2023 年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 線段最值問題綜合應(yīng)用 填空專題訓(xùn)練（含解析）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《線段最值問題綜合應(yīng)用》填空專題訓(xùn)練（附答案）1．如圖，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP．（1）線段BP的最小值為；（2）若以AP，BP為鄰邊作?APBQ，連接PQ，則線段PQ的最小值為．2．如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，經(jīng)過點(diǎn)B且與邊AC相切的動(dòng)圓與AB，BC分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ的最小值為．3．如圖，Rt△ABC斜邊AC的長(zhǎng)為4，⊙C的半徑為1，Rt△ABC與⊙C重合的面積為，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為．4．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是CD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．5．如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在AC，BC上，則EM+MN的最小值為．6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，EG⊥CD于點(diǎn)G，連接FG，則EF+FG的最小值為．7．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值．8．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，AB＝4，點(diǎn)E為AD上的定點(diǎn)，且AE＜ED，F(xiàn)為AC上的動(dòng)點(diǎn)，則EF+FC的最小值為．9．如圖，在正方形ABCD中，AB＝10，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值為．10．如圖，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+CD的最小值為．11．如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC＝60°，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，則MB+MN的最小值為．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝1，P是CD邊上一點(diǎn)，則|PE﹣PO|的最大值為．13．如圖，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BD，AB上，且BF＝DE＝4．點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，則|PF﹣PE|的最大值為．14．結(jié)論：如圖，拋物線y＝ax2﹣bx﹣4與x軸交于，A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l為該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)M為直線l上的一點(diǎn)，則MA+MC的最小值為．15．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)M、N分別在BC、CD上，（1）當(dāng)∠MAN＝∠C時(shí)，∠AMN+∠ANM＝°；（2）當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM＝°．16．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，點(diǎn)P，M，N分別是BC，AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為．17．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，AE＝2DF＝2，點(diǎn)G，H分別在CD，BC邊上，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為．18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形AEPQ周長(zhǎng)的最小值為．19．如圖，在?ABCD中，AB＝4，BC＝9，∠ABC＝60°，點(diǎn)P，Q是AD模型識(shí)別邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），且PQ＝3，則四邊形BPQC周長(zhǎng)的最小值為．20．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的面積為2π，MN＝1，則AM+CN的最小值為．參考答案1．（1）當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP取最小值，∵AC＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AC?cos30°＝4，∴BP最?。紸B?sin30°＝2；故答案為：2；（2）根據(jù)題意，作圖如下：∵四邊形APBQ是平行四邊形，∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP，∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，當(dāng)OP⊥AC時(shí)，OP取最小值，∴OP＝AO?sin30°＝，∴PQ的最小值為．故答案為：．2．解：取PQ的中點(diǎn)O，過O點(diǎn)作OD⊥AC于D，過B點(diǎn)作BH⊥AC于H，連接OB，如圖，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵BH?AC＝AB?CB，∴BH＝＝，∵∠PBQ＝90°，∴PQ為⊙O的直徑，∵⊙O與AC相切，OD⊥AC，∴OD為⊙O的半徑，∵OB+OD≥BH（當(dāng)且僅當(dāng)D點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)），∴OB+OD的最小值為BH的長(zhǎng)，即⊙O的直徑的最小值為，∴線段PQ的最小值為．故答案為：．3．解：設(shè)∠C＝n°，∵Rt△ABC與⊙C重合的面積為，∴＝，解得n＝60，即∠C＝60°，∵Rt△ABC斜邊AC的長(zhǎng)為4，∠C＝60°，∴BC＝AC＝2，連接CQ，CP，如圖，∵PQ為⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP＝90°，∴PQ＝＝，∴當(dāng)CP最小時(shí)，PQ最小，∵當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最短，此時(shí)CP＝CB＝2，∴PQ的最小值為＝．故答案為：．4．解：如圖，∵CA＝CB，D是AB的中點(diǎn)，∴CD是∠ACB的平分線，∴點(diǎn)N關(guān)于CD的對(duì)稱N′在AC上，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H．∵AC＝6，S△ABC＝12，∴×6?BH＝12，解得BH＝4，∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4，∴BM+MN的最小值為4．故答案為：4．5．解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴CD＝＝＝5，在CD上取一點(diǎn)N′，使得CN＝CN′，連接MN′，過點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H．∵菱形ABCD的面積＝?AC?BD＝CD?AH，∴AH＝＝＝，∵CN＝CN′，∠MCN＝∠MCN′，CM＝CM，∴△MCN≌△MCN′（SAS），∴MN＝MN′，∴EM+MN＝EM+MN′≥AH＝，∴ME+MN的最小值為．故答案為：．6．