第3講 隨機(jī)過程的基本概念、平穩(wěn)隨機(jī)過程

通信原理電子教案廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院2012年9月《通信原理》電子教案授課班級(jí)：通信1103班、通信1104班授課教師：廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院梁能第二章隨機(jī)過程

－－本章是本書的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

2.1引言

2.2隨機(jī)過程的一般表述

2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程

2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度

2.5高斯過程

2.6窄帶隨機(jī)過程

2.7正弦波加窄帶隨機(jī)過程

2.8隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.1引言

通信過程是信號(hào)和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程，分析與研究通信系統(tǒng)，總是離不開對信號(hào)和噪聲的分析?！?/p>

隨機(jī)信號(hào)：通信系統(tǒng)中的信號(hào)通常總帶某種隨機(jī)性。不可預(yù)測，不能用確定函數(shù)表示的信號(hào)?！耠S機(jī)噪聲：通信系統(tǒng)必然遇到噪聲。不可預(yù)測（熱噪聲）。簡稱噪聲?！耠S機(jī)過程：從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程。統(tǒng)計(jì)學(xué)中的有關(guān)隨機(jī)過程的理論可以運(yùn)用到隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析中來。2.2隨機(jī)過程的一般表述

2.2.1概念及定義

考察：

假設(shè)有無數(shù)臺(tái)性能相同的接收機(jī)，在同樣條件下不加信號(hào)測試其輸出。

得到一系列噪聲波形ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、...、ξn(t)、...。理想時(shí)，波形應(yīng)一致，但實(shí)際不然，找不到兩個(gè)完全相同的波形。討論：●每一條曲線ξi(t)都是一個(gè)隨機(jī)起伏的時(shí)間函數(shù)－－隨機(jī)函數(shù)。●無窮多個(gè)隨機(jī)函數(shù)的總體在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱作隨機(jī)函數(shù)的總集－－隨機(jī)過程ξ(t)

?！衩恳粭l曲線ξi(t)都是隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)/樣本?！裨谀骋惶囟〞r(shí)刻t1觀察各臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲值ξ(t1)

，發(fā)現(xiàn)他們的值是不同的－－是一個(gè)隨機(jī)量（隨機(jī)變量）。概括：

隨機(jī)過程ξ(t)的含義／屬性有兩點(diǎn)：（1）ξ(t)是t

的函數(shù)；（2）ξ(t)在任一時(shí)刻t1上的取值ξ(t1)不是確定的，是一個(gè)隨機(jī)變量。即每個(gè)時(shí)刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布的。概率論：隨機(jī)變量分析－－分布函數(shù)和概率密度2.2.2隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特征１.分布函數(shù)和概率密度（1）一維描述

●一維分布函數(shù)隨機(jī)過程ξ(t)任一時(shí)刻t1

的取值是隨機(jī)變量ξ(t1)，則隨機(jī)變量ξ(t1)小于等于某一數(shù)值x1的概率

F1（x1，t1）=P[ξ(t1)

≤x1]

（2.2.1）叫做隨機(jī)過程ξ(t)的一維分布函數(shù)。

●一維概率密度函數(shù)

若一維分布函數(shù)對x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，則

叫做隨機(jī)過程ξ(t)的一維概率密度。

（2）二維描述－－隨機(jī)過程不同時(shí)刻取值之間的相互關(guān)系

●二維分布函數(shù)

若隨機(jī)過程ξ(t)在時(shí)刻

t1

的取值是隨機(jī)變量ξ(t1)，而在時(shí)刻t2的取值是隨機(jī)變量ξ(t2)，則ξ(t2)與ξ(t2)構(gòu)成一個(gè)二元隨機(jī)變量[ξ(t1)，ξ(t2)]，稱

F2（x1，x2；t1，t2）=P[ξ(t1)≤x1；ξ(t2)≤x2]為隨機(jī)過程ξ(t)的二維分布函數(shù)?！穸S概率密度函數(shù)若二維分布函數(shù)對x1和x2二階偏導(dǎo)數(shù)存在，則叫做隨機(jī)過程ξ(t)的二維概率密度?！裢?，可以定義隨機(jī)過程的多維分布函數(shù)及多維概率密度分別為：統(tǒng)計(jì)獨(dú)立

對于任何n個(gè)隨機(jī)變量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)，如果下式成立

fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）

=f1（x1，t1）f2（x2，t2）...fn（xn，tn）則稱這些變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，否則就是不獨(dú)立的或相關(guān)的。意義：

