slide55Slide56數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)象與原象（inverseimage）

連續(xù)性與原象（定理A1-6）Slide57數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)定理A1.7：連續(xù)函數(shù)在緊集上的象（image)是緊集Slide58數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)極值存在性定理（Weierstrass）Slide59數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：多變量函數(shù)的微分梯度(gradient)：一階微分：二階微分：（海賽矩陣）Slide60數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：矩陣定義：

N×N矩陣M，如果都有半負(fù)定矩陣的特點(diǎn)是其每個(gè)特征值都是0或負(fù)數(shù)；負(fù)定矩陣的特點(diǎn)是其每個(gè)特征值都是負(fù)數(shù)。那么，稱M是半負(fù)定矩陣；如果不等號(hào)嚴(yán)格成立，那么稱M為負(fù)定矩陣。Slide61數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù)Slide62數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù)Slide631.2.2效用函數(shù)定義1.5：實(shí)值函數(shù)u:R??

R是表示偏好關(guān)系的效用函數(shù)，如果存在性唯一性Slide641.2.2.1效用函數(shù)存在性定理1.1：代表偏好關(guān)系的實(shí)值函數(shù)的存在性定義在的偏好關(guān)系滿足連續(xù)性和嚴(yán)格單調(diào)性，那么就存在一個(gè)連續(xù)的實(shí)值函數(shù)表示.。Slide651.2.2.1效用函數(shù)存在性定理1.1證明思路先構(gòu)造一個(gè)實(shí)值函數(shù)然后證明它滿足效用函數(shù)的條件Slide66I、效用函數(shù)的構(gòu)造0u(x)e~xSlide67至此我們證明出，對于每個(gè)x屬于R，正好存在一個(gè)函數(shù)u（x），使得u(x)e~x。到此為止,我們構(gòu)造了一個(gè)效用函數(shù),它給X中的每一消費(fèi)束分配一個(gè)數(shù)字。以下我們將說明這一效用函數(shù)代表偏好關(guān)系。Slide68II、是效用函數(shù)由式得到（傳遞性）（嚴(yán)格單調(diào)性）——u(x)是表示偏好關(guān)系效用函數(shù)Slide69III、是連續(xù)函數(shù)效用函數(shù)u(x)在開區(qū)間(a,b)上的逆映射(原象)（定義）（單調(diào)性）（傳遞性）是開集（因?yàn)榈难a(bǔ)集是閉集）Slide701.2.2.2效用函數(shù)的唯一性正單調(diào)變化其中在的取值范圍上是嚴(yán)格遞增函數(shù)。Slide711.2.2.2效用函數(shù)的唯一性定理1.2：效用函數(shù)對正單調(diào)變化的不變性實(shí)值函數(shù)u(x)能夠表示偏好關(guān)系，那么，當(dāng)且僅當(dāng)v(x)是u(x)的正單調(diào)變換,v(x)也能夠表示該偏好關(guān)系。Slide721.2.2.2效用函數(shù)的唯一性設(shè)表示的是偏好關(guān)系的結(jié)構(gòu)。

Ch1.3消費(fèi)者問題Slide74Ch1.3消費(fèi)者選擇問題最優(yōu)解的性質(zhì)最優(yōu)解的充分必要條件Slide75數(shù)學(xué)基礎(chǔ)約束最優(yōu)化求解：拉格朗日方法受約束于可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，用無拘束三變量函數(shù)替代兩變量函數(shù)：

Slide76拉格朗日定理（定理A2-16）設(shè)f（x）與是一些定義域在上的連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)。設(shè)x*是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)并且x*是f的一個(gè)最優(yōu)值點(diǎn)（最大值或最小值）；f受到的約束，如果梯度向量是線性獨(dú)立的，那么總會(huì)存在m個(gè)不同的數(shù)使得Slide77定理A2-19受非負(fù)性條件約束的實(shí)值函數(shù)最優(yōu)化的必要條件：設(shè)f(x)是連續(xù)可微的1.如果在的約束下,x*最大化了f(x),那么x*滿足:

Slide78定理A2-19,續(xù)2.如果在的約束下,x*最小化了f(x),那么x*滿足:Slide79Kuhn-Tucker條件（定理A2-20）受不等式條件約束的實(shí)值函數(shù)最優(yōu)化的（Kuhn-Tucker

）必要條件設(shè)f（x）與是一些定義域在上的連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)。設(shè)x*是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)并且x*受到條件約束的f的最優(yōu)解（最大值或最小值解）。如果與所有束緊約束相關(guān)的梯度向量是線性獨(dú)立的，那么必存在唯一的向量使得（x*，）滿足Kuhn-Tucker

條件：Slide80Ch1.3消費(fèi)者選擇問題分析框架偏好關(guān)系：消費(fèi)集：可行集：最優(yōu)化選擇：Slide81Ch1.3消費(fèi)者選擇問題假設(shè)1.2消費(fèi)者偏好具有完備性、可傳遞性、連續(xù)性和嚴(yán)格單調(diào)性。消費(fèi)者的效用可以由一連續(xù)、嚴(yán)格遞增的擬凹實(shí)值函數(shù)表示。形式理性Slide82Ch1.3消費(fèi)者選擇問題可行集預(yù)算行動(dòng)規(guī)則制度、政府規(guī)制等交易規(guī)則：完全競爭性市場可行集：Slide83Ch1.3消費(fèi)者選擇問題消費(fèi)者問題Slide84Ch1.3.1解的性質(zhì)：存在性如果定義域D是一個(gè)緊集，那么連續(xù)實(shí)值函數(shù)u(x)則存在最大值。是上的連續(xù)函數(shù)非空是有界、閉集是緊集存在最大值滿足假設(shè)1.2

Slide85Ch1.3.1解的性質(zhì)：唯一性如果偏好關(guān)系滿足嚴(yán)格凸性，可行集B是凸集，那么最優(yōu)解唯一證明：是凸集

是嚴(yán)格擬凹函數(shù)

