統(tǒng)計學(xué)第七章：總體參數(shù)估計

教學(xué)重點教學(xué)過程教學(xué)總結(jié)第七章總體參數(shù)估計STAT1STAT統(tǒng)計案例

一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，每天的產(chǎn)量約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應(yīng)不低于100克，否則即為不合格。為對產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行檢測，企業(yè)設(shè)有質(zhì)量檢查科專門負(fù)責(zé)質(zhì)量檢驗，并經(jīng)常向企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)提交質(zhì)檢報告。質(zhì)檢的內(nèi)容之一就是每袋重量是否符合要求。由于產(chǎn)品的數(shù)量大，進(jìn)行全面的檢驗是不可能的，可行的辦法是抽樣，然后用樣本數(shù)據(jù)估計平均每袋的重量。質(zhì)檢科從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，下表1是對每袋食品重量的檢驗結(jié)果。第七章總體參數(shù)估計表125袋食品的重量（克）112.5102.6100.0116.6136.8101.0107.5123.595.4102.8103.095.0102.097.8101.5102.010808101.6108.498.4100.5115.6102.2105.093.32STAT

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，質(zhì)檢科估計出該天生產(chǎn)的食品每袋的平均重量在101.38~109.34克之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超過4克。產(chǎn)品的合格率在96.07%~73.93%之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超過16%。質(zhì)檢報告提交后，企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)人提出幾點意見：一是抽取的樣本大小是否合適？能不能用一個更大的樣本進(jìn)行估計？二是能否將估計的誤差在縮小一點？比如，估計平均重量時估計誤差不超過3克，估計合格率時誤差不超過10%。三是總體平均重量的方差是多少？因為方差的大小說明了生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性，過大或過小的方差都意味著應(yīng)對生產(chǎn)過程進(jìn)行調(diào)整。第七章總體參數(shù)估計3STAT本章重點1.抽樣誤差的概率表述；2.區(qū)間估計的基本原理；3.小樣本下的總體參數(shù)估計方法；4.樣本容量的確定方法；本章難點1.一般正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；2.t分布；3.區(qū)間估計的原理；4.分層抽樣、整群抽樣中總方差的分解。第七章總體參數(shù)估計4STAT點估計的缺點：不能反映估計的誤差和精確程度區(qū)間估計：利用樣本統(tǒng)計量和抽樣分布估計總體參數(shù)的可能區(qū)間【例1】CJW公司是一家專營體育設(shè)備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務(wù)質(zhì)量，CJW公司每月都要隨機(jī)地抽取一個顧客樣本進(jìn)行調(diào)查以了解顧客的滿意分?jǐn)?shù)。根據(jù)以往的調(diào)查，滿意分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在20分左右。最近一次對100名顧客的抽樣顯示，滿意分?jǐn)?shù)的樣本均值為82分，試建立總體滿意分?jǐn)?shù)的區(qū)間。7.1.1抽樣誤差（也稱抽樣極限誤差，簡稱極限誤差）抽樣誤差：一個無偏估計與其對應(yīng)的總體參數(shù)之差的絕對值。抽樣誤差=（實際未知）7.1總體均值的區(qū)間估計（大樣本n≥30）5STAT要進(jìn)行區(qū)間估計，關(guān)鍵是將抽樣誤差求解。若已知，則區(qū)間可表示為：此時，可以利用樣本均值的抽樣分布對抽樣誤差的大小進(jìn)行描述。上例中，已知，樣本容量n=100,總體標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)中心極限定理可知，此時樣本均值服從均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。即：7.1.2抽樣誤差的概率表述由概率論可知，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，6STAT有以下關(guān)系式成立：一般稱，為置信度，可靠程度等，反映估計結(jié)果的可信程度。若事先給定一個置信度，則可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布找到其對應(yīng)的臨界值。進(jìn)而計算極限誤差若，則查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得，極限誤差此時極限誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的±3.92的區(qū)間包含總體均值的概率是95%，或者說，樣本均值產(chǎn)生的極限誤差是3.92或更小的概率是0.95。7STAT常用的置信度還有68.27%,90%，95%,95.45%，99.73%，他們對應(yīng)的臨界值分別為1,1.645，1.96,2和3，可以分別反映各自的估計區(qū)間所對應(yīng)的精確程度和把握程度。7.1.3計算區(qū)間估計：在CJW公司的例子中，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。因此，可以構(gòu)建總體均值的區(qū)間為，由于，從一個總體中抽取到的樣本具有隨機(jī)性，在一次偶然的抽樣中，根據(jù)樣本均值計算所得區(qū)間并不總是可以包含總體均值，它是與一定的概率相聯(lián)系的。如下圖所示：第七章總體參數(shù)估計8STAT3.923.92圖1根據(jù)選擇的在、、位置的樣本均值建立的區(qū)間9STAT上圖中，有95%的樣本均值落在陰影部分，這個區(qū)域的樣本均值±3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。因此，總體均值的區(qū)間的含義為，我們有95%的把握認(rèn)為，以樣本均值為中心的±3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。通常，稱該區(qū)間為置信區(qū)間，其對應(yīng)的置信水平為置信區(qū)間的估計包含兩個部分：點估計和描述估計精確度的正負(fù)值。也將正負(fù)值稱為誤差邊際或極限誤差，反映樣本估計量與總體參數(shù)之間的最大誤差范圍?？偨Y(jié)：10STAT7.1.4計算區(qū)間估計：在大多數(shù)的情況下，總體的標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的。根據(jù)抽樣分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的點估計值，仍然采用上述區(qū)間估計的方法進(jìn)行總體參數(shù)的估計?！纠?】斯泰特懷特保險公司每年都需對人壽保險單進(jìn)行審查，現(xiàn)公司抽取36個壽保人作為一個簡單隨機(jī)樣本，得到關(guān)于投保人年齡、保費數(shù)量、保險單的現(xiàn)金值、殘廢補(bǔ)償選擇等項目的資料。為了便于研究，某位經(jīng)理要求了解壽險投保人總體平均年齡的90%的區(qū)間估計。11STAT

