【新整理】三角形四心向量形式的結(jié)論及證明收藏

三角形“四心”向量形式的充要條

件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過(guò)課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心垂心外心內(nèi)心向量形式的充要條件。現(xiàn)歸納總結(jié)如下：一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)*°是AABC的重心—oa+OB+OC=0;若O是的重心則s=s=s=；s故/I JAABC ， ABOCAAOCAAOB3AABC八"OA+OB+OC=0;PG=3(PA+PB+PC)oG為AABC的重心，O是AABC的垂心.oA.OB=OB.OC=OC.OA;若0一是AABC(非直角三角形)的垂心，則S：S：S =tanA：tanB：tanCABOCAAOCAAOB故tanAOA+tanBOB+tanCOC=03)0是AABC的夕卜心.ioAi=ioBi=ioCi(或oA2=ob2=oC2)若0是AABC的外心貝IS：S：S =sinZBOC：sinNAOCsinNAOB=sin2A:sin2B:sin2CABOCAAOCAAOB故嘰sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=04)。是內(nèi)心aabc的充要條件是0A?(落-0A?(落-AC)_OB(BABC、一0c/CACB)0aCibaiibciicaiicbi引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記ab,bc,ca的文檔交流

單位向量為e,e；e,則剛才。是AABC內(nèi)心的充要條件可以寫12 3成：O是? 成：O是OA?（e+e）=OB?（e+e）=OC（e+e）=0AABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA+bOB+cOC=0若O是MBC的內(nèi)心，則S：S：S =a：b：cABOCAAOCAAOB故嘰 aOA+bOB+cOC=臧sinAOA+sinBOB+sinCOC=0;,一的內(nèi)心：IABIPC+IBCIPA+ICAIPB=00PAABC ;向量M"+工）（九/0）所在直線過(guò)AABC的內(nèi)心IABIIACI（是々AC的角平分線所在直線）；二范例（一）?.將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1.O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+-（器+告）,，"則P點(diǎn)的軌跡ABAC一定通過(guò)a^C的（）（A）夕卜心（8）內(nèi)心（。重心（口）垂心解析：因?yàn)榭帐窍蛄緼B的單位向量設(shè)AB與AC方向上的網(wǎng)單位向量分別為^和-,又op_oa=AP，則原式可化為AP八（e+e），由菱形的基本性質(zhì)知AP平分乙BAC，那么在7ABe7,AP平分NBAC，則知選B.點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎陌生”，首先AB網(wǎng)是什么？沒(méi)見過(guò)想想，一個(gè)非零向量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡(jiǎn)單的基本知識(shí)，如向量的加減法向量的基本定理菱形的基本性質(zhì)角平分線的性質(zhì)等，若文檔交流

分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點(diǎn)問(wèn)題也沒(méi)有。（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”HA-HB=HB-HC=HC-HAo例2.H是^ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)HA-HB=HB-HC=HC-HAo由 _ __.,HA-HB=HB-HC=HB?（HC-HA）=0=HB-AC=0=HB1AC同理前±AB,而±氤.故H是^ABC的垂心.（反之亦然（證略））例3.（湖南）P是4ABC所在平面上一點(diǎn)，若閃pb=pb.pC=pc.pa，則P是4ABC的（D）人,夕卜心8.內(nèi)心C,重心口,垂心解析:由 ^PA.PB=PB.PC得PA.PB—PB.PC=0即PB.（PA—PC）=0,即PB.CA=0則PB1CA,同理PA1BC,PC1AB所以P為aaBC的垂心.故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí).將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。變式：若變式：若H為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且^aA^2+|bC2=網(wǎng)2+附=H[C22+A^^2則點(diǎn)H是4ABC的垂心

得(HA+HB—CA—CB)?BA=(HC+HC)?BA=AB1HC同理AC1HB，BC1HA故H是AABC的垂心（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查定理” =0GA+GB+GC o =0GA+GB+GC o點(diǎn)G是4ABC的重心.證明作圖如右，圖中...GB+GC=GE連結(jié)BE和CE,則CE=GB,BE=GCBGCE為平行四邊形=D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將GB+GC=6后代入GA+GB+gC=0，得而+EG=0=以__GE__2而，故G是^ABC的重心.（反之亦然（證略￡"佻2GD例5.P是4ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是4ABC的重''oPG=1(PA+PB+PC)證3PG=PA+G"*B/ABCC的的重G:(AG+BG+CG)+(PA+PB+PC)?二=0 =0即^, ^,,GA+GB+GC =AG+BG+CG 3PG=PA+PB+PC由此可得pg」(PA+PB+PC).(反之亦然(證略))^ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA^ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA+OB+OC=0，則O是AABC的（人.內(nèi)心8.外心6.垂心口.重心文檔交流