——與假設(shè)矛盾假設(shè)不成立解是唯一的Slide86Ch1.3.1解的性質(zhì)：唯一性非凸偏好x1x2Slide87Ch1.3.1解的性質(zhì)：唯一性非嚴(yán)格凸偏好x1x2Slide88Ch1.3.1解的性質(zhì)：瓦爾拉斯法則瓦爾拉斯法則偏好的遞增性當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件時(shí)效用函數(shù)取到最大值：Slide89Ch1.3.1解的性質(zhì)偏好的理性、連續(xù)性偏好的嚴(yán)格凸性偏好的遞增性效用最大化問題的解就是馬歇爾需求函數(shù)。存在性唯一性瓦爾拉斯法則——馬歇爾需求函數(shù)Slide90Ch1.3.2解的充要條件偏好具有良好性質(zhì)，可導(dǎo)Slide91解的充要條件I、II、III、根據(jù)Kuhn-Tucker條件Slide92Ch1.3.2解的充要條件偏好的嚴(yán)格單調(diào)性（幾乎處處成立）內(nèi)點(diǎn)解必要條件Slide93Ch1.3.2解的充要條件定理1.4：內(nèi)點(diǎn)解必要條件的充分性如果效用函數(shù)連續(xù)擬凹，在可導(dǎo)，而且，。那么滿足以下必要條件的解一定是消費(fèi)者的效用最大化解。Slide94Ch1.3.2解的充要條件擬凹設(shè)有：證明Slide95Ch1.3.2解的充要條件假設(shè)不是消費(fèi)者的效用最大化選擇,即連續(xù)性——與u(x)擬凹性矛盾Slide96Ch1.3.2解的充要條件定理1.5：需求函數(shù)的可微性設(shè)為在下消費(fèi)者的最優(yōu)選擇。如果有

在點(diǎn)上的加邊海塞矩陣的秩不等于0。是上的二階連續(xù)可微函數(shù)在可微。那么Slide97例Slide98角點(diǎn)解如果那么最優(yōu)解位于可行集的角上Slide99角點(diǎn)解擬線性偏好Slide100角點(diǎn)解線性偏好2442x1Slide101角點(diǎn)解（根據(jù)定理A2.19)Slide102角點(diǎn)解1、2、Slide103角點(diǎn)解3、Slide104課堂練習(xí)1.20、、1.24、1.25、1.26、Ch1.4間接效用與支出Slide106數(shù)學(xué)基礎(chǔ)值函數(shù)（Valuefunction）MP：Slide107最大化定理如果目標(biāo)函數(shù)與約束條件關(guān)于參數(shù)是連續(xù)的,并且如果定義域是一個(gè)緊集,那么,M(a)與x(a)是參數(shù)a的連續(xù)函數(shù).進(jìn)一步,如果目標(biāo)函數(shù),約束條件與解均對參數(shù)可微,則有包絡(luò)定理.Slide108包絡(luò)定理（定理A2.21）（MP）中，如果f(·),g(·)對a連續(xù)可微，并且對任意a,x(a)>>0是MP的唯一解，而且對a可微。為該問題的拉格朗日函數(shù)，是滿足kuhn-Tucker條件的解。那么有

（等式右邊表示拉格朗日函數(shù)關(guān)于參數(shù)aj的偏導(dǎo)數(shù)，它在點(diǎn)（x(a)，(a)）處取值）Slide109包絡(luò)定理的含義定理說明了如下情況：當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)（并且假設(shè)因此變化而使整個(gè)最優(yōu)化問題被重新賦值），它對目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化值產(chǎn)生的總效應(yīng)可用如下方式來推導(dǎo)：給拉格朗日函數(shù)求參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并接著可在原問題的一階庫恩-塔克條件的解處給該導(dǎo)數(shù)取值。證明：略Slide1101.4.1間接效用函數(shù)Slide1111.4.1間接效用函數(shù)定義在消費(fèi)集上的效用函數(shù)直接效用函數(shù)u(x)定義在(p,y)上的函數(shù)間接效用函數(shù)v(p,y)——當(dāng)價(jià)格、收入變化時(shí)，消費(fèi)者福利會(huì)發(fā)生怎樣的變化？Slide1121.4.1間接效用函數(shù)性質(zhì)1：在上連續(xù)最大化定理約束函數(shù)是p,y的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)2：是(p,y)的0次齊次函數(shù)Slide1131.4.1間接效用函數(shù)性質(zhì)3、4：是y的嚴(yán)格遞增函數(shù)，p的遞減函數(shù)。證明：構(gòu)建拉格朗日函數(shù)令為最大化問題的解，則根據(jù)拉格朗日定理得出存在一個(gè)使得下式成立：

易得>0Slide114性質(zhì)3、4根據(jù)包絡(luò)定理,因此v(p,y)關(guān)于y是遞增的.同樣根據(jù)包絡(luò)定理有:因此v(p,y)關(guān)于p是遞減的.Slide1151.4.1間接效用函數(shù)性質(zhì)5：是(p,y)的擬凸函數(shù)擬凸令Slide1161.4.1間接效用函數(shù)假設(shè)不成立，那么即—與矛盾Slide117性質(zhì)6:Roy恒等式：消費(fèi)者對物品i的馬歇爾需求只是間接效用函數(shù)關(guān)于pi的偏導(dǎo)數(shù)與其關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)的比率的負(fù)數(shù)。根據(jù)包絡(luò)定理，根據(jù)性質(zhì)3，有Slide1181.4.1間接效用函數(shù)例Slide1191.4.2支出函數(shù)在給定價(jià)格(p1,p2)下，實(shí)現(xiàn)效用水平u，至少需要多少預(yù)算（支出）？ux1x2u(x1,x2)=u等支出線Slide1201.4.2支出函數(shù)支出最小化問題(EMP)——?？怂剐枨蠛瘮?shù)Slide1211.4.2支出函數(shù)希克斯需求函數(shù)xh(p,u)在價(jià)格p下，實(shí)現(xiàn)效用水平u，支出最小的消費(fèi)束。Slide122x1x2xh補(bǔ)償需求曲線Slide123Hicksiandemandfunction對于不同的無差異曲線，——對于不同的效用水平，有不同的希克斯需求曲線，它們中的每一個(gè)的形狀與位置將總是由潛在的偏好所決定。在同一條?？怂剐枨笄€上的每一點(diǎn)，其給消費(fèi)者帶來的效用都相等。顯然，在給定價(jià)格體系p和效用水平U(x)之后，相應(yīng)的?？怂剐枨蟛灰姷么嬖冢词勾嬖?，也不見得唯一，要使其具有存在性和唯一性，還須運(yùn)用相應(yīng)的假設(shè)。Slide1241.4.2支出函數(shù)支出最小化問題解的存在性、唯一性支出函數(shù)的性質(zhì)Slide125存在性定理設(shè)消費(fèi)集合X是向下有界的非空閉集，?是連續(xù)的偏好，則對任何價(jià)格向量及任何，都有（即希克斯需求集合非空）。因此理性消費(fèi)者的?？怂剐枨笫谴嬖诘?。Slide126唯一性定理設(shè)消費(fèi)集X是凸集,?是連續(xù)的嚴(yán)格凸偏好,則對于符合條件e(p,x)>e*(p)的任何價(jià)格體系p和消費(fèi)向量,希克斯需求集合中最多只有一種消費(fèi)方案.因此,理性消費(fèi)者的?？怂剐枨笫俏ㄒ坏?Slide127存在性定理的證明是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)是閉集Slide128續(xù)

