2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（藝考）第03講 二項式定理高頻考點（解析版）

文檔來源網(wǎng)絡(luò)僅供參考侵權(quán)刪除第03講二項式定理(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：二項展開式的通項及其應(yīng)用角度1：求二項展開式的特定項（或系數(shù)）角度2：兩個二項式之積中特定項（或系數(shù)）問題角度3：三項展開式中特定項（或系數(shù)）問題題型二：二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題題型三：項式系數(shù)的性質(zhì)角度1:二項式系數(shù)最大問題角度2：系數(shù)最大問題第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：二項式定理（1）二項式定理一般地，對于每個（），的展開式中共有個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：（）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：，等號右邊的多項式叫做的二項展開式.（3）二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項展開式中各項的二項式系數(shù)為(),項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,包含符號等.（4）二項展開式的通項二項展開式中的()叫做二項展開式的通項,用表示,即通項為展開式的第項:.通項體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.知識點二：二項式系數(shù)的性質(zhì)①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數(shù)相等：②增減性：當時，二項式系數(shù)遞增，當時，二項式系數(shù)遞減；③最大值：當為奇數(shù)時，最中間兩項二項式系數(shù)最大；當為偶數(shù)時，最中間一項的二項式系數(shù)最大.知識點三：各二項式系數(shù)和（1）展開式的各二項式系數(shù)和：；（2）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等：第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：二項展開式的通項及其應(yīng)用角度1：求二項展開式的特定項（或系數(shù)）典型例題例題1．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知的展開式的各項系數(shù)之和為81，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由題意，令得：，解得：．故選：B例題2．（2022·北京師范大學(xué)第三附屬中學(xué)模擬預(yù)測）的展開式中的常數(shù)項為___________.【答案】24【詳解】解：由通項公式得:,令,即可得,所以展開式的常數(shù)項為:.故答案為：24例題3．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）在的展開式中，的系數(shù)為8，則實數(shù)的值為______．【答案】2【詳解】的展開式的通項為，令，解得，所以系數(shù)是，解得．故答案為：2.例題4．（2022·浙江紹興·一模）的展開式中常數(shù)項為______.（用數(shù)字作答）【答案】84【詳解】根據(jù)通項公式,令,解得,所以,故答案為:84.同類題型歸類練1．（2022·四川廣安·高三階段練習(xí)（理））在展開式中的系數(shù)為24，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【詳解】解：展開式中的系數(shù)為，解得.故選：D.2．（2022·上海市延安中學(xué)高三期中）的二項展開式中，的系數(shù)為_________.【答案】【詳解】的二項展開式通項為，令，解得，所以，所以的系數(shù)為，故答案為：.3．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測（理））在的展開式中，的系數(shù)為，則______．【答案】##【詳解】的展開式中，含的項為，所以.故答案為：4．（2022·上海奉賢·高三期中）在的展開式中，的系數(shù)為______．【答案】1【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，即的系數(shù)為，故答案為：1角度2：兩個二項式之積中特定項（或系數(shù)）問題典型例題例題1．（2022·福建·福州三中高三階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【詳解】由知展開式中含有的項為：和，所以展開式中的系數(shù)為：4+8=12故選：C．例題2．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）的展開式中，的系數(shù)為_________.（用數(shù)字作答）【答案】–256【詳解】展開式的通項公式為：，展開式中含x項為：，∴展開式中含項的系數(shù)為–256.故答案為：例題3．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二期中）的展開式中，記項的系數(shù)為，則______．【答案】30【詳解】含有的項為，則；含有的項為，則；則.故答案為：30.同類題型歸類練1．（2022·浙江·高二期中）的展開式中所有項的系數(shù)和為________．【答案】0【詳解】令有，故的展開式中所有項的系數(shù)和為0.故答案為：02．（2022·河南省上蔡第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)）的展開式中含項的系數(shù)是__________（結(jié)果用數(shù)字表示）.【答案】【詳解】展開式中含項的系數(shù)是.故答案為：3．（2022·云南普洱·高二期末）的展開式的常數(shù)項為_______．【答案】【詳解】由于，故展開式的常數(shù)項為，故答案為：．角度3：三項展開式中特定項（或系數(shù)）問題典型例題例題1．（2022·全國·高二單元測試）的展開式中的系數(shù)為（

