有效的、開放的教學-鄭毓信

有效的教學，開放的教學鄭毓信2007，11，安徽簡介南京大學哲學系教授、博士生導師；西南（師范）大學兼職教授、兼職博士生導師。1992年起享受政府特殊津貼。主要研究領域：數(shù)學哲學；科學哲學；數(shù)學教育與科學教育。已出版著作22部，發(fā)表論文260多篇。2000年以來的自覺定位政府行為的必要補充：相對獨立的學術研究，包括必要的批評。努力的方向：說真話，說實話。一些相關的文章改革熱潮中的冷思考，《中學數(shù)學教學參考》，2002.No.9簡論數(shù)學課程改革的活動化、個性化、生活化取向，《教育研究》，2003.No.6數(shù)學課程改革：何去何從？《中學數(shù)學教學參考》，2005.No.5數(shù)學課程改革：路在何方？《中學數(shù)學教學參考》，2006.No.1對于教學方法改革中的形式主義的反對試析新一輪課程改革中小學數(shù)學課堂教學，《課程、教材與教法》，2003.No.4數(shù)學教學方法改革之實踐與理論思考，《中學教研》，2004.No.7關于課程改革的若干深層次思考，《中學數(shù)學教學參考》，2006.No.8一個新的熱點：“有效的課堂教學”第六屆全國新世紀小學數(shù)學課程與教學系列研討會（教育部北京師范大學基礎教育課程研究中心、國家義務教育數(shù)學課程標準研制組、新世紀小學數(shù)學教材編委會聯(lián)合主辦）：新課程背景下小學數(shù)學課堂教學有效性的研究基本立場應當堅持獨立思考，不要盲目追隨潮流。不要迷信專家。實例之一為了給學生一杯水……教師不需要一桶水，有一杯水也夠了，關鍵看你能不能把水倒給學生；為了給學生一杯水……甚至教師沒有水也可以，大家一起去打井，就會有水了。實例之二由“校本教研”到“校本課程”、乃至“校本課程規(guī)劃”。 我們不僅應當根據(jù)各校的情況去編寫校本課程，而且也應對學校中的各種課程，包括國家課程、地方課程和校本課程做出自己的整體設計和安排。結論：不要迷信專家在面對任一新的時髦口號或潮流時，我們都應冷靜地思考：究竟什么是這一新的主張或口號的主要內(nèi)涵？這一主張或口號究竟又能為我們提供什么新的啟示和教益？一個值得思考的問題由“雙基”到“四基”?；舅枷耄换净顒咏?jīng)驗?；氐街黝}：三個應當思考的問題“有效的課堂教學”這一口號是否有其一定的合理性？什么是“有效的課堂教學”的主要內(nèi)涵？在相關的實踐中我們又應如何防止可能的片面性？一、“有效的課堂教學”的合理性[例]“新西蘭的陽光”（王宏甲，《新教育風暴》，北京出版社，2004））：“這是五年級的一堂課，老師出了這樣一道題：每個籃子里有24塊蛋糕，6個籃子里共有多少塊蛋糕？新西蘭五年級的學生用各種方式踴躍回答，很有成功感?！北匾姆此既欢@不是我們二年級教的嗎？他們五年級的學生能答出來這也值得高興？像這樣的教學能算是有效的嗎？必要的對照：中國數(shù)學教學傳統(tǒng)“課堂教學相對于具體目標的高效率性?！保?）中國的數(shù)學教學每一堂課都有著十分明確的目標；（2）中國的數(shù)學教學并就是圍繞所說的目標很好地組織起來的。例如，中國的數(shù)學課程通常包括“復習”、“引入”、“講授”、“練習”、“總結”等五個環(huán)節(jié)，而其中的所有細節(jié)，包括時間的分配與板書的設計等，則都是圍繞所說的目標精心安排的結果。插入：一個新的熱點——數(shù)學教育的國際比較研究一個值得警惕的現(xiàn)象：“較危險的是一些‘有點相關知識’，但人們卻摸不著底的人物?！绕涞絿饽硞€小地方轉一圈后，回到中國就更能把國外如何如何朗朗上口，向還沒有機會到國外去的廣大群眾宣揚他們的“專家級”見解。”（新加坡《聯(lián)合早報》）比較研究的基本立場：藍本或鏡子？比較研究所提供的并非是某種現(xiàn)成的、可資直接仿照的藍本，而主要是一面鏡子，由此我們即可更為清楚地去認識自己的傳統(tǒng)，包括作出必要的反思與批判。中、美、日的比較對于一年級和五年級的調(diào)查表明：美國教室中所真正用于教學的時間分別為70%和65%；中國是85%與90%，日本則是為79%與82%。（引自《學習的差距》）