●可以把隨機(jī)過程ξ(t)當(dāng)作一個(gè)多元的隨機(jī)變量來看待，而用這個(gè)多元隨機(jī)變量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)的分布函數(shù)或概率密度來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。

●顯然，n越大，對隨機(jī)過程的描述越充分。2.數(shù)字特征引言●問題：隨機(jī)過程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善地刻畫隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。但實(shí)際中：難；不必。●措施：用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描繪隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單方便?！穹椒ǎ呵箅S機(jī)過程數(shù)字特征的方法有“統(tǒng)計(jì)平均”和“時(shí)間平均”兩種。統(tǒng)計(jì)平均:

對隨機(jī)過程ξ(t)某一特定時(shí)刻不同實(shí)現(xiàn)的可能取值ξ(ti)－－隨機(jī)變量

，用統(tǒng)計(jì)方法得出的種種平均值叫統(tǒng)計(jì)平均。時(shí)間平均:對隨機(jī)過程ξ(t)的某一特定實(shí)現(xiàn)ξi(t)

，用數(shù)學(xué)分析方法對時(shí)間求平均得出的種種平均值叫時(shí)間平均。（一）統(tǒng)計(jì)平均1.均值隨機(jī)過程在任意時(shí)刻t的取值所組成隨機(jī)變量ξ(t)的均值稱為隨機(jī)過程的均值，也稱為統(tǒng)計(jì)平均或數(shù)學(xué)期望。即注：t1→t，x1→x

物理意義：均值代表隨機(jī)過程的擺動(dòng)中心。2.均方值

隨機(jī)變量ξ(t)的二階原點(diǎn)矩稱為隨機(jī)過程ξ(t)的均方值。－－相對于橫軸的振動(dòng)程度

。3.方差

隨機(jī)變量ξ(t)的二階中心矩稱為隨機(jī)過程ξ(t)的方差。－－相對于均值的振動(dòng)程度

。4.協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)－－隨機(jī)過程不同時(shí)刻取值之間的相互關(guān)系

衡量隨機(jī)過程ξ(t)在任意兩個(gè)時(shí)刻t1和t2上獲得的隨機(jī)變量ξ(t1)和ξ(t2)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性時(shí)，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1，t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1，t2)來表示。（1）相關(guān)函數(shù)

ξ(t1)和ξ(t2)的二階原點(diǎn)混合矩稱為隨機(jī)過程ξ(t)的相關(guān)函數(shù)。（2）協(xié)方差函數(shù)（3）協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系稱為隨機(jī)過程ξ(t)的協(xié)方差。（3）協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系顯然，有以上兩式可得

B(t1，t2)=R(t1，t2)-E[ξ(t1)]E[ξ(t2)]（2.2.7）若E[ξ(t1)]或E[ξ(t2)]為零，則

B(t1，t2)=R(t1，t2)

這里的R(t1，t2)及B(t1，t2)由于是衡量同一過程的相關(guān)程度，因此又常分別稱為自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)。

（2）協(xié)方差函數(shù)ξ(t1)和ξ(t2)的二階中心混合矩5.互協(xié)方差與互相關(guān)函數(shù)－－不同隨機(jī)過程間的關(guān)系（1）互相關(guān)函數(shù)

設(shè)ξ(t)與η(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程，則互相關(guān)函數(shù)定義為

Rξη(t1，t2)=E[ξ(t1)η(t2)]

如果兩個(gè)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)為零，即下列條件成立

Rξη(t1，t2)=0

則稱它們是不相關(guān)的---正交的隨機(jī)過程。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)過程是不相關(guān)的。（2）互協(xié)方差互協(xié)方差定義為

Bξη(t1，t2)=E{ξ(t1)-a(t1)]E[η(t2)]--a(t2)]}

若

Bξη(t1，t2)=0

則兩個(gè)過程是不相關(guān)的。（二）時(shí)間平均

－－非周期函數(shù)平均值1.平均值（或直流分量）

設(shè)ξi(t)是隨機(jī)過程ξ(t)的一個(gè)典型的樣本函數(shù)，則樣本函數(shù)的時(shí)間平均為注：結(jié)果與時(shí)間無關(guān)，為常數(shù)。2.均方值（或總平均功率）3.方差（或交流功率）4.自相關(guān)函數(shù)

樣本函數(shù)ξi(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程

2.3.1定義

1.狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程

假設(shè)一個(gè)隨機(jī)過程ξ(t)，如果它的任何n維分布或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，即對于任意的t和τ，隨機(jī)過程ξ(t)的n