）A．42 B．56 C．62 D．66【答案】B【詳解】，故的系數(shù)為.故選B.一題多解可以看成4個相乘，展開式中可以在1個里選擇，在1個里選擇，在剩下的因式中選擇2，此時的系數(shù)為，也可以在3個中各選1個，剩下的因式中選擇2，此時的系數(shù)為，綜上所述，展開式中的系數(shù)為.故選B.例題2．（2022·遼寧·模擬預(yù)測）記的展開式中含項的系數(shù)為（其中），則函數(shù)的最小值為（

）A．﹣45 B．﹣15 C．0 D．15【答案】A【詳解】由二項式展開式得：含項的系數(shù)為，即．故選：A．例題3．（2022·全國·高二單元測試）的展開式中所有不含的項的系數(shù)之和為（

）A． B． C．10 D．64【答案】A【詳解】在的展開式中，通項公式為若展開式中的項不含，則，此時符合條件的項為展開式中的所有項.令，得這些項的系數(shù)之和為故選：同類題型歸類練1．（2022·江蘇·揚州中學(xué)高二階段練習(xí)）關(guān)于的展開式，下列結(jié)論不正確的是（

）A．所有項的二項式系數(shù)和為64 B．所有項的系數(shù)和為0C．常數(shù)項為 D．系數(shù)最大的項為第3項【答案】D【詳解】解：，可得二項式系數(shù)和為，故A正確；令得所有項的系數(shù)和為0，故B正確；常數(shù)項，故C正確；，系數(shù)為，最大為或，為第3項或第5項，故D錯誤.故選：D.2．（2022·安徽·高二期中）的展開式中含項的系數(shù)為（

）A．－120 B．120 C．－60 D．60【答案】A【詳解】由題意得，的展開式中含項為．故選：A．3．（2022·浙江邵外高二階段練習(xí)）的展開式的各項系數(shù)和為，則a的值是（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】B【詳解】∵的展開式的各項系數(shù)和為-32，令，可得，故（1-，解得，故選：B.題型二：二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題典型例題例題1．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）在的展開式中，所有二項式系數(shù)和為64，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【詳解】由題意可知：，故選：A例題2．（2022·浙江邵外高二期中）已知的展開式中第項和第項的二項式系數(shù)相等，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知可得，所以，.故選：A.例題3．（2022·浙江·紹興一中高三期中）的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為________.【答案】【詳解】在展開式中，所有項的二項式系數(shù)和為.故答案為：.例題4．（2022·山東濰坊·高三階段練習(xí)）若展開式的二項式系數(shù)之和為256，則展開式的常數(shù)項為______．【答案】5670【詳解】因為二項式系數(shù)和等于,所以,由二項式展開式通項公式,令解得,所以常數(shù)項為.故答案為:5670.例題5．（2022·上海市楊思高級中學(xué)高三期中）已知的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和為256，則展開式中的常數(shù)項為___________.【答案】1120【詳解】所有二項式系數(shù)的和為256,,,則展開式的通項公式為，令可得，展開式的常數(shù)項為.故答案為：1120.同類題型歸類練1．（2022·重慶市第十一中學(xué)校高二階段練習(xí)）求的展開式的第4項的二項式系數(shù)（

）A． B． C．15 D．20【答案】D【詳解】由二項展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得二項式的展開式的第4項的二項式系數(shù).故選：D.2．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）若的展開式中，第3項的二項式系數(shù)與第7項的二項式系數(shù)相等，則（

）．A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【詳解】根據(jù)二項式系數(shù)的對稱性知，則，故選：C．3．（2022·江蘇·揚州中學(xué)模擬預(yù)測）在的展開式中，二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和比為，則展開式的項數(shù)為___________【答案】【詳解】由題意，二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為，令，可得展開式的各項系數(shù)之和為，因為二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和比為，可得，即，解得，所以二項式展開式的項數(shù)為.故答案為：.4．（2022·北京八十中高二期中）二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為________.【答案】32【詳解】由，即二項式系數(shù)和為32.故答案為：325．（2022·山東德州·模擬預(yù)測）在的展開式中，二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和比為，則展開式的常數(shù)項為______．【答案】【詳解】解：由題意得：令，則，所以的展開式中，各項系數(shù)和為又二項式系數(shù)和為，所以，解得．二項展開式的通項，令，得所以展開式的常數(shù)項為．故答案為：．題型三：項式系數(shù)的性質(zhì)角度1:二項式系數(shù)最大問題典型例題例題1．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中高三階段練習(xí)）已知的展開式中，第3項的系數(shù)與倒數(shù)第3項的系數(shù)之比為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為第（

