第4章-主成分分析

第四章主成分分析

【教學(xué)目的】通過本章的教學(xué)應(yīng)使學(xué)生了解主成分分析的基本原理及其作用，掌握主成分分析的方法，能夠應(yīng)用這一方法分析數(shù)據(jù)，解決實際問題?！窘虒W(xué)重點】主成分分析的作用及其應(yīng)用，貢獻(xiàn)率，累計貢獻(xiàn)率的意義及其在實際應(yīng)用中的作用。主成分的定義

在實證研究中，為了全面、系統(tǒng)地分析問題，都盡可能完整地搜集信息，對每個觀測往往測量很多指標(biāo)，這些指標(biāo)在不同程度上反映了所研究問題的某些信息，并且指標(biāo)之間避免不了有一定的相關(guān)性，因而所得的統(tǒng)計資料反映的信息在一定程度上有重疊。在研究問題時，變量太多會增大計算量和增加分析問題的復(fù)雜性，為了使問題簡化，人們自然希望在進(jìn)行定量分析的過程中涉及的變量較少，而得到的信息量又較多，主成分分析是解決這一問題的理想工具。主成分分析是考察多個定量（數(shù)值）變量間相關(guān)性的一種多元統(tǒng)計方法。它是研究如何通過少數(shù)幾個主成分來解釋多變量的方差—協(xié)方差結(jié)構(gòu)，其功能在于簡化原有的變量群。具體地說，就是設(shè)法將原來多個指標(biāo)重新組合成一組新的相互無關(guān)的綜合指標(biāo)，來代替原來指標(biāo)，同時根據(jù)實際需要從中可取幾個較少的綜合指標(biāo)盡可能多的反映原來指標(biāo)的信息。這些綜合指標(biāo)是原來指標(biāo)的線性組合，我們稱之為主成分。主成分分析常被用來尋找判斷某種事物或現(xiàn)象的綜合指標(biāo)，并給綜合指標(biāo)所蘊藏的信息以恰當(dāng)解釋，以便更深刻的揭示事物內(nèi)在的規(guī)律。通過這種方法可以降低數(shù)據(jù)維數(shù)，消除原始變量之間的相關(guān)性以便進(jìn)一步利用其他方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。主成分分析的基本思想

各指標(biāo)間既然有一定的相關(guān)性，就必然存在著起支配作用的共同因素，根據(jù)這一點，通過對原始變量相關(guān)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系的研究，找出影響某一過程的幾個綜合指標(biāo)，使綜合指標(biāo)為原來變量的線性組合，并使其盡可能多的反映原來指標(biāo)的信息，綜合指標(biāo)反映的信息量用其方差來表達(dá)，即綜合指標(biāo)的方差越大，表示其包含的信息越多。在所有的線性組合中方差最大的稱為第一主成分，如果第一主成分不足以代表原來P個指標(biāo)的信息，再選取第二個線性組合作為第二主成分，第一主成分已有的信息就不需要再出現(xiàn)在第二主成分中，依次可造出P個主成分。這些主成分之間不僅不相關(guān)，而且它們的方差依次遞減。在解決實際問題時，一般不是取P個主成分，而是根據(jù)累計貢獻(xiàn)率的大小取前幾個最大主成分，既保留了原指標(biāo)大部分的信息，又達(dá)到降維的目的。主成分分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)原始變量為x1,x2，…，xｐ，考慮它們的線性變換yi