E有下界是閉集2.1.

存在最小值，即Slide129唯一性定理的證明u(x)是嚴(yán)格擬凹函數(shù)假設(shè)x1,x2都是EMP的最優(yōu)解

u(xt)>up·xt=p·x2=e

存在k<1使得

u(kxt)>u

p·kxt<e如果偏好滿足假設(shè)1.2，那么EMP最優(yōu)解唯一證明：u(x)是連續(xù)函數(shù)—與假設(shè)矛盾Slide130支出函數(shù)e(p,u)的性質(zhì)如果u(.)是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的,那么由最小值函數(shù)定義的e(p,u)則是:性質(zhì)1：當(dāng)效用水平取最低值時(shí)，支出函數(shù)值為0。偏好（嚴(yán)格）遞增

性質(zhì)2：在是連續(xù)函數(shù)(最大化定理)Slide1311.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)3:對,是u的嚴(yán)格遞增函數(shù)，而且無上界。證明:假設(shè)非嚴(yán)格遞增，令u1<u2記x1＝xh(p,u1),x2＝xh(p,u2)——與x1＝xh(p,u1)矛盾Slide1321.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)3：證明（微分方法：包絡(luò)定理）假設(shè)1.而且可微u(·)可微u(·)連續(xù)，嚴(yán)格遞增性2.I.Slide1331.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)根據(jù)拉格朗日定理，必然存在一個(gè)λ*，使得：由于u(x)是遞增的,,所以λ*>0根據(jù)包絡(luò)定理：性質(zhì)4：支出函數(shù)是價(jià)格的遞增函數(shù)。Slide1341.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)5：價(jià)格的一次齊次函數(shù)Slide1351.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)6：是價(jià)格的凹函數(shù)證明：Slide1361.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)7:Shephardlemma證明見性質(zhì)4.Slide1371.4.2.2支出函數(shù)性質(zhì)例:求與對應(yīng)的支出函數(shù)解:

求拉格朗日函數(shù)的一階條件并消去,得到

,于是可得支出函數(shù)Slide1381.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系定義

定義

（1.17）（1.16）1、2、Slide1391.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系支出最小化→要達(dá)到效用u，最小的支出是e(p,u)效用最大化→支出為y時(shí)效用最大取值為u→支出為y時(shí)總能實(shí)現(xiàn)效用u→y最小支出e(p,u)效用最大化→在支出為y的條件下能達(dá)到的最大效用是u支出最小化→實(shí)現(xiàn)效用u的最小開支取值為e(p,u)→當(dāng)開支取值為e時(shí)總能實(shí)現(xiàn)u→開支取值為e(p,u)時(shí)帶來的效用v(p,y)uSlide1401.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系定理1.8：假設(shè)連續(xù)且嚴(yán)格遞增，如果和分別是消費(fèi)者的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)，那么，對有：

Slide1411.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系

假設(shè)e(·)連續(xù)性(1.17)

這是不可能的證明：v(·)是y的嚴(yán)格遞增函數(shù)Slide1421.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系

（1.17）:假設(shè)證明：v(·)連續(xù)

這是不可能的Slide1431.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系定理1.9：馬歇爾需求與?？怂剐枨蟮膶ε夹栽诩僭O(shè)1.2下，對于所有有:

Slide1441.4.3間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系

證明：定理1.8

Slide145對偶性的內(nèi)涵

從表面上看,效用最大化的馬歇爾需求沒有考慮支出最小化的問題,支出最小化的希克斯需求沒有考慮效用最大化的問題,但事實(shí)并非如此.馬歇爾需求與?？怂剐枨笫腔ハ嘁恢碌?或者說,效用最大化蘊(yùn)涵著支出最小化,支出最小化也蘊(yùn)涵著效用最大化.因此,消費(fèi)最優(yōu)選擇不僅可以看做一個(gè)選擇與預(yù)算線相切的最高無差異曲線的問題,也可以看做是一個(gè)選擇與既定的無差異曲線相切的最低預(yù)算線的問題.1.5需求函數(shù)性質(zhì)Slide147Relativepricesandrealincome.relativepricepricesthegoodbysomeothergood,notmoney.realincomeisthemaximumnumberofunitstheconsumercanconsumeifhespendsallhismoneyincome.Slide1481.5需求函數(shù)的性質(zhì)定理1.10:0次齊次和預(yù)算平衡在假設(shè)1.2下

x(p,y)是(p,y)的0次齊次函數(shù)x(tp,ty)＝x(p,y)forallt>0滿足預(yù)算平衡：p·x(p,y)=ySlide1491.5需求函數(shù)的性質(zhì)相對價(jià)格形式令x(p,y)=x(tp,ty)相對價(jià)格：實(shí)際收入：對n種商品中每一種商品的需求只依存于n-1個(gè)相對價(jià)格與消費(fèi)者的實(shí)際收入。Slide1501.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)希克斯分解替代效應(yīng)(SE)：在保持消費(fèi)者最大化效用不變前提下，相對價(jià)格變化所引起的需求量的變化。收入效應(yīng)(IE)：總效應(yīng)(TE)與替代效應(yīng)的差。TE=SE+IESlide151x1x2xhTEIESE1.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)Slide1521.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)Slutsky方程收入效應(yīng)替代效應(yīng)Slide153Slutsky方程對偶性