解：如圖，在AD上取一點(diǎn)P，使得PD＝PB，連接BP，PC，EC，過點(diǎn)C作CJ⊥BP于點(diǎn)J，過點(diǎn)E作EK⊥BP于點(diǎn)K．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°，設(shè)PD＝PB＝x，則x2＝（6﹣x）2+42，∴x＝，∵S△PBC＝?PB?CJ＝×6×4，∴CJ＝，∵AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵PD＝PB，∴∠PDB＝∠PBD，∴∠PBD＝∠PBC，∵EK⊥BC，EK⊥BP，∴EF＝EK，∵EG⊥CD，∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°，∴四邊形EFCG是矩形，∴FG＝EC，∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝，∴EF+FH的最小值為．故答案為：．7．解：將x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為2，令0＝﹣x2+x+2，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），∴AC＝＝，BC＝＝2，AB＝5，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB＝90°，∴點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A'坐標(biāo)為（1，4），∵BC是AA'的垂直平分線，∴A'M＝AM，即AM+MN＝A'M+MN，∴當(dāng)A'N⊥x軸時(shí)，AM+MN的最小值為A'N的長(zhǎng)度，故答案為：4．8．解：過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，連接EH，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，AM＝AB?sin60°＝3，∠ACB＝60°，∴FH＝CF?sin60°＝CF，∴EF+FC＝EF+FH≥EH，當(dāng)E、F、H三點(diǎn)依次在同一直線上，且EH⊥BC時(shí)，EF+FC＝EF+FH＝EH＝AM＝3的值最小，故答案為：3．9．解：過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，連接EH，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝10∴AC＝AB＝10，∠ACB＝∠CBD＝45°，∴OA＝OC＝5，∵E是OA的中點(diǎn)，∴AE＝OE＝，∴CE＝，∵FH＝BF?sin45°＝BF，∴EF+BF＝EF+FH≥EH，當(dāng)E、F、H三點(diǎn)依次在同一直線上，且EH⊥BC時(shí)，EF+BF＝EH＝CE?sin45°＝的值最小，故答案為：．10．解：延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使得BE＝AB，連接CE，過點(diǎn)D作DF⊥CE，連接AF，∵∠ABC＝∠CBE＝90°，BC＝BC，∴△ABC≌△EBC（SAS），∴∠ACB＝∠ECB＝30°，AC＝BC，∴△AEC為等邊三角形，DF＝CD，∴AD+CD＝AD+DF≥AF，當(dāng)A、D、F三點(diǎn)依次在同一直線上，且AF⊥BC時(shí)，AD+CD＝AD+DF＝AF＝AC?sin60°＝5的值最小，∴2AD+CD＝2（AD+CD）的最小值為5＝10．故答案為：10．11．解：如圖，連接DN，DM，過點(diǎn)D作DH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴△ABC，△ADC都是等邊三角形，∴B，D關(guān)于AC對(duì)稱，∴MB＝MD，∴MB+MN＝MD+MN≥DN，∵AB∥CD，∴∠DCH＝60°，∵DH⊥CH，∴CH＝CD?cos60°＝2，DH＝2，∵BN＝CN＝2，CD＝4，∴NH＝CN+CH＝4，∴DN＝＝＝2，∴MB+MN≥2，∴MB+MN的最小值為2．故答案為：2．12．解：如圖，連接OE，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠OHB＝90°，∴OH∥AD，∵OB＝OD，∴AH＝HB＝2，∴OH＝AD＝3，∵AE＝1，∴EH＝AH﹣AE＝1．∴OE＝＝＝，∴|PE﹣OP|≤EO＝，∴|PE﹣OP|的最大值為．故答案為：．13．解：在OB上取一點(diǎn)E′，使得OE′＝OE，中點(diǎn)E'，作射線FE'交AC于點(diǎn)P'．則PE＝PE'，∴|PF﹣PE|＝PF﹣PE'≤FE'，當(dāng)P與P'重合，P'、E'、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，|PF﹣PE'|有最大值，即為FE'的長(zhǎng)，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形．∴AB＝BD＝AD＝12．∴OD＝OB＝6．∵BF＝DE＝4，∴OE＝OE′＝2，∴BE′＝OB﹣OE′＝4，∴BF＝BE′∵∠ABD＝60°，∴△BE'F為等邊三角形，∴E'F＝FB＝2．故|PF﹣PE|的最大值為2．故答案為：2．14．解：連接BC交直線l于M′點(diǎn)，連接M′A，如圖，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝ax2﹣bx﹣4＝﹣4，則C（0，﹣4），∵拋物線y＝ax2﹣bx﹣4與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，∴A、B點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，∴M′B＝M′A，∴M′A+M′C＝M′B+M′C＝BC，∴此時(shí)M′A+M′C的值最小，∵BC＝＝4，∴M′A+M′C的最小值為4，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M′點(diǎn)時(shí)，MA+MC有最小值，最小值為4．故答案為：4．15．解：（1）∵∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，∴∠C＝180°﹣121°＝59°，∴∠MAN＝∠C＝59°，∴AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣59°＝121°，故答案為121．（2）如下圖，作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．作DA延長(zhǎng)線AH，∵∠DAB＝121°，∴∠HAA′＝59°，∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×59°＝118°．故答案為：118．16．解：如圖，連接AP，作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)P′，P″，連接AP′，AP″，P′P″，P′P″分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連接PM，PN，此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，最小值＝P′P″的長(zhǎng)．過點(diǎn)A作AH⊥P′P″于點(diǎn)H．∵AP＝AP′＝AP″，∠PAB＝∠P′AB，∠PAC＝∠P″AC，∴∠P′AP″＝2∠PAB+2∠PAC＝2（∠PAB+∠PAC）＝120°，∴∠P′＝∠P″＝30°，∵AH⊥P′P″，∴P′H＝P″H＝PA′?cos30°＝PA，∴P′P″＝PA，∴PA最小時(shí)，P′P″的值最小，∵當(dāng)PA⊥BC時(shí)，PA的值最小，此時(shí)PA＝，∴P′P″的最小值為3，∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值為3，故答案為：3．17．解：作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F′，，連接E′F'交BC、CD于點(diǎn)H、G，則EH＝E'H，GF＝GF'，此時(shí)四邊形EFGH周長(zhǎng)取最小值，∴EFGH周長(zhǎng)＝EF+EH+HG+FG＝EF+E'H+HG+F'G＝EF+E'F'∵AE＝2DF＝2，∴DF＝1，AF＝5﹣1＝4，DF'＝1，BE＝5﹣2＝3，∴AF'＝5+1＝6，AE'＝5+3＝8，∴E'F'＝10，∴EF＝＝＝2．∴EFGH周長(zhǎng)最小值為：10+2．18．解：如圖所示，作