高中數(shù)學人教A版1第二章圓錐曲線與方程 優(yōu)秀作品

(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．如果向量a，b與任何向量都不能構成空間的一個基底，則一定有()A．a(chǎn)與b共線 B．a(chǎn)與b同向C．a(chǎn)與b反向 D．a(chǎn)與b共面解析：由空間向量基本定理可知只有不共線的兩向量才可以做基底，B、C都是A的一種情況，空間中任兩個向量都是共面的，故D錯．答案：A2．已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構成一個基底的一組向量是()A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋C．a(chǎn),2b，b－c D．c，a＋c，a－c解析：不共面的三個向量才可以構成基底，A中，a＋2b＝eq\f(3,2)(2a)＋(－2)(a－b)，三個向量共面；B中，b＋2a＝eq\f(3,2)(2b)＋(－2)(b－a)，三個向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三個向量共面；只有C中的三個向量不共面．答案：C3.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(BE,\s\up6(→))等于()\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c解析：eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c.故選C.答案：C4．正方體ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分別是AC，AB′，AD′的中點，以{eq\o(AO1,\s\up6(→))，eq\o(AO2,\s\up6(→))，eq\o(AO3,\s\up6(→))}為基底，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(→))＋zeq\o(AO3,\s\up6(→))，則x，y，z的值是()A．x＝y(tǒng)＝z＝1 B．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y(tǒng)＝z＝2解析：eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up6(→))＝eq\o(AO1,\s\up6(→))＋eq\o(AO2,\s\up6(→))＋eq\o(AO3,\s\up6(→))，對比eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(→))＋zeq\o(AO3,\s\up6(→))得x＝y(tǒng)＝z＝1.答案：A二、填空題(每題5分，共10分)5．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點，若記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))1＝c，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1C,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)(a＋b－c)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b6．我們稱(x，y，z)是向量p＝xa＋yb＋zc關于基底{a，b，c}的坐標，則向量m＝2a－b－3c的相反向量關于基底{a，b，c解析：－m＝－2a＋b＋3c，∴坐標為(－2,1,答案：(－2,1,3)三、解答題(每小題10分，共20分)7.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，則在如圖所示的空間直角坐標系中．求eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(A1B,\s\up6(→))的坐標．解析：設x、y、z軸正方向上的單位向量分別為i，j，k，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝4i，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2j，eq\o(OO1,\s\up6(→))＝4k，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OO1,\s\up6(→))＋eq\o(O1D,\s\up6(→))＝eq\o(OO1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(O1A1,\s\up6(→))＋eq\o(O1B1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(O1A1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(O1B1,\s\up6(→))＋eq\o(OO1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OO1,\s\up6(→))＝2i＋j＋4k，∴eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))＝－2i－j－4k，∴eq\o(DO,\s\up6(→))＝(－2，－1，－4)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))＝－4i＋2j－4k，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－4,2，－4)．

8.如圖所示，四棱錐P-OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設Oeq\o(A,\s\up6(→))＝a，Oeq\o(C,\s\up6(→))＝b，Oeq\o(P,\s\up6(→))＝c，E、F分別是PC和PB的中點，試用a，b，c表示：Beq\o(F,\s\up6(→))、Beq\o(E,\s\up6(→))、Aeq\o(E,\s\up6(→))、Eeq\o(F,\s\up6(→)).解析：連接BO，則Beq\o(F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)Beq\o(P,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(Beq\o(O,\s\up6(→))＋Oeq\o(P,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.Beq\o(E,\s\up6(→))＝Beq\o(C,\s\up6(→))＋Ceq\o(E,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)Ceq\o(P,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)(Ceq\o(O,\s\up6(→))＋Oeq\o(P,\s\up6(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.Aeq\o(E,\s\up6(→))＝Aeq\o(P,\s\up6(→))＋Peq\o(E,\s\up6(→))＝Aeq\o(O,\s\up6(→))＋Oeq\o(P,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(Peq\o(O,\s\up6(→))＋Oeq\o(C,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.Eeq\o(F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)Ceq\o(B,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)Oeq\o(A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9.(10分)如圖所示，已知正四面體的棱長為1，點E、F分別是OA、BC的中點，選擇適當?shù)幕祝?1)表示eq\o(EF,\s\up6(→))，并求出|eq\o(EF,\s\up6(→))|；(2)計算eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，并求出〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉．解析：設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，OB＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝eq\f(π,3)，∴a·b＝a·c＝b·c＝eq\f(1,2).(1)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＝－eq\f(1,2)(a－b－c)則有|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(1,4)a－b－c2)＝eq\r(\f(1,4)a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝eq\f(1,2)eq\r(1＋1＋1－1－1＋1)＝eq\f(\r(2),2)；(2)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝c－a＝－(a－c)∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－b－c)·(a－c)＝eq\f(1,2)(a2＋c2－a·b＋b·c－2a·c)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1－\f(1,2)＋\f(1,2)－1))＝eq