記：對偶性

Shepard引理

Slide154Slutsky方程Slide1551.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)

是p的凹函數(shù)(支出函數(shù)性質(zhì)6)定理1-12：負(fù)的自替代效應(yīng)Shepard引理

Slide1561.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoodsSlide1571.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoodsSlide158需求規(guī)律定理1-13:正常商品自身價(jià)格的下降將導(dǎo)致需求的增加。如果自身價(jià)格下降導(dǎo)致需求減少，那么該商品必定是劣質(zhì)商品。Slide159IncomeandSubstitutioneffects:NormalGoodFood(unitspermonth)OClothing(unitspermonth)RF1SC1AU1Theincomeeffect,EF2,(fromDtoB)keepsrelativepricesconstantbutincreasespurchasingpower.IncomeEffectC2F2TU2BWhenthepriceoffoodfalls,consumptionincreasesbyF1F2

astheconsumermovesfromAtoB.ETotalEffectSubstitutionEffectDThesubstitutioneffect,F1E,(frompointAtoD),changestherelativepricesbutkeepsrealincome(satisfaction)constant.Slide160Food(unitspermonth)ORClothing(unitspermonth)F1SF2TAU1ESubstitutionEffectDTotalEffectSincefoodisaninferiorgood,theincomeeffectisnegative.However,thesubstitutioneffectislargerthantheincomeeffect.BIncomeEffectU2IncomeandSubstitutioneffects:InferiorGoodSlide1611.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)定理1-14:對稱性替代項(xiàng)e(p,u)二次連續(xù)可微

Shepard引理

Slide1621.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)定理1.15：負(fù)半定替代矩陣Slide1631.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)是p的凹函數(shù)

負(fù)半定Slide1641.5.2收入效應(yīng)與替代效應(yīng)定理1.16：負(fù)半定對稱斯勒茨基矩陣Slide165Application定理1-10和1-16可用于對理論或?qū)嵶C模型進(jìn)行檢驗(yàn).消費(fèi)者需求滿足齊次性和預(yù)算平衡性的要求,以及斯勒茨基矩陣必須是對稱的和負(fù)半定的要求,為實(shí)際估算馬歇爾需求方程組中參數(shù)的設(shè)定規(guī)定了一系列嚴(yán)格的限制(當(dāng)然,在這種情況下,消費(fèi)者必須是理性的價(jià)格接受者).Slide1661.5.3彈性分析收入彈性價(jià)格彈性收入份額Slide167消費(fèi)者需求的加總定理1-17:設(shè)x(p,y)是消費(fèi)者的馬歇爾需求,則如下關(guān)系必須在收入份額,需求的價(jià)格彈性與收入彈性間成立:1.Engelaggregation:它表明收入份額加權(quán)的收入彈性之和為1.2.Cournotaggregation:它表明加權(quán)的自身需求價(jià)格彈性與交叉需求價(jià)格彈性總可以某種特殊方式加總.Slide168恩格爾加總Slide169古諾加總Slide170Tosumup定理1.10-1.17共同給出了一個(gè)有關(guān)效用最大化行為的邏輯含義的說明:齊次性告訴我們需求必將對等比例的價(jià)格與收入的同時(shí)變動(dòng)做出反應(yīng),預(yù)算平衡性則要求需求耗盡消費(fèi)者的收入.斯勒茨基方程告訴我們,針對一般性的價(jià)格變化,需求的變化數(shù)量和方向?qū)⒃鯓?它還考察了那些不可觀測到的需求變化是如何具體影響需求總量,從而使需求量表現(xiàn)為我們最終觀測到的實(shí)際變化).最后,加總關(guān)系提供了有關(guān)需求量如何在整個(gè)需求函數(shù)方程組中被“放到一起”的技巧.Slide171作業(yè)29、38、45、46、50、54、60、62、63Ch2消費(fèi)者理論專題Slide173數(shù)學(xué)基礎(chǔ)超平面（hyperplane）ahyperplaneisanycodimension-1vectorsubspaceofavectorspace.Equivalently,ahyperplaneVinavectorspaceWisanysubspacesuchthatW/Visone-dimensional.Slide174歐拉定理當(dāng)且僅當(dāng)如下式子成立時(shí)，f(x)是k次齊次性的:Slide175Ch2對偶性可積性顯示偏好不確定性Slide1762.1對偶性－深入分析偏好EMPUMPSlide1772.1.1支出與偏好

它可能是、也可能不是一個(gè)支出函數(shù)。滿足什么條件時(shí)是支出函數(shù)？從消費(fèi)者的支出行為能否還原其偏好關(guān)系？在前面一章，我們的支出函數(shù)構(gòu)造思路是：效用函數(shù)→EMP→支出函數(shù)而在本章我們的思路正相反：支出函數(shù)→效用函數(shù)Slide178定理1.7：支出函數(shù)的性質(zhì)1.

在連續(xù)2.

對,是u的嚴(yán)格遞增函數(shù)，而且無上界。3.

是價(jià)格的遞增函數(shù)。4.

是價(jià)格的凹函數(shù)5.