反思：情況是否正在發(fā)生變化？一個形象的描述：“引入說說笑笑，過程動動跳跳，評價你好我好?！备鼮樯羁痰姆治觯航虒W方法改革中形式主義的盛行。現(xiàn)實意義：對于形式主義的反對從公開課的設計談起（1）情境設計；（2）學生主動探究；（3）合作學習；（4）動手實踐。

（1）什么是一個好的情境設計？

我們究竟應當如何去認識情境設計的意義？我們又應如何去處理“日常數(shù)學”與“學校數(shù)學”的關系？[例]這個學生缺的究竟是什么？

（樓文勝，“問題到底出在哪兒？”

任課教師要求學生求解這樣一個問題：“52型拖拉機，一天耕地150畝，問12天耕地多少畝？”一位學生是這樣解題的：52×150×12=……接下來的對話“告訴我，你為什么這么列式？”“老師，我錯了。”“好的，告訴我，你認為正確的該怎么列式？”“除?！薄霸趺闯俊薄按蟮某孕〉?。”“為什么是除呢？”“老師，我又錯了。”“你說，對的該是怎樣呢？”“應該把它們加起來。”啟而不發(fā)？“我們換一個題目，比如你每天吃兩個大餅，5天吃幾個大餅？”“老師，我早上不吃大餅的?！薄澳悄愠允裁矗俊薄拔医?jīng)常吃粽子?！薄昂茫悄忝刻斐詢蓚€粽子，5天吃幾個粽子？”“老師，我一天根本吃不了兩個粽子?！薄澳悄隳艹詭讉€粽子？”“吃半個就可以了?！薄昂?，那你每天吃半個（小數(shù)乘法沒學）粽子，5天吃幾個粽子？”“兩個半?！薄霸趺此愠鰜淼?？”“兩天一個，5天兩個半?！薄匾乃伎迹哼@里是否也缺了點什么？“數(shù)學，對學生來說，就是利用自己的生活經(jīng)驗對數(shù)學現(xiàn)象的一種‘解讀’?！薄八麄兯枰摹菑模▽W校教學）活動中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結合。”（斯根普）（2）學生主動探究主動探究能否被看成數(shù)學學習的主要手段？教師又應如何去發(fā)揮必要的指導作用？教師發(fā)揮作用的主要手段啟發(fā)性的問題；適當?shù)陌咐欢鄻踊c優(yōu)化。插入：由“經(jīng)驗型”轉向“理論指導下的自覺實踐”適當舉例對于防止錯誤觀念的重要性；中國數(shù)學教學傳統(tǒng)的又一重要內(nèi)容：變式教學理論（概念變式） 特別是（1）“標準變式”與“非標準變式”；（2）“概念變式”與“非概念變式”。（3）應當如何去組織合作學習？

防止對于形式的片面追求：合作學習≠小組學習；教師在教學中應當靈活地應用小組學習、個別學習、全班講授、全班交流等多種學習形式表面上熱熱鬧鬧，實質(zhì)上卻沒有收獲。[例]“工廠要建造污水處理系統(tǒng)嗎”？教學中教師設計了“學生辯論”這樣一個環(huán)節(jié)：通過明確正、反方的觀點，教師安排學生通過抽簽進行分組辯論，包括陳述觀點與依據(jù)以及對對方的觀點進行反駁……教師的總結：“我感到……對于辯論這種教學形式，學生比較感興趣?！薄斑@樣的學習過程試圖培養(yǎng)學生獨立思考、合作與交流的能力，培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生從多角度、多方面考慮問題的習慣與能力?！币粋€值得思考的問題數(shù)學課上的辯論與一般的辯論（例如，大學生辯論賽）是否存在重要的區(qū)別？在數(shù)學中我們往往首先尋找相應的理由，并由此而決定自己所應選擇的立場，從而這主要是一種理性的選擇（也正因為此，數(shù)學中就很少、甚至從不通過辯論來解決觀點的分歧）；與此相對照，在各種辯論賽中人們卻往往是首先決定立場，然后再去尋找相關的理由。一個應當注意的問題：關注差生什么是好的“合作學習”所應滿足的基本要求？（1）互動與規(guī)范；（2）分工與共享；（3）認知與身份。（4）學生動手實踐什么樣的動手實踐才是真正有效的？高度的自覺性：什么？為什么？如何？（角的認識）活動的必要內(nèi)化。

