2025版高中數(shù)學第二章統(tǒng)計2.3變量間的相關關系學案含解析新人教A版必修3

PAGEPAGE1§2.3變量間的相關關系學習目標1.了解變量間的相關關系，會畫散點圖.2.依據(jù)散點圖，能推斷兩個變量是否具有相關關系.3.了解線性回來思想，會求回來直線的方程．學問點一變量間的相關關系相關關系的定義變量間的確存在關系，但又不具備函數(shù)關系所要求的確定性，它們的關系是帶有隨機性的，那么這兩個變量之間的關系叫做相關關系，兩個變量之間的關系分為函數(shù)關系和相關關系．學問點二散點圖及正、負相關的概念1．散點圖將樣本中n個數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標系中，以表示具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖．點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))叫樣本點中心．2．正相關與負相關(1)正相關：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域．(2)負相關：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域．學問點三回來直線回來直線的方程(1)回來直線：假如散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線旁邊，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回來直線．回來直線過樣本點中心．(2)線性回來方程：回來直線對應的方程叫做回來直線的方程，簡稱回來方程．(3)最小二乘法：求線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))時，使得樣本數(shù)據(jù)的點到回來直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)，))其中，eq\o(b,\s\up6(^))是線性回來方程的斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是線性回來方程在y軸上的截距．1．人的身高與年齡之間的關系是相關關系．(×)2．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關系是相關關系．(√)3．回來直線過樣本點中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．(√)4．依據(jù)回來直線方程得到的結(jié)論肯定是牢靠的．(×)題型一變量間相關關系的推斷例1(1)下列關系中，屬于相關關系的是________．(填序號)①正方形的邊長與面積之間的關系；②農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關系；③出租車費與行駛的里程；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系．答案②④解析在①中，正方形的邊長與面積之間的關系是函數(shù)關系；在②中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴格的函數(shù)關系，但具有相關關系；③為確定的函數(shù)關系；在④中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關關系．(2)某個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示.年齡x(歲)123456身高y(cm)788798108115120①畫出散點圖；②推斷y與x是否具有線性相關關系．解①散點圖如圖所示．②由圖知，全部數(shù)據(jù)點接近一條直線排列，因此，認為y與x具有線性相關關系．反思感悟兩個變量是否相關的兩種推斷方法(1)依據(jù)實際閱歷：借助積累的閱歷進行分析推斷．(2)利用散點圖：通過散點圖，視察它們的分布是否存在肯定的規(guī)律，直觀地進行推斷．

跟蹤訓練1某中學的愛好小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的六組數(shù)據(jù)繪制成散點圖如圖所示，則下列說法錯誤的是()A．沸點與海拔高度呈正相關B．沸點與氣壓呈正相關C．沸點與海拔高度呈負相關D．沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強答案A解析由左圖知氣壓隨海拔高度的增加而減小，由右圖知沸點隨氣壓的上升而上升，所以沸點與氣壓呈正相關，沸點與海拔高度呈負相關，由于兩個散點圖中的點都成線性分布，所以沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強，故B，C，D正確，A錯誤．題型二求回來方程例2某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點圖；(2)求回來方程．解(1)散點圖如圖所示．(2)列出下表，并用科學計算器進行有關計算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560xeq\o\al(2,i)416253664eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380于是可得，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回來方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.反思感悟求回來方程的一般步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設為(xi，yi)(i＝1,2，…，n)．(2)作出散點圖，確定x，y具有線性相關關系．(3)把數(shù)據(jù)制成表格．(4)計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(5)代入公式計算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))，公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))(6)寫出回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).跟蹤訓練2已知變量x，y有如下對應數(shù)據(jù)：x1234y1345(1)作出散點圖；(2)用最小二乘法求關于x，y的回來方程．解(1)散點圖如圖所示．(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋4＋5,4)＝eq\f(13,4)，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1＋6＋12＋20＝39.eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＝30，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(39－4×\f(5,2)×\f(13,4),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(13,10)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(13,4)－eq\f(13,10)×eq\f(5,2)＝0，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(13,10)x即為所求的回來方程．利用線性回來方程對總體進行估計典例由某種設備的運用年限xi(年)與所支出的修理費yi(萬元)的數(shù)據(jù)資料算得如下結(jié)果，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112，eq\i\su(i＝1,5,x)i＝20，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝25.(1)求所支出的修理費y對運用年限x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)①推斷變量x與y之間是正相關還是負相關；②當運用年限為8年時，試估計支出的修理費是多少？解(1)∵eq\i\su(i＝1,5,x)i＝20，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝25，∴eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)i＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,y)i＝5，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112－5×4×5,90－5×42)＝1.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝5－1.2×4＝0.2.∴線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2x＋0.2.(2)①由(1)知eq\o(b,\s\up6(^))＝1.2＞0，∴變量x與y之間是正相關．②由(1)知，當x＝8時，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2×8＋0.2＝9.8，即運用年限為8年時，支出的修理費約是9.8萬元．[素養(yǎng)評析](1)用回來方程進行總體估計要留意幾點，①首先要推斷兩個變量具有相關關系，②精確求出回來方程，③依據(jù)回來方程進行估計或預料，但估計值不是實際值，允許有肯定誤差．(2)收集數(shù)據(jù)，求回來方程，進行估計和預料，充分體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)之數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的形成過程.1．