投保人年齡投保人年齡投保人年齡投保人年齡123456789325040243344454844101112131415161718473136394645393845192021222324252627274354363448233642282930313233343536343934354253284939上表是一個由36個投保人組成的簡單隨機(jī)樣本的年齡數(shù)據(jù)。現(xiàn)求總體的平均年齡的區(qū)間估計。分析：區(qū)間估計包括兩個部分——點估計和極限誤差，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計。解：已知12STAT

（1）樣本的平均年齡（2）極限誤差樣本標(biāo)準(zhǔn)差極限誤差（3）90%的置信區(qū)間為39.5±2.13即（37.37，41.63）歲。注意:（1）置信系數(shù)一般在抽樣之前確定，即根據(jù)樣本所建立的區(qū)間能包含總體參數(shù)的概率。（2）置信區(qū)間的長度（準(zhǔn)確度）在置信度一定的情況下，與樣本容量的大小呈反方向變動，若要提高估計準(zhǔn)確度，可以擴(kuò)大樣本容量來達(dá)到。13STAT7.2總體均值的區(qū)間估計：小樣本的情況在小樣本的情況下，樣本均值的抽樣分布依賴于總體的抽樣分布。我們討論總體服從正態(tài)分布的情況。t分布的圖形和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形類似，如下圖示：第七章總體參數(shù)估計14STAT0標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t分布（自由度為20）t分布（自由度為10）圖2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與t分布的比較第七章總體參數(shù)估計15STAT在ｔ分布中，對于給定的置信度，同樣可以通過查表找到其對應(yīng)的臨界值，利用臨界值也可計算區(qū)間估計的誤差邊際因此，總體均值的區(qū)間估計在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的小樣本情況下可采用下式進(jìn)行：假定總體服從正態(tài)分布；第七章總體參數(shù)估計16STAT【例3】謝爾工業(yè)公司擬采用一項計算機(jī)輔助程序來培訓(xùn)公司的維修支援掌握及其維修的操作，以減少培訓(xùn)工人所需要的時間。為了評價這種培訓(xùn)方法，生產(chǎn)經(jīng)理需要對這種程序所需要的平均時間進(jìn)行估計。以下是利用新方對１５名職員進(jìn)行培訓(xùn)的培訓(xùn)天數(shù)資料。根據(jù)上述資料建立置信度為９５％的總體均值的區(qū)間估計。（假定培訓(xùn)時間總體服從正態(tài)分布）。職員時間職員時間職員時間１５２６５９１１５４２４４７５０１２５８３５５８５４１３６０４４４９６２１４６２５４５１０４６１５６３第七章總體參數(shù)估計17STAT解：依題意，總體服從正態(tài)分布，ｎ＝１５（小樣本），此時總體方差未知?？捎米杂啥葹椋╪-1）=14的t分布進(jìn)行總體均值的區(qū)間估計。樣本平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差極限誤差95%的置信區(qū)間為53.87±3.78即（50.09，57.65）天。第七章總體參數(shù)估計18STAT7.3確定樣本容量誤差邊際（極限誤差）其計算需要已知若我們選擇了置信度由此，得到計算必要樣本容量的計算公式：第七章總體參數(shù)估計19STAT【例4】在以前的一項研究美國租賃汽車花費的研究中發(fā)現(xiàn)，租賃一輛中等大小的汽車，其花費范圍為，從加利福尼亞州的奧克蘭市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美元不等，并且租金的標(biāo)準(zhǔn)差為9.65美元。假定進(jìn)行該項研究的組織想進(jìn)行一項新的研究，以估計美國當(dāng)前總體平均日租賃中等大小汽車的支出。在設(shè)計該項新的研究時，項目主管指定對總體平均日租賃支出的估計誤差邊際為2美元，置信水平為95%。解：依題意，可得將以上結(jié)果取下一個整數(shù)（90）即為必要的樣本容量。第七章總體參數(shù)估計20STAT說明：由于總體標(biāo)準(zhǔn)差在大多數(shù)情況下是未知的，可以有以下方法取得的值。（1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本標(biāo)準(zhǔn)差；（2）抽取一個預(yù)備樣本進(jìn)行試驗性研究。用實驗性樣本的標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值。（3）運用對值的判斷或者“最好的猜測”，例如，通?？捎萌嗟淖鳛榈慕浦?。