解析：由必+OB+OC=0得OB+OC=-OA，如圖以O(shè)BOC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則OB+0c=OD,由平行四邊形性質(zhì)知oe_1OD,~23=2加，響理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D。 一一點(diǎn)評(píng)：本題需要扎實(shí)的平面幾何知識(shí)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形中線的內(nèi)分點(diǎn)，所分這比為，2。本題在解題的過(guò)程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)A=—算與平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。變式：已知De歹分別為△ABC的邊BCACAB的中點(diǎn).則?AD+BE+CF=0證明：AD~=--GT—2—BE=--GB 3 CF=--GC[ 2一一一3一一一AD+BE+CF=-2(GA+GB+GC);GA+GB+GC=0「.AD+BE+CF=0變式引申：如圖4，平行四邊形ABCD的中心為O，P為該平面上任意一點(diǎn)，圖4P0=4(PA+PB+PC+PD)?圖4證明：1—, POPO—>—>PO=2(PA+PC)文檔交流

PO=2(PB+PD)，1^PO^4（PA+PB+PC+PD）點(diǎn)評(píng)：（1）證法運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則.（2）若「與°重合，則上式變oa+OB+OC+ODP（四）.將平面向量與三角形外心結(jié)合考查是AABC的（

口.重心例7若°為MBC內(nèi),一＞點(diǎn)，OA=Ob|T是AABC的（

口.重心人.內(nèi)心8.外心C.垂心解析：由向量模的定義知°到慚的三頂點(diǎn)距離相等。故。是AABC的外心，選B。點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8.已知向量.,.,.滿足條件.+,+=0,0P10P20P3 OP1OP20P3-h|=|■|=|■|=1,OP OP OP1 71求證AP3PP是正三角形.（數(shù)學(xué)一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參123考題五B組6題）證明同理由已知一+證明同理由已知一+—=一0P1 0P2 0P3OPOPOPOP—,兩邊平方得0PlOP22 3 3 1 2,"PP1=1TP|=|PP|=也，從而AP1P2P3是正三角形，

反之，】若點(diǎn)O是定三角形△PPP的中心，則顯然有

123—+—+—+—+—=0且|—|=|一|=|OPOPOP OP OP1即O是AABC所在平面內(nèi)一3占八、、文檔交流一+一一+一+一=0且|一。尸1。尸之。尸3 1I中心.?！?。點(diǎn)o是正^p1P2P3的例9.在4ABC中，已知QGH分別是三角形的外心重心垂心。求證：QGHm點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如(、0)C(x,y),DEF分別22圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)B(、0)C(x,y),DEF分別22xx+xyxy、D(寸0)、E(1 2r)、F(—2,—2)TOC\o"1-5"\h\z,2-- 2 2 22由題設(shè)可設(shè)。,x )H, )kQ(力,y)、H(x,y))G(

2 3 2 4AH=(x2,y4)QF=(g-g，爭(zhēng)—y3)2 1 2AH1BCBC=(x—2 1 2AH1BCAH?BC=x(x—x)+yy=0x(x—x)??h2QF1ACQF-AC=x2(亳—1)+y2(力—y3)=0?.一3QH=(x、/2x—QH=(x、/2x—x=L)=( ，x+xxy?QG=(231-刀,丁—y3)二(

J 乙J2x—x 3x(x—x)=(21, 22 16 6y2—2 2-2y2y1,-2 31 1/2x—x3x(x—x)y、

一(21,221 2-)3 2 2y 22=3QHQH=3QG,故QGH三點(diǎn)共線，且QG:GH=1：2【注】：本例如果用平面幾何知識(shí)向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理，都相當(dāng)麻煩，而借用向量的坐標(biāo)形式，將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地文檔交流

結(jié)合在一起，從而，很多對(duì)稱共線共點(diǎn)垂直等問(wèn)題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例10.若OH分別是4ABC的外心和垂心.求OH=OA+OB+OC.CH±AB，證明若4ABC的垂心為H,外CH±AB，連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D，連AD，CD.AH±BC，一AD±AB，CD±Bc?又垂心為H，「.AH//CD,AH±BC，:四邊形AHCD為平行四邊形,; ，故_ AH=DC=DO+OC OH=OA+AH=OA+OB+OC著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心重心垂心的位置關(guān)系：(1)三角形的外心重心垂心三點(diǎn)共線——“歐拉線”；(2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外——垂連線的一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問(wèn)題.例11.設(shè)OGH分別是銳角4ABC的外心重心垂心.求證一1OG=-OH證明按重心定理G是AABC的重心。o二/豆+o+oc)按垂心定理OH=OA+OB+OC文檔交流