對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…，10)，得散點圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2,3，…，10)，得散點圖2，由這兩個散點圖可以斷定()A．x與y正相關，u與v正相關B．x與y正相關，u與v負相關C．x與y負相關，u與v正相關D．x與y負相關，u與v負相關答案C解析由圖1可知，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，各點整體呈遞減趨勢，故x與y負相關；由圖2可知，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，各點整體呈遞增趨勢，故u與v正相關．2．工人工資y(元)與勞動生產(chǎn)率x(千元)的相關關系的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝50＋80x，下列推斷正確的是()A．勞動生產(chǎn)率為1000元時，工人工資為130元B．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高80元C．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高130元D．當月工資為250元時，勞動生產(chǎn)率為2000元答案B解析因為回來直線的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高80元．3．設某高校的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，依據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關關系B．回來直線過樣本點中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若該高校某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該高校某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg答案D解析當x＝170時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－85.71＝58.79，體重的估計值為58.79kg.4．某地區(qū)近10年居民的年收入x與年支出y之間的關系大致符合eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1(單位：億元)，預料今年該地區(qū)居民收入為15億元，則今年支出估計是________億元．答案12.1解析將x＝15代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1，得eq\o(y,\s\up6(^))＝12.1.5．已知回來直線的斜率的估計值是1.23，且過定點(4,5)，則線性回來方程是_____________．答案eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08解析回來直線的斜率的估計值為1.23，即eq\o(b,\s\up6(^))＝1.23，又回來直線過定點(4,5)，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝5－1.23×4＝0.08，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.1．推斷變量之間有無相關關系，一種簡便可行的方法就是繪制散點圖．依據(jù)散點圖，可以很簡單看出兩個變量是否具有相關關系，是不是線性相關，是正相關還是負相關．2．求線性回來方程時應留意的問題(1)知道x與y成線性相關關系，無需進行相關性檢驗，否則應首先進行相關性檢驗，假如兩個變量之間本身不具有相關關系，或者說，它們之間的相關關系不顯著，即使求出線性回來方程也是毫無意義的，而且用其估計和預料的量也是不行信的．(2)用公式計算eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))的值時，要先計算eq\o(b,\s\up6(^))，然后才能算出eq\o(a,\s\up6(^)).3．利用回來方程，我們可以進行估計和預料．若回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則在x＝x0處的估計值為eq\o(y,\s\up6(^))0＝eq\o(b,\s\up6(^))x0＋eq\o(a,\s\up6(^)).一、選擇題1.已知變量x，y之間具有線性相關關系，其散點圖如圖所示，則其回來方程可能為()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋2B.eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.5x＋2C.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x－2D.eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.5x－2答案B2．推斷下圖中的兩個變量，具有較強相關關系的是()答案B解析A，C是函數(shù)關系，D中的點的分布毫無規(guī)律，橫軸、縱軸表示的兩個變量之間相關性不強．3．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123ym35.57已求得關于y與x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2.2x＋0.7，則m的值為()A．1 B．0.85C．0.7 D．0.5答案D解析eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5，eq\x\to(y)＝eq\f(m＋3＋5.5＋7,4)，將其代入eq\o(y,\s\up6(^))＝2.2x＋0.7，可得m＝0.5，故選D.4．設有一條回來直線的方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2－1.5x，則變量x增加1個單位時()A．y平均增加1.5個單位B．y平均增加2個單位C．y平均削減1.5個單位D．y平均削減2個單位答案C解析∵回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))1＝2－1.5x，①∴eq\o(y,\s\up6(^))2＝2－1.5(x＋1)，②∴②－①得eq\o(y,\s\up6(^))2－eq\o(y,\s\up6(^))1＝－1.5，即y平均削減1.5個單位，故選C.5．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357若y與x線性相關，則y與x的回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過()A．點(2,2) B．點(1.5,0)C．點(1,2) D．點(1.5,4)答案D解析∵eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋5＋7,4)＝4，∴回來直線必過點(1.5,4)．故選D.6．已知x，y的取值如表所示：x234y645假如y與x線性相關，且線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\f(13,2)，則eq\o(b,\s\up6(^))等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,10) D.eq\f(1,10)答案A解析∵eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4,3)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(6＋4＋5,3)＝5，∴回來直線過點(3,5)，∴5＝3eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\f(13,2)，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝－eq\f(1,2)，故選A.7．某產(chǎn)品的廣告費用x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x4235銷售額y49263954依據(jù)上表可得回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元答案B解析eq\x\to(x)＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝3.5，eq\x\to(y)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42.因為回來直線過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，所以42＝9.4×3.5＋eq\o(a,\s\up6(^)).解得eq\o(a,\s\up6(^))＝9.1.故回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝9.4x＋9.1.所以當x＝6時，eq\o(y,\s\up6(^))＝6×9.4＋9.1＝65.5.8．依據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則()x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A.eq\o(a,\s\up6(^))＞0，eq\o(b,\s\up6(^))＞0 B.eq\o(a,\s\up6(^))＞0，eq\o(b,\s\up6(^))＜0C.eq\o(a,\s\up6(^))＜0，eq\o(b,\s\up6(^))＞0 D.eq\o(a,\s\up6(^))＜0，eq\o(b,\s\up6(^))＜0答案B解析畫出散點圖，知eq\o(a,\s\up6(^))＞0，eq\o(b,\s\up6(^))＜0.