應當如何去上好一堂公開課我們不能以“新”“舊”作為區(qū)分教學方法“好”“壞”的主要標準，數(shù)學教學方法的變革更不應被看成教學模式的簡單取代。我們并應明確肯定教學工作的創(chuàng)造性：教無定法，而應根據(jù)特定的教學內(nèi)容、對象、環(huán)境（以及教師本人的個性特征）創(chuàng)造性地去應用各種教學方法?；氐街黝}應當明確肯定“有效的數(shù)學教學”這一論題的合理性，特別是，這不僅直接關系到了對于中國數(shù)學教學傳統(tǒng)的很好繼承，更有著重要的現(xiàn)實意義。“無論教學如何改革，‘有效的課堂’都應是我們永恒的追求。進一步的思考在充分肯定“有效的教學”這一提法的合理性的同時，我們又應進一步思考：究竟應當如何去理解“數(shù)學教學的有效性”；我們又應如何很好地去避免各種可能的片面性或極端化?二、“有效的數(shù)學教學”的主要內(nèi)涵一個基本認識：教學的有效性總是相對于一定的教學（育）目標而言的。就當前而言，我們不僅應當十分重視具體數(shù)學知識與技能的學習，而且也應更加關注如何能夠幫助學生學會數(shù)學地思維，包括由思維方法的學習向數(shù)學素養(yǎng)的過渡，也即充分發(fā)揮數(shù)學的文化價值。（三維的數(shù)學教育目標）對于中國數(shù)學教育的特殊意義這正是傳統(tǒng)的中國數(shù)學教學的一個明顯不足之處，即是主要集中于具體的數(shù)學知識或技能的學習這樣的短期目標，而忽視了數(shù)學教育的長期目標，包括思維方法的學習，以及情感、態(tài)度和價值觀的培養(yǎng)?，F(xiàn)實中所存在的問題認識上的泛化；做法上的簡單化（取代與簡單組合）。[例]買花與培養(yǎng)對母親的感情“講到促進學生的情感、態(tài)度和價值觀的發(fā)展，很多老師認為是很空泛的。有這樣一個例子，講的是去花店買花的問題：我要給媽媽買一束花，該怎么買？從表面上看，這里是教學加減運算的問題，這是一種知識和技能。但這里面還隱含著另一層含義：給媽媽買一束花，送她作生日禮物，通過學生的討論交流，引發(fā)了對母親的一種敬愛的感情，這就是課程標準所倡導的情感、態(tài)度和價值觀?！盵例]這里是否還缺的點什么？“以其深厚的教學功底、靈活精湛的教學方法、較強的教學組織能力，創(chuàng)設了充滿情趣的課堂氛圍，使學生們在愉快中得到發(fā)展，在發(fā)展中獲得愉快，顯示出他獨特的教學風格?！睌?shù)學教育應當防止“去數(shù)學化”：“數(shù)學教育，自然是以‘數(shù)學’內(nèi)容為核心。數(shù)學課堂教學的優(yōu)劣，自然應該以學生是否能學好‘數(shù)學’為依據(jù)”；“數(shù)學教育啊，可否更多地關注‘數(shù)學’的特性！”關鍵：究竟什么是數(shù)學課所應具有的“數(shù)學味”？什么是數(shù)學思維？我們又應如何幫助學生去學會數(shù)學思維？什么是數(shù)學的文化價值？我們又應如何去發(fā)揮數(shù)學的文化價值？1.幫助學生初步學會數(shù)學地思維兩個相關的思想障礙：（1）由于各種“先天”的原因，大多數(shù)小學數(shù)學教師并不能說具有很高的數(shù)學素養(yǎng)，從而，我們又如何能夠期望他們在自己的教學活動中很好體現(xiàn)數(shù)學的思維方法？（2）小學數(shù)學的內(nèi)容過于簡單，從而就不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學思維的特點。建議：加強數(shù)學方法論的學習中學的相關實踐防止簡單移植。如：函數(shù)與變量；極限思想與無限的認識。2.究竟什么是數(shù)學特有的文化價值？有益的比較：語文課反照下的數(shù)學教學。