學(xué)習(xí)-大三上概率論課件

第四章第四章引例獨立射擊5000次, 為0.0001,表示命中的次數(shù)，則~B(5000,0.0001)已知EP11P1)1P1C0(0.001)0大量重復(fù)試驗中P(500)P(500) kpk(1pk4.1.1定理4.1.1定理4.1.1設(shè)n~B(npn),~P(),npnn則limCkpk(1p kn k使用條件：n充分大，p很小(0.1)，而np適當（可查表）Cp ekkknk 記npnCkpk(1pn n(n1)(nk1)kn1nn n111k1k (nnk n nk!n1n nnek,(nkk二項分布與泊松分布的比較類似的,定理定理設(shè) 量~H(n,M,N)，則當N時近似地服從二項分B(n,p)，CkMNMCkpkqnk,k0,1,min{M,n} N其中pMq1pNnN注意：當N0.1，不放回抽樣與放回抽樣無大即 超幾何分布可用二項分布來近似設(shè)一批產(chǎn)品共2000個,其中40個次品隨機抽取100個(1)不放回抽樣；(2)放回抽樣解(1)不放回抽次品數(shù)~H(100,40,kP(k)40C,k0,1,2,,總數(shù)N=2000,抽樣數(shù)n=100,所以可用二項分布近似計算超幾何分P(k)401960 Ckpk(1p)100k,k0,1,2,,CC其中，p40002(2)次品數(shù)(2)次品數(shù)~B(100, n=100,P(k)Ckpk(1p)100k,k0,1,np1000.022大小適中。kP(k)Cp(1 e,k0,1,2,,k 2k4.1.2客觀背景：客觀實際中，許多隨 量是由大量相互獨立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小素在的響所的用很的但起卻對總和有顯著影響，這種隨量往往近似地服從正態(tài)分布。 獨立同分布設(shè) 量序列1,2,,n,獨立同一分布E(),D()0,k1,2kkxklimP x12xte2 n注記YnkkYn為n 量k即n足夠大時，Yn的分布函數(shù)近似于標 limPYnxY似N或knYnknnN(nn2 量和的極限分N( nn—03推論：如果 布，且E Di，，i則n充分大時，有下面的近似ninP(z1z2)(z2)(z1z1,z2例火轟擊敵方防御工事例火轟擊敵方防御工事100次,每次轟擊命中的彈數(shù)服從同一分布,其數(shù)學(xué)期望為2,標準差為1.5.若各次轟擊命中的彈數(shù)是相互獨立的,求100次轟至少命中180發(fā)彈的概率命中的彈數(shù)不到200發(fā)的概率解：設(shè)k表示第k次轟擊命中的彈數(shù) E()2,D()1.52,k1,kk 1,2 相互獨立中的彈kE()200,D()k由獨立同分布中心極限定理,200近似NP{P{200180(1.3)1P{0P{0200200200 P{13.330}(0)例計算機進行加法計算時，把每個加數(shù)取于它的整數(shù)來計算。設(shè)所有的取整誤差是相互獨立的隨量，并且都在區(qū)間0,.上服從均勻300個數(shù)相加時誤差總和的絕對值小10的概率表示第i個加數(shù)的取整誤差，則在區(qū)間[-0.5,0.5]上服從均勻分布Ei0.50.52，即Di[0.5( 122由定理推注意nnkn ( Pz1z2Pz1 z2(z2)(z1P10 P10k 11300 300 P122300 1(2)(2)2(2)1答：300個數(shù)相加時誤差總和的絕對值小于10的概率0.9544。4.1.2生產(chǎn)線上每件產(chǎn)品的組裝時間服從指數(shù)分布各產(chǎn)品的組裝時間獨立,平均為10min,組裝100件產(chǎn)品需要15-20小時的概率以不低于95%的概率,在16小時內(nèi)最多可以組裝多少件解第i件產(chǎn)品的組裝時間(min)~E(),10EiiD100(1P(156020P900100100100 100 100100120010010()(2)(1)(2)(1)100.950.95P(i16(2)設(shè)16小時組裝nnin nPi 96010n 96010n n 10n10查表96010n10解n故,16小時以至少95%的概率保證最多可組裝81定理二項分布的中心極限定理(德莫佛－ 斯設(shè)n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)為n事limP{μnnp(1x1e2定理定理表明：若n服從二項分布，當n很大時的標準化 np(1近似由此可知：當n很大，0<<1是一個定值時（或者說，np也不太小時），服從二項分布Bn的 量n近似服從正態(tài)分布P(ab)(bnp)(anpn修正公或P(ab)(b0.5np)(a0.5np說明：(1)n充分大時，服Bn,p)的nN(np,npq)；當抽取比例小于10%時，超幾何分布用二當次品率小于10%時，二項分布用普松分 某次課堂測驗，有200道選擇題，每一題有4個設(shè)答對的題數(shù)為X，則E(X)800.2520，D(X)800.250.75X20近~N(）P{25X30}P{2520X2030} P{1.29X20 Φ(2.58)某工廠有200某工廠有200臺同類型的機器，每臺機器工作時需要的電功率為Q千瓦。