常系數(shù)線性常微分方程

常系數(shù)線性常微分方程第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日常系數(shù)齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化第六章第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.當(dāng)時(shí),特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日3.當(dāng)時(shí),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日若特征方程含k重復(fù)根若特征方程含k重實(shí)根r,則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)特征方程:第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.求解初值問題解:特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例4.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日例5.解:特征方程:即其根為方程通解:第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日例6.解:特征方程:特征根為則方程通解:第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當(dāng)時(shí),通解為(2)當(dāng)時(shí),通解為(3)當(dāng)時(shí),通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)求方程的通解.答案:通解為通解為通解為第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日思考題為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日常系數(shù)非齊次線性微分方程一、二、第六章第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日一、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m次多項(xiàng)式.Q(x)為

m

次待定系數(shù)多項(xiàng)式第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日(2)若是特征方程的單根,為m次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對(duì)方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日例1.的一個(gè)特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日例3.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日于是所求解為解得第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、第二步求出如下兩個(gè)方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日第一步利用歐拉公式將f(x)變形第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的k重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三步求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為m次多項(xiàng)式.第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日第四步分析因均為m次實(shí)多項(xiàng)式.本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日小結(jié)對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日例4.

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示:1.(填空)

設(shè)第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.

求微分方程的通解(其中為實(shí)數(shù)).解:特征方程特征根:對(duì)應(yīng)齊次方程通解:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對(duì)應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日振動(dòng)問題當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí),物體處于平衡狀態(tài),例1.質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),解:阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時(shí)刻t物位移為x(t).(1)自由振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動(dòng)方程:阻力(2)強(qiáng)迫振動(dòng)情況.若物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受鉛直外力則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程:第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日例2.解:由例1知,位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),初始求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律立坐標(biāo)系如圖,設(shè)t=0時(shí)物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建因此定解問題為自由振動(dòng)方程,第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無阻尼自由振動(dòng)情況(n=0)第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日解的特征:簡(jiǎn)諧振動(dòng)A:振幅,:初相,周期:固有頻率(僅由系統(tǒng)特性確定)第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:2)有阻尼自由振動(dòng)情況大阻尼:n>k臨界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日(n<k)小阻尼自由振動(dòng)解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)周期:振幅:衰減很快,隨時(shí)間t的增大物體趨于平衡位置.第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日(n>k)大阻尼解的特征:1)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對(duì)任何初始條件即隨時(shí)間t的增大物體總趨于平衡位置.第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日(n=k)臨界阻尼解的特征:任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t軸交于一點(diǎn);即隨時(shí)間t的增大物體總趨于平衡位置.2)無振蕩現(xiàn)象;第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日例3.求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程當(dāng)p

≠k時(shí),齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為例1中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④第四十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日當(dāng)干擾力的角頻率p

≈固有頻率k時(shí),自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)p

=k時(shí),非齊次特解形式:代入④可得:方程④的解為第四十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p與k盡量靠近,或使隨著t的增大,強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p遠(yuǎn)離固有頻率k;p

=k.自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來說,共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來說,共振可能起有利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理.第四十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日求電容器兩兩極板間電壓例4.

聯(lián)組成的電路,其中R,L,C為常數(shù)