《數(shù)學(xué)歸納法》設(shè)計(jì) 省賽一等獎(jiǎng)

《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)（2）【學(xué)情分析】：數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的直接證明的方法，在證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法往往是非常有用的研究工具，它通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取無限多個(gè)正整數(shù)的情形。【教學(xué)目標(biāo)】：（1）知識與技能：理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含意和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。（2）過程與方法：初步掌握歸納與推理的方法；培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)。（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)內(nèi)在美的感悟能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用)，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性；遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)?！窘虒W(xué)課時(shí)】：1課時(shí)【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：一、提出問題1.問題1：盒子里有八個(gè)乒乓球，如何證明里面的球全為白色？以試驗(yàn)的方式，從盒子中先取5次球，觀察顏色并猜想其余球的顏色，判斷猜想是否正確（完全歸納法）？2.考察部分對象，得到一般結(jié)論的方法，叫做不完全歸納法。不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確?？疾烊繉ο?，得到一般結(jié)論的方法，叫做完全歸納法。完全歸納法得到的結(jié)論一定正確。3.舉2個(gè)小例子說明不完全歸納法不一定正確。小明的爸爸有3個(gè)兒子，老大說：“我叫1毛”，老二說：“我叫2毛”，老三說————？（我聲明，我不叫3毛，我叫小明）。因?yàn)榫匦闻c正方形的對角線都相等且互相平分，所以說所有四邊形的對角線都相等且互相平分。4.問題2：請大家回憶，課本是如何得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的？（板書）歸納出的結(jié)論——正確。5.問題3：對于數(shù)列{an}，已知（n=1,2,……），求出，我們猜想其通項(xiàng)公式為。這個(gè)結(jié)論正確嗎？生：討論、交流。6.提出問題：很多時(shí)候用完全歸納法證明結(jié)論是否正確是不合適的，我們借助不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)或猜想結(jié)論，那么如何解決不完全歸納法存在的問題呢？（只有經(jīng)過嚴(yán)格的證明，不完全歸納得出的結(jié)論才是正確的。）通過實(shí)際例子了解不完全歸納法與完全歸納法的概念復(fù)習(xí)回顧提出問題，引發(fā)思考通過一系列的問題引出新課二、數(shù)學(xué)歸納法原理1.由多米諾骨牌引入數(shù)學(xué)歸納法[投影]多米諾骨牌游戲提出兩個(gè)問題：若第一塊不倒，出現(xiàn)什么情況？若中間某塊倒下，不能使其下一塊倒下，出現(xiàn)什么情況？所以多米諾骨牌游戲能進(jìn)行下去要滿足兩個(gè)條件。（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。2．參照多米諾骨牌的原理，我們設(shè)想：在證明某些與正整數(shù)有關(guān)問題時(shí)，先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1或2)時(shí)，命題成立（即骨牌的第一塊能倒），然后假設(shè)只要由n=k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，就能推出n=k+1時(shí)命題也成立（即只要某一塊倒下，就能使其下一塊也倒下），那么就證明這個(gè)命題成立（所有骨牌都能倒下）。我們稱這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。（嚴(yán)謹(jǐn)，一而二，二而三，……以至無窮）數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍、原理電腦多媒體課件能夠強(qiáng)化對學(xué)生感觀的刺激，它創(chuàng)設(shè)生動、形象、直觀的教學(xué)情景，可以極大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加大一節(jié)課的信息容量，幫助學(xué)生理解和掌握知識三、應(yīng)用給出問題3的數(shù)學(xué)歸納法的證明，將每一步驟標(biāo)號。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法的證題思路和步驟。數(shù)列{an}中，已知（n=1,2,……），則猜想其通項(xiàng)公式為。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，根據(jù)已知及假設(shè)，所以即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立。由（1）（2）可以斷定，等式對一切n∈N*都成立強(qiáng)調(diào):要用到歸納假設(shè)；列出證明n=k+1成立時(shí)的目標(biāo)通過此例引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟。詳細(xì)的板書推導(dǎo)利于學(xué)生總結(jié)歸納出數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟及更進(jìn)一步地理解原理四、歸納明確數(shù)學(xué)歸納法的“起動步驟”和“遞推步驟”這“兩個(gè)步驟”以及“一個(gè)結(jié)論”。