二、填空題9．在一次試驗中測得(x，y)的四組數(shù)據(jù)如下：x16171819y50344131依據(jù)上表可得線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據(jù)此模型預報當x＝20時，y的值為________．答案26.5解析eq\x\to(x)＝eq\f(16＋17＋18＋19,4)＝17.5，eq\x\to(y)＝eq\f(50＋34＋41＋31,4)＝39，∴回來直線過點(17.5,39)，∴39＝－5×17.5＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝126.5，∴當x＝20時，y＝－5×20＋126.5＝26.5.10．某工廠對某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：產(chǎn)量x(千件)2356成本y(萬元)78912由表中數(shù)據(jù)得到的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(b,\s\up6(^))＝1.1，預料當產(chǎn)量為9千件時，成本約為________萬元．答案14.5解析由表中數(shù)據(jù)得eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝9，代入線性回來方程得eq\o(a,\s\up6(^))＝4.6，∴當x＝9時，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.1×9＋4.6＝14.5.11．期中考試后，某校高三(9)班對全班65名學生的成果進行分析，得到數(shù)學成果y對總成果x的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6＋0.4x.由此可以估計：若兩個同學的總成果相差50分，則他們的數(shù)學成果大約相差____________分．答案20解析令兩人的總成果分別為x1，x2.則對應的數(shù)學成果估計為eq\o(y,\s\up6(^))1＝6＋0.4x1，eq\o(y,\s\up6(^))2＝6＋0.4x2，所以|eq\o(y,\s\up6(^))1－eq\o(y,\s\up6(^))2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.12．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：h)與當天投籃命中率y之間的關系：時間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為________；用線性回來分析的方法，預料小李該月6號打6h籃球的投籃命中率為________．答案0.50.53解析eq\x\to(y)＝eq\f(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4,5)＝eq\f(2.5,5)＝0.5，eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.由公式，得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.01，從而eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝0.5－0.01×3＝0.47.所以回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.47＋0.01x.所以當x＝6時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.47＋0.01×6＝0.53.三、解答題13．2024年元旦前夕，某市統(tǒng)計局統(tǒng)計了該市2024年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如下表：年收入x(萬元)24466年飲食支出y(萬元)0.91.41.62.02.1年收入x(萬元)677810年飲食支出y(萬元)1.91.82.12.22.3(1)假如已知y與x是線性相關的，求線性回來方程；(2)若某家庭年收入為9萬元，預料其年飲食支出．(參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝117.7，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝406)解依題意可計算得，eq\x\to(x)＝6，eq\x\to(y)＝1.83，eq\x\to(x)2＝36，eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝10.98，又∵eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝117.7，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝406，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)≈0.17，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝0.81，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋0.81.∴所求的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋0.81.(2)當x＝9時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17×9＋0.81＝2.34(萬元)可估計大多數(shù)年收入9萬元的家庭每年飲食支出約為2.34萬元．14．某公司過去五個月的廣告費支出x(單元：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對應數(shù)據(jù)：x24568y▲40605070工作人員不慎將表格中y的第一個數(shù)據(jù)丟失．已知y對x呈線性相關關系，且回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，有下列說法：①銷售額y與廣告費支出x正相關；②丟失的數(shù)據(jù)(表中▲處)為30；③該公司廣告費支出每增加1萬元，銷售額肯定增加6.5萬元；④若該公司下月廣告費支出為8萬元，則銷售額約為75萬元．其中，正確的說法有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案B解析由回來方程eq\o(y,\s\up6(^