維概率密度函數(shù)滿足

fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）

=fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） （2.2.2）則稱ξ(t)是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。顯見，平穩(wěn)隨機(jī)過程具有如下特點(diǎn)：■統(tǒng)計(jì)特性將不隨時(shí)間的推移而不同。它的一維分布與t無關(guān)，二維分布僅與時(shí)間間隔τ有關(guān)。■數(shù)字特征變得“平穩(wěn)”、簡單： 數(shù)學(xué)期望與

t無關(guān)：a(t)=a

；

自相關(guān)函數(shù)只與τ有關(guān)：R(t1，t1+τ)=R(τ)。fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）

=fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 2.廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程

一隨機(jī)過程ξ(t)，如果它滿足：

（1）數(shù)學(xué)期望與t無關(guān)，即：a(t)=a

；

（2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，即：

R(t1，t1+τ)=R(τ)。則稱ξ(t)是廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過程。意義：●平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性－－十分有趣，非常有用?！裢ㄐ畔到y(tǒng)中所遇到的信號(hào)與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。

則說ξ(t)為具有各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）的平穩(wěn)隨機(jī)過程.。

2.各態(tài)歷經(jīng)的含義

隨機(jī)過程的任一實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)），都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有的可能狀態(tài)。3.各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的特點(diǎn)－－好處

任何一個(gè)實(shí)現(xiàn)都能代替整個(gè)隨機(jī)過程。給實(shí)際測量、分析計(jì)算帶來極大方便。2.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性1.各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程

假設(shè)ξ(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，如果有下列式子成立2.3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)

（1）平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等，可通過相關(guān)函數(shù)來描述；（2）相關(guān)函數(shù)揭示了隨機(jī)過程的頻譜特性。1.相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)ξ(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，相關(guān)函數(shù)

R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]具有如下性質(zhì)：（1）R(0)=E[ξ2(t)]=s---ξ(t)的平均功率。（2）R(τ)=R(-τ) ---R(τ)是偶函數(shù)。（3）

|R(τ)|≤R(0) ---R(τ)的上界。（4） R(∞)=E2[ξ(t)]=a2

---ξ(t)的直流功率。（5） R(0)－R(∞)=σ2

----方差，ξ(t)的交流功率。（3） |R(τ)|≤R(0)---R(τ)

的上界。證：由于E[ξ(t)±ξ(t+τ)]2≥0

從而

E[ξ(t)±ξ(t+τ)]2

=E[ξ2(t)+ξ2(t+τ)±2ξ(t)ξ(t+τ)] =E[ξ2(t)]+E[ξ2(t+τ)]±2E[ξ(t)ξ(t+τ)];----平穩(wěn)

=2R(0)±2R(τ)≥0

所以，得R(0)≥±R(τ)

即 |R(τ)|≤R(0)（4） R(∞)=E2[ξ(t)]=a2

---ξ(t)的直流功率。證：注：這里利用了當(dāng)τ→∞時(shí)ξ(t)與ξ(t+τ)變得沒有依賴關(guān)系，即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且認(rèn)為ξ(t)不含有周期分量。（5） R(0)-R(∞)=σ2

----方差，ξ(t)的交流功率。證：

由D[ξ(t)]=E{ξ(t)-E[ξ(t)]}2

=E[ξ2(t)-2ξ(t)E[ξ(t)]+E2[ξ(t)]} =E[ξ2(t)]-E2[ξ(t)]=R(0)-a2

得σ2=R(0)-R(∞)2.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)R(τ)與功率譜密度Pξ(ω)的關(guān)系

---相關(guān)函數(shù)R(τ)的又一重要性質(zhì)。

設(shè)：ξ(t)平穩(wěn)，R(τ)絕對可積則簡記為：Pξ(ω)←→R(τ)意義：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉關(guān)系。證：分三步來考慮：(1)

對于任一確知能量信號(hào)f(t)，根據(jù)瑞利能量定理，有(2)

假設(shè)f(t)為時(shí)間無限信號(hào)（功率信號(hào)），若用fT(t)代表f(t)在-T/2＜t＜T/2區(qū)間上的短截函數(shù)，即只要T為有限值fT(t)就具有有限的能量，即若 FT(ω)←→fT(t)，則根據(jù)瑞利定理：根據(jù)平均功率的定義：當(dāng)T→∞時(shí)，︱ｌFT(ω)ｌ2/T趨于一個(gè)極限，并將其定義為功率譜密度，用符號(hào)Ps(ω)表示，即單位為瓦/赫。因此信號(hào)的平均功率可寫成（３）某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度，不能作為過程的功率譜密度。應(yīng)：過程的功率譜密度應(yīng)看作是每一可能實(shí)