用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的具體步驟是：(1)（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)時(shí)命題成立；(2)（歸納遞推）假設(shè)n=k(k∈N*且k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對從n0開始的所有的自然數(shù)n都正確。強(qiáng)調(diào)：（1）上面的證明第一步是遞推基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩者缺一不可。（2）第一步要證明，n=k+1時(shí)也要證明，且過程中一定要用到假設(shè)。閱讀課本：P93倒數(shù)第5行至P94例1上方。培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力培養(yǎng)閱讀習(xí)慣五、應(yīng)用例1用數(shù)學(xué)歸納法證明板書解答過程，注意解題規(guī)范，嚴(yán)防出現(xiàn)“依次類推”式的不完全歸納法；強(qiáng)調(diào)n=k成立必須應(yīng)用在證明n=k+1成立的過程中，不可應(yīng)用等差數(shù)列求和公式證明n=k+1成立。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左式=1，右式=12，等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立即成立則當(dāng)n=k+1時(shí)所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立綜合（1）（2）知，等式對于任意n∈N*都成立。演示此求證式的含義保證學(xué)生及時(shí)地在充分理解的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)歸納法的解題方法及步驟六、練習(xí)鞏固P95.練習(xí)1.實(shí)物投影學(xué)生解答過程，及時(shí)點(diǎn)評。（學(xué)生板演練習(xí)）通過講評可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中存在的問題，予以更正。七、知識小結(jié)適用：與正整數(shù)有關(guān)的命題重點(diǎn)：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉通過小結(jié)總結(jié)所學(xué)，突出重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)難點(diǎn)十、課后作業(yè)習(xí)題 A組1（2）習(xí)題B組1通過作業(yè)反饋，了解對所學(xué)知識掌握的效果，以利課后解決學(xué)生尚有疑難的地方十一、設(shè)計(jì)反思本節(jié)課讓學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的原理及證題步驟有一個(gè)初步的認(rèn)識，所選例題及練習(xí)均是較基礎(chǔ)和簡單的。在教學(xué)過程中要強(qiáng)調(diào)：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，難在第二步。即在假設(shè)n=k命題成立時(shí)，推出n=k+1時(shí)命題也成立。要順利地完成這一步，主要依賴于觀察、歸納、恒等變形等方面的能力。在推導(dǎo)證明中必須運(yùn)用到“歸納假設(shè)”，否則不是數(shù)學(xué)歸納法?！揪毩?xí)與測試】：1．在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證（）A.n=1時(shí)成立 B.n=2時(shí)成立C.n=3時(shí)成立 D.n=4時(shí)成立答案：C解：由于多邊形最少是三角形，故選C。2.某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)時(shí)該命題成立，則一定可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立?，F(xiàn)已知n=5時(shí)，該命題不成立，那么應(yīng)有（）A.當(dāng)n=4時(shí)，該命題成立 B.當(dāng)n=6時(shí)，該命題成立C.當(dāng)n=4時(shí)，該命題不成立 D.當(dāng)n=6時(shí)，該命題不成立答案：C解：n=6時(shí)命題成立與否不能確定，排除B、D；假設(shè)n=4時(shí)，該命題成立，由已知得n=5時(shí)該命題成立，與已知條件矛盾，故選C。3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為_______________________________。答案：1+a+a2解：由題意可知等式左端共有n+2項(xiàng)，∴當(dāng)n=1時(shí)，左端有3項(xiàng)為1+a+a2。4.數(shù)列{an}中，已知（n=1,2,……），計(jì)算，猜想的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明。解：猜想：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，根據(jù)已知及假設(shè)，所以即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立。由（1）（2）可以斷定，等式對一切n∈N*都成立5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：n邊形的內(nèi)角和為證明：（1）當(dāng)n=3時(shí)，三角形內(nèi)角和為，滿足。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即k邊形的內(nèi)角和為則當(dāng)n=k+1時(shí)，相當(dāng)于多出了一個(gè)三角形，內(nèi)角增加了，所以k+1邊形的內(nèi)角和為即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立。綜合（1）（2），命題對于任意成立。6.若n為正整數(shù)，求證：n3+5n能被整除。證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然