由于工藝等原因，每臺機器的實際工作時間只占全部工作時間的75%，各臺機器是否工作是相互獨立的。求：(1)任一時刻有144160臺機器正在工作的(2)需要供應(yīng)多少電功率可以保證所有機器正常工作的概率不小于0.99？解：已知n200,p0.75qnp150,npqP(144160)160 140)37)37=(1.63)(0.98)=(1.63)[1=09484[108365]=0144160臺機器正在工作的概率為0.7849?！?2)設(shè)任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)不超過m則按題意 P(0m)09由D-L定理：m37.5)(37.5)因則m( )(245)037537.5)0.99，而2.33)所所m15375233由此得：m164即m165所以，需要供應(yīng)165Q千瓦的電功率可以保證所有機器正常工作的概率不小于0.99。例：某藥廠生產(chǎn)某種藥品，聲稱對某疾病的治愈率為現(xiàn)為了檢驗說法的正確性，任意抽取100個此種疾病的患進行臨床試驗，如果有多于75人治愈，則此藥通過檢驗，試藥實際治愈率為80％；（2）此藥實際治愈率為70％解：設(shè)為100名臨床試驗患者中治愈的人數(shù)，n100（1）p80%，故~B(100,0P(75)1P{75}1(7505np1(1.125)(11.25)＝0.8697（2（2）此時p70%，故~B(100,0P(75)1P{75}17505)1（12）＝1－088490從而第一種情況通過檢驗的可能性較大，而第二通過的可能性很4.1.5設(shè)~P(20)試用中心極限定理近似計算P(16解由泊松分布的可加性,ii這里,i~P(1i1,2,20),相互獨立Ei1,Di由獨立同分布中心極限定理P(1621)P(162012012120120 20 20用修(210.5201)160.520(20)用泊松公式精確計算P(1621) 例設(shè)有一例設(shè)有一 ，其中良種占 比例與1/6比較上下不超過1%的概率解設(shè)X表示6000 則X~B(6000,1/6由德莫佛—有X~N6PPX10.01PX1000 106010009405000 50006 50006 500062 10.962450006比較幾個近似計算的結(jié)二項分布(精確結(jié)果)PX10.016000中心極限定PX10.016PX10.016切不等PX10.016000思考思考的變化是個相互獨立且均值為0,2=2的 XnXn1Yn(n在96與104之間的概率.X0表示今天該商品的價格,X18為天后該商品的價格,X18X17Y18X16Y17Y18X0P(96X18104)P(4Yi得 36Y4(2/3)(2/3)2(2/3)20.74714.24.2p(n定如:n隨定義設(shè)1,2,,n,量序列ξ量，若對于任給的正數(shù) 總成limP{||}n記量序 1,2,,n,依概率收斂于ξn注limP{|n|1limP{|n|定理4.2.1貝努里定理4.2.1貝努里（Bernoulli）大數(shù)定μnnA發(fā)生的次數(shù)pA發(fā)生的概率 lim有p或limPpn即PnnPE引入r.v.序列則k第k次試驗A第k次試驗A發(fā)E(k)p,D(k),1 相互獨 nnkk1 切Enp,Dn1npqn 不等nn00n Dn n 即0p 0,(n1)n故limpnn貝努在概率的統(tǒng)計定義中,事件A發(fā)生的頻 “穩(wěn)定于n事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是指：頻率n與n有較p是小概率事件,因而在n大時可以用頻率近似代替p已nP已nPnp b ab) ) P(znnpz)(z)(z PnpPnnp nnPn pq n nP 2 1 pq pq頻率替代概率的誤差估計,n,μn,ε,β,知道三個,公 電的收視率p 把握保證“估計值與收視率p之間的差異不大于5%”,解0.050.90,pq1/4,要求n由Pn 2n1 pqpq n0.901(1.645)2n1.645npq1.6450.05 pq0.25n1082.410.25270.6 在貝努利定理的證明過程中,ξk是相互獨01n依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望p而p n 1 1k kn n E p n1n1nn n knk定理4.2.2切 大數(shù)定若12，n,，是兩兩不相關(guān)的隨機變量序列，方差存在且一致有界，即存在常數(shù)C，使得DiC(i1,2,)，則對任意的n證明：有l(wèi)im iEi|}111ni ni不PE1D(1n 1nn1inn|}niD(ii2i i1，2，，n,兩兩不相1D（nn1n）DnCCiin2innlimlim 1nn1i i in|}i1nP1n n定理表明，不相關(guān) 量序列ξ，如果方差有nn同的上界，則1與其數(shù)學(xué)期望1E()iniin常小的概率接近于即當n充分1n差不多不再是隨機的接近于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均的概率接近于將定理條件放松,定理4.23若 量序列