另：簡單不重復(fù)抽樣時的樣本容量的計算公式見P158的（7－14）第七章總體參數(shù)估計21STAT7.4總體比例的區(qū)間估計7.4.1區(qū)間估計對總體比例的區(qū)間估計在原理上與總體均值的區(qū)間估計相同。同樣要利用樣本比例的抽樣分布來進(jìn)行估計。若，則樣本比例近似服從正態(tài)分布。同樣，抽樣誤差類似的，利用抽樣分布（正態(tài)分布）來計算抽樣誤差第七章總體參數(shù)估計22STAT上式中，是正待估計的總體參數(shù)，其值一般是未知，通常簡單的用替代。即用樣本方差替代總體方差。則，誤差邊際（極限誤差）的計算公式為：第七章總體參數(shù)估計23STAT【例5】1997年菲瑞卡洛通訊公司對全國范圍每內(nèi)的902名女子高爾夫球手進(jìn)行了調(diào)查，以了解美國女子高爾夫球手對自己如何在場上被對待的看法。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，397名女子高爾夫球手對得到的球座開球次數(shù)感到滿意。試在95%的置信水平下估計總體比例的區(qū)間。分解：解：依題意已知，（1）樣本比例（2）極限誤差第七章總體參數(shù)估計24STAT（3）95%的置信區(qū)間0.44±0.0324即（0.4076，0.4724）。結(jié)論：在置信水平為95%時，所有女子高爾夫球手中有40.76%到47.24%的人對得到的球座開球數(shù)感到滿意。

7.4.2

確定樣本容量在建立總體比例的區(qū)間估計時，確定樣本容量的原理與7.3節(jié)中使用的為估計總體均值時確定樣本容量的原理相類似。第七章總體參數(shù)估計25STAT【例6】在例中，該公司想在1997年結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行一項新的調(diào)查，以重新估計女子高爾夫球手的總體中對得到的球座開球此數(shù)感到滿意的人數(shù)所占的比例。調(diào)查主管希望這項新的調(diào)查在誤差邊際為0.025、置信水平為95%的條件下來進(jìn)行，那么，樣本容量應(yīng)該為多大？解：依題意，可得將以上結(jié)果取下一個整數(shù)（1515）即為必要的樣本容量。第七章總體參數(shù)估計26STAT