一個常見的提法：防止用“生活味”去取代數(shù)學課所應具有的“數(shù)學味”；類似的提法：“語文天生多情，天生浪漫，語文教學……有其自身的文化韻味?！钡?，究竟什么是數(shù)學課所應具有的“數(shù)學味”？什么又是語文課所特有的“語文味”？這兩者究竟有什么不同？[例]竇桂梅老師的《珍珠鳥》教師突出地強調(diào)了課文中如下一些關鍵詞：小腦袋，小紅嘴，小紅爪子……，并要求學生在朗讀時努力體現(xiàn)“嬌小玲瓏、十分怕人”這樣一種意境（“讀出味道來”）。這堂課成功的秘訣就在于通過朗讀創(chuàng)設了這樣一個氛圍：對于小珍珠鳥的關切、愛憐……孩子們甚至不知不覺地放低了聲音，整個教室靜稍稍的……。相關的思考語文教學主要是一種“情知教學”，即是以情感來帶動知識的學習……?！白寣W生對文本生‘情’，用‘情’來理解文本,……用‘情’來感染學生?！保ㄖ煨×?那么，對于數(shù)學教學我們是否也可作出同樣的結論呢？可能的結論如果說語文教學是一種以情感帶動知識學習的“情知教學”，那么，數(shù)學教學則就主要是“以知貽情”，其涉及的情感也截然不同。語文教學中所涉及的是人類最為基本的一些感情：人世間的愛恨和冷暖，生命的短暫和崇高，社會歷史進程中的神奇和悲歡……這就是說，即如種種文學作品，在此首先吸引你的不是相應的語言表達形式，而是文字中的精神滋養(yǎng)，包括對大自然的關愛、對弱小的同情、對未來的希冀、對黑暗的恐懼等。與此相對照，在數(shù)學課上我們所希望學生養(yǎng)成的則是一種新的精神：它并非與生俱來，而是一種后天養(yǎng)成的理性精神；一種新的認識方式：客觀的研究；一種新的追求：超越現(xiàn)象以認識隱藏于背后的本質(zhì)（是什么，為什么）；一種不同的美感：數(shù)學美（羅素形容為“冷而嚴肅的美”）……不同的教學標準好的語文課往往充滿激情，數(shù)學教學則更加提倡冷靜的理性分析；語文教學帶有明顯的個性化傾向；數(shù)學則追求普遍的知識，數(shù)學教學必定包括“去情景化、去個人化和去時間化”的過程。一些錯位現(xiàn)象：“圓”的教學如果一個數(shù)學教師在課堂上采取了以下的教學方法你有什么想法：教師首先在黑板上畫了一個大大的圓，然后問學生：看著這個圓你想到了什么？學生表現(xiàn)出了豐富的想象力：一輪紅日；十五的月亮；這是世界上最美的圖形：我愛死你了……思考：這究竟是一堂數(shù)學課、還是更像一堂語文課？又一“錯位”現(xiàn)象“山上有5只狼，獵人開槍打死2只，還剩下幾只？”一個學生回答道：“一只也沒有剩下，因為它們是一家子，獵人打死的是父母親，這樣三個小狼就一個也活不下去了?！?思考：這個學生顯然是將數(shù)學課誤當成了語文課。相反的實例“我們正在學習《太陽》一課，就在我進行總結的時候，一只小手高高地舉了起來。是銘——一個喜歡發(fā)言卻又詞不達意、經(jīng)常會制造點麻煩的孩子?！Y結巴巴地講：‘老師，太陽不……不是圓的……’同學們一聽，哈哈大笑起來，說：‘我們天天都看到太陽，太陽怎么可能不是圓的呢？’可是銘漲紅了臉，固執(zhí)地堅持：‘真的，太陽真的不是圓的。我從書上看來的?！睌?shù)學與情感數(shù)學學習同樣涉及到了人的本性，如人類固有的好奇心、上進心：一種希望揭示世界最深刻奧秘的強烈情感?！霸谌说男撵`深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，而兒童的精神世界里，這種需要特別強烈?！保ㄌK霍姆林斯基）一個最好的比喻：童心?！拔也恢朗廊嗽鯓涌次遥抑皇且粋€在海灘上玩耍的男孩，一會兒找到一顆特別光滑的卵石，一會兒找到一只異常美麗的貝彀，就這樣使自己娛樂消遺?！保ㄅｎD）必要的補充在數(shù)學課我們所希望學生養(yǎng)成的是一種新的理性精神……一種深層次的快樂：由智力滿足帶來的快樂，成功以后的快樂；一種新的情感：超越世俗的平和；一種新的性格：善于獨立思考，不怕失敗，勇于堅持……