）項.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】的展開式通項公式為，則第3項的系數(shù)為，倒數(shù)第3項的系數(shù)為，因為第3項的系數(shù)與倒數(shù)第3項的系數(shù)之比為，所以，所以，解得，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5項，故選：C例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，且，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】由題意可知,,,即,，解得．故選：C．例題3．（2022·湖南·郴州一中高三階段練習(xí)）已知（）展開式中第5項和第6項的二項式系數(shù)最大，則其展開式中常數(shù)項是________.【答案】##【詳解】解：因為（）展開式中第5項和第6項的二項式系數(shù)最大，所以，解得所以展開式的通項為，由得，，所以常數(shù)項為第四項．故答案為：例題4．（2022·北京·東直門中學(xué)高二階段練習(xí)）在二項式的展開式中.(1)求的系數(shù)；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.【答案】(1)60(2)(1)（1）的展開式的通項公式為，當，即時，的系數(shù)，即的系數(shù)為60(2)二項式的展開式第項的二項式系數(shù)為，因為，即展開式中二項式系數(shù)最大的項為，故展開式中二項式系數(shù)最大的項為同類題型歸類練1．（2022·河南安陽·高三階段練習(xí)（理））已知的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則該展開式中各項系數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則∴展開式的通項為則該展開式中各項系數(shù)若求系數(shù)的最小值，則為奇數(shù)且，即，解得∴系數(shù)的最小值為故選：C.2．（2022·湖南益陽·高二期末）在的展開式中，若第5項為二項式系數(shù)最大的項，則n的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】ABC【詳解】解：已知的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則，或，或，故選：ABC．3．（2022·北京·牛欄山一中高二期中）在已知的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為32．(1)求；(2)求展開式各項系數(shù)之和；(3)求展開式中二項式系數(shù)取得最大值的項．【答案】(1)(2)(3)，(1)由題知：，解得.(2)因為，令得，所以展開式各項系數(shù)之和為.(3)因為，所以展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，因為，，，.4．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知的展開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992．求展開式中二項式系數(shù)最大的項．【答案】，【詳解】解：令，則展開式中各項系數(shù)和為，又∵展開式中二項式系數(shù)和為，∴，即．∵，展開式共6項，二項式系數(shù)最大的項為第三、四兩項，∴，．角度2：系數(shù)最大問題典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）按降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第項和第項 B．第項C．第項和第項 D．第項【答案】B【詳解】因為的展開式通項為，其中第項和第項的二項式系數(shù)最大，但第項的系數(shù)為正，第項的系數(shù)為負，故按降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項是第項.故選：B.例題2．（2022·河南河南·三模（理））已知的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第四項的系數(shù)之比為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為______．【答案】1120【詳解】設(shè)展開式的通項為，故第四項的系數(shù)為，倒數(shù)第四項的系數(shù)，所以，，解得，所以第五項二項式系數(shù)最大，故最大項的系數(shù)為.故答案為:1120例題3．（2022·江蘇宿遷·高二期中）在的展開式中，第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列.(1)證明：展開式中沒有常數(shù)項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．【答案】(1)證明見解析(2)第二項和第三項(1)證明：由二項式定理可知：第2,3,4項的二項式系數(shù)為依次成等差數(shù)列，，，（舍）或.二項展開式中第項，令，所以展開式中沒有常數(shù)項得證.(2)由（1）知二項展開式中第項的系數(shù)為，設(shè)第項系數(shù)最大，則且，化簡得，又或2，則展開式中系數(shù)最大的項是第二項和第三項.例題4．（2022·全國·高二單元測試）在的展開式中.求：（1）所有項的系數(shù)和；（2）的系數(shù)；（3）系數(shù)最大的項.【答