說明：由于總體比例在大多數(shù)情況下是未知的，可以有以下方法取得的值。（1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本比例；（2）抽取一個預(yù)備樣本進(jìn)行試驗性研究。用實驗性樣本的比例作為的估計值。（3）運用對值的判斷或者“最好的猜測”；（4）如果上面的方法都不適用，采用。另：簡單不重復(fù)抽樣時的樣本容量的計算公式見P159的（7－16）第七章總體參數(shù)估計27STAT7.5其他抽樣方法下總方差的計算在第六章中學(xué)習(xí)到，除簡單隨機(jī)抽樣方法外，在現(xiàn)實中還可運用分層抽樣、整群抽樣、系統(tǒng)抽樣等抽樣方法，每一次抽樣都涉及到對總體參數(shù)的估計過程。通過前面的知識，可知對總體參數(shù)的估計過程中比較關(guān)鍵的因素是計算總體方差。如果已知總體方差，總體參數(shù)區(qū)間估計的過程與前面介紹的方法相同。第七章總體參數(shù)估計28STAT7.5.1分層抽樣在簡單隨機(jī)抽樣中，我們計算總方差是采用的公式是在分層抽樣中，我們事先將總體按一定的標(biāo)志進(jìn)行分層，所形成的數(shù)據(jù)實際等同于組距式數(shù)列，在組距式數(shù)列中，總方差需要運用方差加法定理來計算。這就是說，如果要計算總方差，則需分別將組間方差和平均組內(nèi)方差先計算出來。在分層抽樣下，是否真的需要由組間方差和平均組內(nèi)方差相加來計算總方差呢？29STAT

我們來考察一下分層抽樣的實施過程：層間抽樣：在每一層抽取全面調(diào)查層間方差層內(nèi)抽樣：抽取部分樣本單位抽樣調(diào)查層內(nèi)方差我們說抽樣誤差是抽樣調(diào)查這種調(diào)查方式所特有的誤差，因此上述兩部分誤差中只有由于抽樣調(diào)查所形成的層內(nèi)方差才是抽樣誤差的組成部分，而由于全面調(diào)查所形成的層間方差不是抽樣誤差的組成部分。因此，30【例7】某廠有甲、乙兩個車間生產(chǎn)保溫瓶，乙車間產(chǎn)量是甲車間的2倍?，F(xiàn)按產(chǎn)量比例共抽查了60支，結(jié)果如下。試以95.45%的可靠程度推斷該廠生產(chǎn)的保溫瓶的平均保溫時間的可能范圍。31【例8】某地一萬住戶，按城鄉(xiāng)比例抽取一千戶，進(jìn)行電腦擁有量調(diào)查，結(jié)果如下。試以95.45%的概率推斷該地電腦擁有戶比率的范圍。32STAT7.5.2整群抽樣與分層抽樣類似，整群抽樣下，總方差的計算仍然需要分解：方差的加法定理：總方差=群間方差+平均群內(nèi)方差同樣考察整群抽樣的實施過程：層間抽樣：在部分層中抽取抽樣調(diào)查群間方差層內(nèi)抽樣：抽取全部樣本單位全面調(diào)查群內(nèi)方差類似的，只有群間方差是抽樣誤差的組成部分。

因此，整群抽樣抽樣平均誤差的計算是將群間方差代替純隨機(jī)抽樣抽樣平均誤差計算公式中的總方差即可。33STAT抽樣平均數(shù)的群間方差：抽樣成數(shù)的群間方差：

1.抽樣平均數(shù)抽樣平均誤差的計算（一般為不重復(fù)抽樣）2.抽樣平均數(shù)的極限誤差34STAT3.抽樣成數(shù)抽樣平均誤差的計算（一般為不重復(fù)抽樣）4.抽樣成數(shù)的極限誤差35【例9】某鄉(xiāng)播種某種農(nóng)作物3000畝，分布在60塊地段上，每塊地段50畝。現(xiàn)抽取5塊地，得資料如下。現(xiàn)要求以95%的概率估計這種農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)及受災(zāi)面積的區(qū)間?？傮w：R=60群樣本：r=5群36

受災(zāi)面積區(qū)間37課堂練習(xí)1.某公司出口一種名茶，規(guī)定每包規(guī)格重量不低于150g，現(xiàn)用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取其中1%進(jìn)行檢驗，結(jié)果如下（1）