（2）如何充分發(fā)揮數(shù)學的文化價值？

與外插、簡單組合等作法相對立，我們應當突出強調(diào)文化價值與知識內(nèi)容的相互滲透，真正做到“以知貽情”。關鍵之一：創(chuàng)造適當?shù)膯栴}情境如果說語文教學的一個有效手段就是通過朗讀創(chuàng)設出好的學習情境，即是要求學生帶著感情去讀，讀出感情來；那么，數(shù)學教學中調(diào)動學生好奇心、上進心的主要手段就是如何能夠提出恰當?shù)膯栴}：提出具有挑戰(zhàn)性、同時又適合于學生認知水平的問題，提出具有啟發(fā)性的問題，從而不斷激發(fā)學生的好奇心，促使其積極地學習，而且不僅能學到知識、也能學會思維，包括養(yǎng)成健康的情感、態(tài)度與價值觀。關鍵之二：教師自身的感染力量身體力行，耳濡目染?！拔娜缙淙恕保阂粋€沒有“數(shù)學味”的教師不可能真正上出具有“數(shù)學味”的數(shù)學課。關鍵：高度的自覺性“其實，即使是小學數(shù)學，它的每一個結論、每一條規(guī)律，幾乎都能找到令人贊嘆的理由，幾乎都能通過適當?shù)姆绞剑寣W生有所感悟。為什么有的老師會無動于衷，放棄可貴的教育機會呢？……有一天，看到媒體在評選感動中國的年度人物，我忽然醒悟：只有當教師自己被數(shù)學所感動時，他才能自覺地、不失時機地用數(shù)學的魅力去打動學生。“（曹培英）一個值得提倡的追求“教師與數(shù)學，二者理應相互交融、合二為一。一個優(yōu)秀的數(shù)學教師站在講臺上，他就是數(shù)學！他的身上應該自然散發(fā)著一種獨特的數(shù)學光華與氣息，一種源自于理性、智慧、思辨的內(nèi)在氣質(zhì)。”（張齊華）努力展示數(shù)學自身的魅力“是啊，當數(shù)學能夠深入到數(shù)學的內(nèi)部，展現(xiàn)它自身的魅力時，那些從外部添加的趣味性，什么小狗、小貓的故事，五顏六色的教具，就可以少用乃至不用了。這也就是數(shù)學教學的的一種返璞歸真吧！”（曹培英）教師的三個境界僅僅停留于知識的層面：教師匠；能夠體現(xiàn)數(shù)學的思維：智者；無形的文化熏陶：大師！幾點提醒

第一，我們不應期望通過聆聽某個專家的報告或閱讀某部專著（特別是，通過將其毫無遺漏地歸結為甲、乙、丙、丁……等幾條）就能很好把握“數(shù)學文化”的具體內(nèi)涵，我們也不能期望通過依樣畫葫蘆就能在課堂上很好體現(xiàn)“數(shù)學的文化價值”；毋寧說，與單純的理論學習相比，我們應當更加重視自己的切身體會與感悟，因為，無論所說的體會和感悟是何等的“單薄”、“膚淺”，恰恰因為這是你自己的體會，從而才有可能在課堂上得到很好體現(xiàn)，更何況只要處處用心，我們就一定可以通過各種渠道最終把握“數(shù)學文化”的真諦。第二，數(shù)學教師的社會責任。背景：東西方文化的比較（數(shù)學文化與儒家文化）