由此可得-1.OG=-OH3三與三角形的“四心”有關(guān)的高考連接題及其應(yīng)用例1:（2003年全國(guó)高考題）O是平面上一定點(diǎn)，ABC是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=04+a（組+把），入孤+8），A^f-^BAC則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)4ABC的:t'2；＞，（A）外心 口）內(nèi)心81../（C）重心 （D）垂心事實(shí)上如圖設(shè)版AB事實(shí)上如圖設(shè)版ABAE= abIAFAC都是單位向量,AF——7—因易知四邊形AETF是菱形 故選答案B例2：（2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）O為4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，如果OA.OB——OB-OC——OC-oA，則O必為4人80的（）CA（A）外心（8）內(nèi)心 （C）重心（D）垂CA事實(shí)上OA.0B——OB.OCn(OA-OC).OB——0nCA.OB——0nOB故選答案D例3：已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足研+BC2=網(wǎng)2+Ca2=0C|2+AB2，則點(diǎn)O是三角形ABC的（）（A）外心缶）內(nèi)心（C）重心（D）垂文檔交流

事實(shí)上由條件可推出qa.0B=OB-OC=OC.OA選答案口例4:設(shè)0是平面上一定點(diǎn)，ABC是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足加=OA+w_aB+/），ds），則動(dòng)點(diǎn)P的軌ABcosBAC|cosC跡一定通過(guò)^ABC的（）5）外心（8）內(nèi)心 （6）重心 （D）垂事實(shí)上M4+4）?BC6（-閡+BC）;0 故選答案DABcosBACcosC 1 1例5：2005年全國(guó)（I）卷15題“1ABe的外接圓的圓心為0，兩條邊上的高的交點(diǎn)為OH=m(OA+OBOH=m(OA+OB+OC)，先解決該題：則“實(shí)數(shù)m=”DADC1BC，AH1BC，CH1AB，故DC，有OB=-0D，AH//DC故AHCD是平行四邊形，進(jìn)而DA1ABCH//DAAH=DC，DC=OC—OD=OC+OB*…OH=OA+AH=OA+DC故OH^0A+0B+0L所以評(píng)注：多卜心的向量表示可以完善為:若O為&BC的外心，H為垂心，則OH=0A+0B+0C。其逆命題也成立。文檔交流

例6.已知向量,0P10P1一|=|一|=1,0P 0P23.滿足條件+ + =0,0P 0P0P0P123求證：APPP是正三角形.（數(shù)學(xué)一冊(cè)（下）,123復(fù)習(xí)參考題五B例6.已知向量,0P10P1一|=|一|=1,0P 0P23.滿足條件+ + =0,0P 0P0P0P123求證：APPP是正三角形.（數(shù)學(xué)一冊(cè)（下）,123復(fù)習(xí)參考題五B組6題）證明： 由已知十0Pi同理 .二 .0P20P30P30P；=OP；0P1=而^P1P2P3是正三角形.，兩邊平方得0P.1P1P2PP23PP311，2二L，從V3反之，若點(diǎn)O是正三角形△P1P2P3的中心，則顯然有—+—+—=0且|0P10P20P3內(nèi)一點(diǎn)，++=0且|0P10P20P3心.0P10P10P20P3即O是4ABC所在平面0P20P3點(diǎn)O是正^P1P2P3的中四、練習(xí)1.已知ABC是平面上不共線的三點(diǎn)，0是三角形ABC的11重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足0P=3（.+1。J2）,則點(diǎn)P一定為三角形0A0B0C2ABC的（B）A.AB邊中線的「中點(diǎn)4.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）6.重心 D.AB邊的中點(diǎn)分析：取AB邊的中點(diǎn)M,則，0A+0B=20M11由=<+1+2）可得3 ,0P320A0B0C 0P=30Mr2MC^—2?二砂_2MC，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三一3一一一 - -―文檔交流等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過(guò)重心。2.在同一個(gè)平面上有。2.在同一個(gè)平面上有。/+42=。/+屋=℃2+筋2,凡外心8.內(nèi)心及一點(diǎn)0滿足關(guān)系式：NABC則0為4ABC的(D)仁重心口.垂心.已知4ABC的三個(gè)頂點(diǎn)ABC及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足:PA+PB+PCPA+PB+PC=0則P為4ABC的(C)人.外心 B.內(nèi)心C.重心口.垂心.已知O是平面上一定點(diǎn)，ABC是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP-OA八(AB+AC)，則P的軌跡一定通過(guò)^相6的9)A外心B.內(nèi)心C.重心口.垂心A..已知^ABC，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足:PA?PC+PA?PBPA?PC+PA?PB+PB?PC=0A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心.已知AABC，P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：Q,PA+b.PB+c?PC_0，則P點(diǎn)為三角形的(B)人外心B.