是價(jià)格的一次齊次函數(shù)Slide179命題1：（本節(jié)所要說明的問題）如果E(p,u)滿足定理1.7：1-5性質(zhì)，那么它就是某一偏好的支出函數(shù)。換言之，與此支出函數(shù)相對應(yīng)的效用函數(shù)必然存在。等價(jià)提法：能夠構(gòu)造一個(gè)效用函數(shù)u(·)，使得E(p,u)正好是該效用函數(shù)下的支出函數(shù)。思路：構(gòu)造一個(gè)函數(shù)證明它是效用函數(shù)Slide1802.1.1支出與偏好偏好EMPUMP根據(jù)支出行為，能夠恢復(fù)其偏好關(guān)系Slide181

XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)

表示的是這樣的消費(fèi)組合集合，它在任何價(jià)格水平下都能滿足px>E(p,u0)Slide182XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)A(u1)u1A(u2)u2u*Slide183先構(gòu)造：A(u):E(p,u)的上等值集然后在A(u)基礎(chǔ)上構(gòu)造u(·)Slide184效用函數(shù)的構(gòu)造給定令超平面：Slide185效用函數(shù)的構(gòu)造—p0·x是x的連續(xù)函數(shù)

A(p0,u0)是閉集—p0·x是x的線性函數(shù)

所有在價(jià)格p0下能夠達(dá)到u0的消費(fèi)束都在A(p0,u0)內(nèi)，據(jù)此我們有：

A(p0,u0)是凸集A(u0)A(p0,u0)Slide186效用函數(shù)的構(gòu)造存在一條未知的無差異曲線～(u0)，在價(jià)格p0下，剛好與該預(yù)算線相切.問題：如何通過A(p0,u0)

找出無差異曲線

u0？Slide187效用函數(shù)的構(gòu)造我們可以把在不同價(jià)格水平下的所有與該無差異曲線相切的預(yù)算線劃出來當(dāng)p=p1時(shí)A(u0)A(p1,u0)Slide188效用函數(shù)的構(gòu)造無差異集既在A(p0,u0)又在A(p1,u0)，即在它們的交集中。－－所有能夠至少產(chǎn)生效用水平u0的消費(fèi)組合記為式2-1A(p,u0)是閉集

A(u0)是閉集Slide189效用函數(shù)的構(gòu)造E(p,u)是u的遞增函數(shù)A(u)的遞增性Slide190效用函數(shù)的構(gòu)造給定消費(fèi)組合x，其效用水平？如果那么x至少能夠達(dá)到那么x不可能達(dá)到記：Slide191定理2.1如果E(p,u)具有定理1.7的支出函數(shù)的性質(zhì)，A(u)是根據(jù)2.1式定義，那么函數(shù)是與E(p,u)相對應(yīng)的效用函數(shù),它是一個(gè)遞增、無上界的擬凹函數(shù)。Slide192證明：第二步最大值存在

B(x)是有上界非空閉集遞增、無上界、擬凹

——具有效用函數(shù)的性質(zhì)Slide193是u的連續(xù)函數(shù)最大值存在性是閉集1.1、B(x)是閉集證明：Slide194E(p,u)無上界，是u的遞增函數(shù)

B(x)有上界最大值存在性使得B(x)非空

存在上確界1.2、B(x)是存在上界證明Slide195最大值存在性存在上確界閉集具有良好定義Slide196

遞增性Slide197無上界假設(shè)存在上界，則一定有上確界都有即我們需要證明證明Slide198給定是P的一次齊次可微函數(shù)歐拉定理

是P的凹函數(shù),根據(jù)定理A2.4

無上界證明Slide199設(shè)即無上界Slide200擬凹給定記證明Slide201定理2.2如果E(p,u)具有定理1.7的支出函數(shù)的性質(zhì)，u(x)是根據(jù)定理2.1構(gòu)造的效用函數(shù)，那么Slide202定理2.2：證明給定設(shè)滿足定義

給定Slide203定理2.2：證明是P的一次齊次可微函數(shù)歐拉定理

是P的凹函數(shù)(根據(jù)定理A2-4)

Slide204定理2.2：證明設(shè)Slide205結(jié)論定理2-1和2-2告訴我們,在任何時(shí)刻,我們可寫出滿足定理1-7性質(zhì)的關(guān)于價(jià)格與效用的函數(shù),對于滿足一般公理的偏好而言,該函數(shù)將是一個(gè)合理的支出函數(shù).我們可由一個(gè)直接效用函數(shù)出發(fā),通過求解適宜的最優(yōu)化問題以求出?？怂剐枨蠡蝰R歇爾需求函數(shù);也可由一個(gè)支出函數(shù)出發(fā),經(jīng)由相反的路線及簡單積分的方法來獲得消費(fèi)者需求方程.而后者在真實(shí)世界里實(shí)用性更強(qiáng).Slide2062.1.2凸性與單調(diào)性凸性、單調(diào)性假設(shè)

是對個(gè)人偏好很強(qiáng)的假設(shè)，如果需求理論需要依賴很強(qiáng)的假設(shè)，那么無疑會(huì)限制該理論的應(yīng)用?！墙?jīng)濟(jì)學(xué)的一塊心病Slide2072.1.2凸性與單調(diào)性只是技術(shù)性假設(shè)，理論的預(yù)測并不會(huì)因?yàn)橐脒@兩個(gè)假設(shè)而改變。即：非凸、非單調(diào)性偏好下的最優(yōu)選擇一定也是單調(diào)、凸偏好下的最優(yōu)選擇。Slide208構(gòu)造的凸化和單調(diào)化偏好連續(xù)具有良好定義,而且連續(xù)

——遞增、擬凹（定理2.1的證明）根據(jù)構(gòu)造函數(shù):Slide209與關(guān)系

Slide210（擬凹）:凸集

與關(guān)系

Slide211I、如果是遞增的擬凹函數(shù)是閉凸集——無差異曲線上的任意消費(fèi)束，都存在一個(gè)正的價(jià)格向量，使其成為成本最小化選擇Slide212I、如果是遞增的擬凹函數(shù)支撐超平面定理