=a1ix1+a2ix2+…+aｐｉxｐ（ｉ=1，2，…，ｐ）其中y1，y2，…，yｐ滿足以下條件：（1）coｖ（yｉ，yｊ）=0，（ｉ≠ｊ）；（2）D(y1)≥D（y2）≥…≥D（yｐ），即y1是x1，x2，…，xｐ的一切線性組合中方差最大者，y2是方差次大者，依此類推，稱y1為x1，x2，…xｐ的第一主成分，y2為第二主成分，…，yｐ為第p個主成分。主成分的表達(dá)式及其相互關(guān)系（用Z表示主成分）Z1=b11x1+b12x2+…+b1mxmZ2=b21x1+b22x2+…+b2mxm………………Zm=bm1x1+bm2x2+…+bmmxm式中Xi為標(biāo)準(zhǔn)化變量,此表達(dá)式由標(biāo)準(zhǔn)化變量的協(xié)方差矩陣(即相關(guān)矩陣)求特征值及其對應(yīng)的特征向量,SAS中直接給出的因子負(fù)荷量與此表達(dá)式相對應(yīng)。Z1=c11x1+c12x2+…+c1mxmZ2=c21x1+c22x2+…+c2mxm……………..Zm=cm1x1+cm2x2+…+cmmxm式中Xi為標(biāo)準(zhǔn)化變量,此表達(dá)式的系數(shù)在上式系數(shù)的基礎(chǔ)上,乘以相應(yīng)主成分的特征值之平方根。在結(jié)合具體問題解釋各主成分時，此表達(dá)式優(yōu)于上式，因為因子載荷量就是主成分與變量間的相關(guān)系數(shù)，此時，因子載荷量的大小和它前面的正負(fù)號直接反映了主成分與相應(yīng)變量之間關(guān)系的密切程度和方向。SPSS中給出的因子載荷量與此表達(dá)式相對應(yīng)。主成分的推導(dǎo)

主成分其實就是原來指標(biāo)的一些特殊的線性組合，這些線性組合的系數(shù)就是原指標(biāo)協(xié)方差矩陣特征值所對應(yīng)的特征向量。設(shè)相關(guān)矩陣為R以及與之同階的單位矩陣為I，原始變量的個數(shù)為P，特征值為λ，求各特征值的過程就是求解特征方程：|R-λI|=0，此方程的左邊展開后實際上是一個λ的P階多項式，其解由大到小依次排列為λ1≥λ2≥…≥λp>0。各特征值對應(yīng)的特征向量即為線性組合的系數(shù)。在幾何上這些線性組合正是把原指標(biāo)構(gòu)成的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的新坐標(biāo)系，新坐標(biāo)軸代表了具有最大變差的方向，同時提供了協(xié)方差矩陣的簡潔表示，主成分分析從幾何上看是尋找p維空間中橢球體的主軸問題。主成分的性質(zhì)

1.主成分的協(xié)方差矩陣為對角陣

2.全部主成分反映原變量的總信息，信息量的多少，用變量的方差來度量，變量標(biāo)準(zhǔn)化后，每一變量的方差均為1，故方差之和為P。3.主成分與變量間的相關(guān)系數(shù)就是相關(guān)矩陣特征值對應(yīng)的特征向量與該特征值的平方根的乘積，即表達(dá)式（3）中的cij。主成分分析的步驟

1.將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化；2.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化變量求出協(xié)方差矩陣（標(biāo)準(zhǔn)化后協(xié)方差矩陣與相關(guān)矩陣完全一樣）；3.求出相關(guān)矩陣的特征值及其對應(yīng)的特征向量；4.確定主成分，結(jié)合專業(yè)知識給各主成分所蘊藏的信息以恰當(dāng)?shù)慕忉?，并利用它們來判斷樣品的特性。主成分的?yīng)用

求出了主成分，并結(jié)合專業(yè)知識給各主成分所蘊涵的信息以恰當(dāng)?shù)慕忉?，還可利用其判斷樣品的特性，并與聚類分析及判別分析結(jié)合運用。主成分分析的微機(jī)實現(xiàn)

1主成分分析在SPSS中的實現(xiàn)在SPSS主菜單中選擇Analyze→DataReduction→Factor，可借用因子分析過程實現(xiàn)主成分分析。2主成分分析在SAS中的實現(xiàn)在SAS主菜單中選擇Solutions→ASSIST→DataAnalysis→Multivariate→PrincipalComponents，可實現(xiàn)主成分分析。SPSS中主成分分析部分結(jié)果解釋

主成分對原變量的貢獻(xiàn)率即原變量與各主成分的全相關(guān)系數(shù)的平方和，表達(dá)了某個變量被提取了多少信息。主成分Zk的方差貢獻(xiàn)率即λk在各特征值總和中所占的比重，此值越大，表明主成分Zk綜合原指標(biāo)信息的能力越強。主成分Z1，Z2,…,Zm的累計貢獻(xiàn)率即前m個特征值在特征值總和中所占的比重。累計貢獻(xiàn)率表示m個主成分提取了原指標(biāo)的多少信息。在應(yīng)用時,一般取累計貢獻(xiàn)率為70%-85%或以上所對應(yīng)的