數(shù)學“是使靈魂從暫存過渡到真理和永存的捷徑”（柏拉圖）算術亦是六藝要事，……然可以兼明，不可以專業(yè)?！埃ā额伿霞視罚皻v史已經(jīng)證明，而且將繼續(xù)證明，一個沒有相當發(fā)達的數(shù)學的文化是注定要衰落的，一個不掌握數(shù)學作為一種文化的民族也是注定要衰落的?！保R民友）當前的憂慮“如果我們的科學家能多有一些不囿于實際利益的‘稚氣’，不妄求上帝降福，把和諧有序、有理性的世界本身作為自己的上帝而熱切地渴望理解它、認識它，那么，我們的科學研究特別是基礎理論方面的研究就會有空前的、突破性的進展?！保◤埵烙ⅲ┑谌?，我們不僅應當突出強調(diào)數(shù)學的“善”，也應清楚地看到數(shù)學的“惡”。數(shù)學思維的局限性：簡單性（simple-minded）,單一性（single-minded）,文本性（literal-minded）（J.Schwartz&G-C.Pota）三、正確處理教學有效性與教學開放性的辯證關系課程改革相關實踐的一個重要啟示：反對極端化。相關的論述：“當提倡某種做法、形式時，不要貶低另一種可行的做法、形式；……”（李瑞環(huán)）相關的思考什么是中國數(shù)學教育的基本哲學？當前的一個關鍵問題：正確處理教學的有效性與教學的開放性這兩者之間的辯證關系。什么是“開放的數(shù)學教學”？回顧：“開放題與開放式教學”，《中學數(shù)學教學參考》，2001.No.3。核心思想：教學思想的開放性，應為學生提供更大的創(chuàng)造空間。更為全面的理解教學目標的開放性；教學方法的開放性；理論思想的開放性；教學內(nèi)容的開放性；教學活動的開放性；教學思想的開放性；

……對于中國數(shù)學教育的特殊重要性

“由于中國歷來是一個中央集權的國家，因此在教育系統(tǒng)中也就很容易出現(xiàn)以下的‘一層卡一層’的現(xiàn)象：大綱（課程標準）‘卡’教材——教材的編寫必須‘以綱為本’；教材‘卡’教師——教師的教學必須‘緊扣教材’；教師‘卡’學生：學生必須牢固地掌握教師所授予的各項知識和技能。這樣，作為最終的結果，所有的有關人員，包括教師和學生，其創(chuàng)造性才能就都受到了嚴重壓制?！睆慕虒W的角度看由于中國教育的規(guī)范性質(zhì)；因此在中國的數(shù)學課堂上教師就始終占據(jù)主導的地位，特別是，盡管也強調(diào)了教學的啟發(fā)性以及學生的參與，但教師所希望的又總是課程能按照事先設計的方案順利地得以進行，特別是，學生能按教師的思路去進行思考，并最終牢固地掌握相應的數(shù)學知識和技巧，包括教師所希望學生掌握的數(shù)學思維方法……從而，總的來說，這就是“大框架下的小自由”，也即往往未能給學生的主動創(chuàng)造性留下足夠的“自由空間”；進而，如果教師缺乏自覺性的話，則更可能出現(xiàn)教學處于教師的絕對支配之下、而學生的主動性和創(chuàng)造性則受到嚴重壓制的局面。東西方教育的比較“東方特別強調(diào)教育的規(guī)范性質(zhì)，即是表現(xiàn)出了明顯的社會取向；西方則特別重視學習者的個性發(fā)展，從而表現(xiàn)出了明顯的個體取向?！苯Y論在突出強調(diào)“有效的數(shù)學教學”的同時，我們也應大力提倡“開放的數(shù)學教學”，或者說，即應在有效性與開放性之間保持適當?shù)钠胶?。教學思想的開放性（1）我們在教學中不應人為地去追求任何一種強制的統(tǒng)一或過分的規(guī)范，而應讓每個學生都有一定的自主性。[例]小明上學時應走哪條路?問題：小明上學時究竟是走中間的直路較近，還是分別繞道位于直路兩側的郵局和商店較近？教學實錄：盡管從一開始被提問的學生就能立即對上述問題正確作答，大多數(shù)學生并能依據(jù)“兩點間直線最短”對此作出必要的論證，任課教師卻仍然堅持要求學生用實物（紙條或小棒）對上述結論進行檢驗，包括重新提出“三角形任意兩邊的和大于第三邊”這一猜想。在課后的點評中，有的教師還提出：在此重要的并非上述的具體結論，而是要讓學生體會發(fā)現(xiàn)的過程。

一般性結論我們不僅應當允許學生在學習過程中表現(xiàn)出一定的“路徑差”，而且應給各種不