（分離超平面定理）是閉凸集使得都有：Slide213I、如果遞增的擬凹函數(shù)是u的遞增函數(shù)任何大于u的值都不屬于B(x0)Slide214I、如果遞增的擬凹函數(shù)Slide215II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)無差異曲線上，x0~x1,以及x2~x3,上的消費(fèi)束都存在嚴(yán)格為正的價(jià)格，使其成為成本最小化的最優(yōu)選擇。x3x0x2x1而且對于x1,x2Slide216II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)不是擬凹函數(shù)即有(e(p,u)遞增性)因?yàn)镾lide217x2x1II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)xtx0x3Slide218x2x1II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)xtx0非遞增性

x3Slide219II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)2.1.2凸性與單調(diào)性Slide2202.1.3間接效用與偏好偏好EMPUMP從間接效用函數(shù)能夠恢復(fù)其偏好關(guān)系Slide221直接效用函數(shù)的構(gòu)造如果有Slide222定理2.3

在上擬凹而且可微，一階偏導(dǎo)嚴(yán)格為正，那么間接效用函數(shù)在上取得最小值，并且有：（T1）Slide223定理2.3:證明令給定

Slide2242.1.3間接效用與偏好如果函數(shù)滿足定理1.6中的性質(zhì)，那么該函數(shù)就是一個(gè)間接效用函數(shù)，而且根據(jù)（T1）所構(gòu)造的函數(shù)就是產(chǎn)生該間接效用函數(shù)的直接效用函數(shù)。Slide2252.1.3間接效用與偏好0次齊次

其中Slide226例Slide227反需求函數(shù)定理2.4設(shè)u(x)是消費(fèi)者的效用函數(shù)，那么商品i的反需求函數(shù)為Slide228證明包絡(luò)定理：Slide229例：求反需求函數(shù)Ch2消費(fèi)者理論專題Lecture2可積性與顯示偏好Slide2312.2可積性如何從可觀察的需求行為恢復(fù)產(chǎn)生該需求的效用函數(shù)？

Slide2322.2可積性偏好EMPUMPSlide2332.2可積性需求函數(shù)應(yīng)該滿足那些條件？-零次齊次性、預(yù)算平衡性、對稱性與負(fù)半定性，以及相伴隨的古諾加總和恩格爾加總。-根據(jù)定理1-17，加總結(jié)論直接來自預(yù)算平衡性。-零次齊次性可由預(yù)算平衡性與對稱性所蘊(yùn)涵。Slide234定理2-5定理2-5：如果x(p,y)滿足預(yù)算平衡性并且其斯勒斯基矩陣是對稱的,那么它對p與y就是零次齊次的。證明：略Slide235總結(jié)如果x(p,y)是需求函數(shù)的一個(gè)效用最大化的方程組,那么,我們可以對已發(fā)現(xiàn)的可觀察行為含義做如下總結(jié):預(yù)算平衡性:p?x(p,y)=y負(fù)半定性:相關(guān)的斯勒斯基矩陣s(p,y)是負(fù)半定的.對稱性:s(p,y)是對稱的.Slide236定理2.6可積性定理定理2.6:一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)當(dāng)其滿足預(yù)算平衡性、對稱性和負(fù)半定性時(shí)，它就是由一些遞增、擬凹的效用函數(shù)產(chǎn)生的需求函數(shù)。該結(jié)論并且只在效用是連續(xù)的、嚴(yán)格遞增的且嚴(yán)格擬凹的條件下成立。證明：略一個(gè)有用的引理:對偶性+ShepardlemmaSlide237例題2-3存在三種物品并設(shè)消費(fèi)者的需求行為由如下函數(shù)表達(dá)，求其支出函數(shù)。Slide238首先，檢查x(p,y)滿足預(yù)算平衡性、對稱性與負(fù)半定性,依據(jù)定理2-6，x(p,y)必是由效用函數(shù)生成的.根據(jù)定理2-6的引理（P.1）我們的任務(wù)在于尋找出,它求解出以下偏微分方程組:Slide239注意到上式可被改寫為:于是有:Slide240進(jìn)一步,于是,由于必須確保e(p,y)關(guān)于u是嚴(yán)格遞增的,只要我們能保證c(u)嚴(yán)格遞增,所得函數(shù)就是我們要求的支出函數(shù),可以方便地設(shè)c(u)=u.我們的最終解就是Slide2412.3顯示偏好分析的思路對偏好進(jìn)行公理化假設(shè)最大化行為消費(fèi)者行為觀察和預(yù)測(前面各章節(jié)的思路)可觀察的選擇出發(fā)分析消費(fèi)行為Samuelson（1947）消費(fèi)者選擇消費(fèi)束A而非B,說明消費(fèi)者更偏好于A,消費(fèi)者的實(shí)際選擇行為傳遞著關(guān)于消費(fèi)者偏好的信息.Slide242直接顯示偏好設(shè)是消費(fèi)者在收入為m的條件下根據(jù)價(jià)格所能購買的任意商品束,是其實(shí)際購買的商品束,如果該消費(fèi)者滿足預(yù)算平衡性,顯然有:于是有如果與是不同的消費(fèi)束,此時(shí)我們說是的直接顯示偏好.Slide243顯示偏好原理設(shè)是價(jià)格在時(shí)被選擇的商品束,是使得成立的另一個(gè)商品束.在這種情況下,如消費(fèi)者總是在他能夠購買的商品束中選擇他最偏好的商品束,則我們有Slide244間接顯示偏好與顯示偏好如需求束本身恰好又是另一商品束的顯示偏好,即根據(jù)傳遞性假設(shè),我們有,在這種情況下,我們稱是的間接顯示偏好.如果一個(gè)商品束既是另一個(gè)商品束的直接顯示偏好,又是它的間接顯示偏好,那么我們就說第一個(gè)商品束是第二個(gè)商品束的顯示偏好.Slide245AmountofExercise(hours)AnexampleOtherRecreationalActivities($)025507520406080100l1Cl2U2BTheratechangesto$1/hr+$30/wkNewbudgetlineI2&combinationBRevealpreferenceofBtoAU1AScenarioRoberta’srecreationbudget=$100/wkPriceofexercise=$4/hr/weekExercises10hrs/wkatAgivenU1&I1Slide246恢復(fù)偏好通過觀察消費(fèi)者所作的選擇,我們可以獲知他的偏好,當(dāng)我們觀察的選擇越多時(shí),我們就能對消費(fèi)者的偏好作出越加準(zhǔn)確的估計(jì).充分利用顯示偏好的概念及關(guān)于偏好的若干前提假設(shè),則我們能準(zhǔn)確地畫出無差異曲線.Slide247DRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl1l2BAI1:ChoseAoverBAisrevealedpreferredtoBl2:ChooseBoverDBisrevealedpreferredtoDFood(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)Slide248AispreferredtoallmarketbasketsinthegreenareaRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl2Bl1DAAllmarketbasketsinthepinkshadedareaarepreferredtoA.Food(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)Slide249AllmarketbasketsinthepinkareapreferredtoAFood(unitspermonth)RevealedPreferences--fourBudgetLinesClothing(unitspermonth)l1l2l3l4A:preferredtoallmarketbasketsinthegreenareaEBAGI3:ErevealedpreferredtoA

I4:GrevealedpreferredtoASlide250顯示偏好的弱公理（WARP）如果對于每一對不同的消費(fèi)束與，消費(fèi)者在價(jià)格為時(shí)選擇，在價(jià)格為時(shí)選擇，那么，這個(gè)消費(fèi)者的選擇行為會(huì)滿足顯示偏好弱公理：換言之，當(dāng)是的顯示偏好，且從來不是的顯示偏好，那么，WARP成立。Slide251一種更容易理解的表述WARP：如果是的直接顯示偏好，且和不同，那么，就不可能是的直接顯示偏好。還原到現(xiàn)實(shí)世界就是：如果在購買商品束X時(shí)有能力購買商品束Y，那么在購買商品束Y時(shí)，商品束X就肯定是無力購買的商品束。Slide252顯示偏好弱公理x1x1x0x0Slide253選擇函數(shù)選擇函數(shù)（choicefunction）假設(shè)1：稱x1

直接顯示偏好于x2，如果有記為：Slide2540次齊次設(shè)（預(yù)算平衡）（WARP）ifSlide255斯勒茨基補(bǔ)償當(dāng)價(jià)格變化后，調(diào)整收入，使其剛好買得起原來的消費(fèi)束。（WARP）（2-5）Slide256如果那么等式成立。如果，那么，在可被支付時(shí)被選擇，WARP意味著每當(dāng)被選擇時(shí)都是支付不起的，因此上式不等號(hào)是嚴(yán)格的。根據(jù)預(yù)算平衡有：（2-6）（2-6）-（2-5）得（2-7）：

Slide257令Slide258斯勒茨基補(bǔ)償需求Slide259斯勒茨基補(bǔ)償需求Slide260斯勒茨基補(bǔ)償需求都成立負(fù)半定Slide261總結(jié)至此我們已證明，一旦選擇函數(shù)滿足WARP和預(yù)算平衡性，那么它必定滿足由效用最大化所蘊(yùn)涵的兩個(gè)特性，即零次齊次性與斯勒斯基矩陣的負(fù)半定性。如果我們能進(jìn)一步證明選擇函數(shù)的斯勒司基矩陣是對稱的，那么，依據(jù)可積分性結(jié)論，選擇函數(shù)實(shí)際上就是需求函數(shù)，由此即可構(gòu)建產(chǎn)生該需求函數(shù)的效用函數(shù)。Slide262兩物品情況我們已證，滿足WARP和預(yù)算平衡的選擇函數(shù)具有：0次齊次負(fù)半定替代矩陣兩物品的條件下，0次齊次和負(fù)半定性就意味著對稱性，因此，此時(shí)選擇函數(shù)必定是由效用最大化產(chǎn)生的。Slide263兩物品情況反過來看，從效用最大化得到的需求函數(shù)一定滿足WARP。設(shè)效用最大化的消費(fèi)者具備了嚴(yán)格單調(diào)且嚴(yán)格凸的偏好，那么，在每一個(gè)價(jià)格集上將存在唯一的需求束，該需求束正好用盡消費(fèi)者的收入。在價(jià)格為時(shí)令最大化其效用，價(jià)格為時(shí)最大化其效用，并設(shè)。由于是可支付但沒被選擇的消費(fèi)束，因此必定有。因此，當(dāng)在價(jià)格為時(shí)被選擇，此時(shí)必定是不可獲得的：因此，，WARP于是得到滿足。Slide264兩物品以上情況超過兩物品的情況，由于WARP與預(yù)算平衡性不意味著斯勒斯基矩陣的對稱性，因此，對于兩種物品以上的情形，WARP與預(yù)算平衡并不等價(jià)于效用最大化假說。Slide265可見從效用最大化得到的需求函數(shù)一定滿足WARP但滿足WARP的選擇不一定是效用最大化的選擇這導(dǎo)致這樣一個(gè)問題：如何強(qiáng)化WARP，才能使它等價(jià)于效用最大化理論。由于斯勒斯基矩陣的對稱性與消費(fèi)者偏好的可傳遞性之間存在密切關(guān)系（定理1-14的證明），我們只要確定消費(fèi)者偏好是可傳遞的，則對稱性就能得到滿足，進(jìn)而，效用最大化假說也就能夠?qū)崿F(xiàn)。這就是我們要尋找的WARP的附加條件。Slide266顯示偏好的強(qiáng)公理（SARP）SARP：如果對于每個(gè)不同消費(fèi)束的序列，是的顯示偏好，是的顯示偏好，……，是的顯示偏好，同時(shí)不存在是的顯示偏好，那么我們說SARP被滿足。SARP（一種更簡單的表達(dá)）：如果是的顯示偏好（直接或間接），且與不同，則不可能是的直接或間接顯示偏好Slide267SARP如果消費(fèi)者選擇行為滿足SARP，那么其行為等價(jià)于效用最大化行為?；蚩梢詮臐M足SARP的選擇行為恢復(fù)消費(fèi)者的偏好關(guān)系。簡單地說，建立在SARP上的需求理論，基本上等價(jià)于建立在效用最大化基礎(chǔ)上的需求理論。SARP是使我們觀察到的選擇同消費(fèi)者選擇的經(jīng)濟(jì)模型相容的充分必要條件。但不能據(jù)此聲言構(gòu)成的偏好實(shí)際上產(chǎn)生了觀察到的選擇。如一切科學(xué)判斷一樣，我們只能證明觀察到的行為同判斷并非不相容。只在我們窮極一切可能使觀察到的行為達(dá)到無限多的時(shí)候，上述觀點(diǎn)才能成立。因此，我們不能證明經(jīng)濟(jì)模型是否正確，而只能決定模型的內(nèi)涵，并判定觀察到的選擇是否同這些內(nèi)涵相容。Slide268顯示偏好的一般公理（GARP）如上所述，由于真實(shí)世界不存在無限多的可觀察行為，因此更切實(shí)的工作是當(dāng)可觀察事物為有限時(shí)出現(xiàn)的問題。GARP——Afriat(1976)：當(dāng)且僅當(dāng)只存在一個(gè)局部非飽和的、連續(xù)的、遞增的與凹的效用函數(shù)，那么，可觀察的價(jià)格與數(shù)量資料的有限集合將滿足GARP。GARP為在有限數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上恢復(fù)偏好關(guān)系提供了方法。其缺陷是非唯一性。Ch2消費(fèi)者理論專題Lecture3不確定性Slide270prologue以上各章節(jié)的內(nèi)容都是假設(shè)決策者在一個(gè)絕對確定的世界里行動(dòng)的，他了解所有物品的價(jià)格，并知道任何可行的消費(fèi)束可確定地獲得。然而，在真實(shí)世界里經(jīng)濟(jì)個(gè)體并不總是會(huì)有這樣的好運(yùn)氣，許多經(jīng)濟(jì)決策包含著或多或少的不確定性因素。在這種情況下，即使決策者可以知道不同結(jié)果的概率，決策的最終結(jié)果直至其發(fā)生前仍是不能了解的。因此，不確定性因素的引入是經(jīng)濟(jì)模型對真實(shí)世界的一大修正。Slide271內(nèi)容偏好期望效用函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)厭惡Slide2722.4.1偏好選擇集選擇對象：賭局（gamble、lottery）其結(jié)果不確定可描述性：結(jié)果集概率分布Slide2732.4.1偏好選擇集簡單賭局：每一個(gè)狀態(tài)下都是確定的結(jié)果簡單賭局集Slide2742.4.1偏好選擇集復(fù)合賭局若干狀態(tài)下的結(jié)果仍然是一個(gè)賭局Slide2752.4.1偏好賭局集偏好定義在賭局空間上的消費(fèi)者偏好Slide276不確定下的選擇公理公理1：完備性公理2：傳遞性Slide277不確定下的選擇公理G1＋G2

結(jié)果集內(nèi)所有結(jié)果可以根據(jù)偏好序進(jìn)行完整的排序：公理3：連續(xù)性Slide278不確定下的選擇公理公理3：連續(xù)性——是閉集Slide279不確定下的選擇公理公理4:單調(diào)性含義：以較高概率獲得最好結(jié)果的賭局將更受偏好。反例：死亡的刺激性微小的生命危險(xiǎn)反而比絕對安全好，盡管百分之百死亡是絕對厭惡的。Slide280不確定下的選擇公理公理5：替代性含義：如果決策者對兩個(gè)賭局中任何給出的結(jié)果無差異，并且每個(gè)賭局的結(jié)果會(huì)以同樣的概率出現(xiàn)，則這兩個(gè)賭局無差異。如果那么就有Slide281復(fù)合賭局的有效概率例：設(shè)A={a1,a2}，復(fù)合賭局形式：（1）以概率α獲得結(jié)果a1；（2）以概率（1-α

）獲得彩票券，彩票券以概率β獲得結(jié)果a1，以概率（1-β

）獲得結(jié)果a2。實(shí)際上結(jié)果為a1的有效概率是多少？a1將以兩種互相排斥的方式形成：作為復(fù)合賭局的直接結(jié)果出現(xiàn)或作為一張彩票券出現(xiàn)。因此結(jié)果為a1的有效概率為α+(1-α)

β；a2的有效概率為(1-α)(1-β)。人們在考慮所進(jìn)行的賭局時(shí)只考慮有效概率，因此對復(fù)合賭局和由該復(fù)合賭局引致的簡單賭局無差異。Slide282不確定下的選擇公理簡單賭局與復(fù)合賭局——復(fù)合賭局g的簡化賭局形式Slide283不確定下的選擇公理公理6：如果是g的簡化賭局，那么一定有Slide2842.4.2馮·紐依曼－摩根斯坦恩效用效用函數(shù)如果偏好關(guān)系滿足G1、G2、G3，那么存在效用函數(shù)：表示該偏好關(guān)系。Slide2852.4.2期望效用定理期望效用性質(zhì)稱效用函數(shù)具有期望效用性質(zhì)，如果都有其中是g的簡化賭局Slide2862.4.2期望效用定理馮·紐依曼－摩根斯坦恩效用函數(shù)如果效用函數(shù)具有期望效用性質(zhì)，那么稱其為VNM效用函數(shù)Slide287定理2.7VNM效用函數(shù)存在性在上的偏好關(guān)系，如果滿足公理G1－G6，那么就存在具有期望效用性質(zhì)的效用函數(shù)表示該偏好。Slide288證明單調(diào)性假設(shè)不唯一，設(shè)存在都滿足（1）式，所以有連續(xù)性給定，使得唯一（1）任意，一定有，令單調(diào)性

(2)——與(2)式矛盾假設(shè)不成立Slide289證明連續(xù)性

使得單調(diào)性唯一假設(shè)不唯一，設(shè)存在都滿足（1）式，所以有任意，一定有，令單調(diào)性

(2)——與(2)式矛盾假設(shè)不成立(1)Slide290證明定義：需要證明是能夠表示偏好關(guān)系的效用函數(shù)具有期望效用性質(zhì)其中滿足Slide291證明：1、是表示偏好關(guān)系