全等三角形.第2講.全等三角形與中點問題.教師版

..第二第二講全等三角形與中點問題中考要求中考要求板塊考試要求A級要求B級要求C級要求全等三角形的性質及判定會識別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質,會用全等三角形的性質和判定解決簡單問題會運用全等三角形的性質和判定解決有關問題知識點睛知識點睛三角形中線的定義：三角形頂點和對邊中點的連線三角形中線的相關定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一<底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合>三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．中位線判定定理：經過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊．中線中位線相關問題<涉及中點的問題>見到中線<中點>,我們可以聯(lián)想的內容無非是倍長中線以及中位線定理<以后還要學習中線長公式>,尤其是在涉及線段的等量關系時,倍長中線的應用更是較為常見．重、難點重、難點重點：重點：主要掌握中線的處理方法,遇見中線考慮中線倍長法難點：全等三角形的綜合運用例題精講例題精講版塊一倍長中線<20XXXX市中考題>在△中,,則邊上的中線的長的取值范圍是什么？中線倍長,[點評]此題很好的運用中線倍長的方法,若運用其他的方法將會更加麻煩[補充]已知：中,是中線．求證：．如圖所示,延長到,使,連結,利用證得≌,∴中,,∴∴<20XXXX市高中階段教育學校招生考試>已知：如圖,梯形中,,點是的中點,的延長線與的延長線相交于點．求證：．∵點是中點∴又∵,在延長線上∴,在與中∴<XX省20XX初中畢業(yè)生學業(yè)考試<XX市>數(shù)學試卷>如圖,在中,是邊的中點,,分別是及其延長線上的點,．求證：．∵,∴．又∵,,∴．如圖,中,,是中線．求證：．延長到,使,連結．在和中∴∴,在中,∵,∴∴,∴．<如果取中點用中位線也可證,目前還不能>如圖,已知在中,是邊上的中線,是上一點,延長交于,,求證：．延長到,使,連結∵,,∴∴．又∵,∴∴∴,∴．如圖所示,在和中,、分別是、上的中線,且,,,求證．如圖所示,分別延長、至、,使,．連接、,則,．因為,所以．在和中,,,,故,從而,．同理,,則,．因為,所以．在和中,,,,所以,從而,,故,則．在和中,,,,故．如圖,在中,交于點,點是中點,交的延長線于點,交于點,若,求證：為的角平分線．延長到點,使,連結．在和中∴∴,∴,而∴又∵∴,∴∴為的角平分線．已知為的中線,,的平分線分別交于、交于．求證：．延長到,使,連結、．易證≌,∴,又∵,的平分線分別交于、交于,∴,利用證明≌,∴,在中,,∴．在中,,點為的中點,點、分別為、上的點,且．以線段、、為邊能否構成一個三角形？若能,該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？延長到點,使,連結、．在和中∴∴,∵∴∴在和中∴∴故以線段、、為邊能構成一個直角三角形．如圖所示,在中,是的中點,垂直于,如果,求證．延長至,使,連接、、．因為,,,則．從而,．而,,故,因此,即,則,即．因為,故,則．為Rt斜邊上的中線,故．由此可得．<年XX省初中數(shù)學聯(lián)賽復賽·初二組>在中,是斜邊的中點,、分別在邊、上,滿足．若,,則線段的長度為_________．如圖、延長至點,使得,聯(lián)結、．由,有．又,．如圖所示,,是的中點,,,求證．如圖所示,設交于,要證明,實際上就是證明,而條件不好運用,我們可以倍長中線到,連接交于點,交于點．容易證明則,,從而,而,,故從而,故而故,亦即．版塊二、中位線的應用是的中線,是的中點,的延長線交于．求證：．取的中點,連接易得,為的中點,所以,從而可證得：．如圖所示,在中,,延長到,使,為的中點,連接、,求證．解法一：如圖所示,延長到,使．容易證明,從而,而,故．注意到,,故,而公用,故,因此．解法二：如圖所示,取的中點,連接．因為是的中點,是的中點,故是的中位線,從而,由可得,故,從而,．已知：ABCD是凸四邊形,且AC<BD．E、F分別是AD、BC的中點,EF交AC于M；EF交BD于N,AC和BD交于G點．求證：∠GMN>∠GNM．取AB中點H,連接EH、FH．∵AE=ED,AH=BH∴EH∥BD,EH=BD∴∠GNM=∠HEF∵AH=BH,BF=CF∴FH∥AC,FH=AC∴∠GMN=∠HFE∵AC<BD∴FH<EH∴∠HEF<∠HFE∴∠GMN>∠GNM在中,,,以為底作等腰直角,是的中點,求證：且．過作交于∵∴又∵,,∴,∴∴又∵∴故∴且．如圖,在五邊形中,,,為的中點．求證：．取中點,中點．連結、、、,則根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質及中位線的性質有,,,,∴,∵,∴．∴．同理可證．∵,∴．∴,即,∴,∴．<"祖沖之杯"數(shù)學競賽試題,中國國家集訓隊試題>如圖所示,是內的一點,,過作于,于,為的中點,求證．如圖所示,取、的中點、,連接、、、,則有且,且．因為和都是直角三角形,故,,從而,．又因為,,而,且,所以,從而,故．<全國數(shù)學聯(lián)合競賽試題>如圖所示,在中,為的中點,分別延長、到點、,使．過、分別作直線、的垂線,相交于點,設線段、的中點分別為、．求證：<1>；<2>．⑴如圖所示,根據(jù)題意可知且,且,所以．而、分別是直角三角形、的斜邊的中點,所以,,又已知,從而．<2>由<1>可知,則由可得．而、均為等腰三角形,所以．已知,如圖四邊形中,,、分別是和的中點,、、的延長線分別交于、兩點．求證：．連接,取中點,連接、．∵,,∴,,同理,,∵,∴,∴∵,∴,,∴[點評]"題中有中點,莫忘中位線"．與此很相近的幾何思想是"題中有中線,莫忘加倍延",這兩個是常用幾何思想,但注意倍長中線的主要目的是通過構造三角形全等將分散的條件集中起來．平移也有類似功效．<20XX大興安嶺地區(qū)初中畢業(yè)學業(yè)考試>已知：在中,,動點繞的頂點逆時針旋轉,且,連結．過、的中點、作直線,直線與直線、分別相交于點、．⑴如圖1,當點旋轉到的延長線上時,點恰好與點重合,取的中點,連結、,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質,可得結論<不需證明>．⑵當點旋轉到圖2或圖3中的位置時,與有何數(shù)量關系？請分別寫出猜想,并任選一種情況證明．圖2：圖3：證明：在圖2中,取的中點,連結、∵是的中點,是的中點∴,∴同理,,∴∵∴,∴∴證明圖3的過程與證明圖2過程相似．如圖,AE⊥AB,BC⊥CD,且AE=AB,BC=CD,F為DE的中點,FM⊥AC．證明：FM=AC．過點E、D、B分別作AC的垂線,垂足分別為H、K、N．由基本圖可知,△AEH≌△BAN,△BCN≌△CDK,故AH=BN=CK,EH=AN,DK=CN．又EF=DF,FM⊥AC,EH⊥AC,DK⊥AC,故FM=<EH+DK>=<AN+NC>=AC<1991年XX市初二數(shù)學雙基賽題>已知：在△ABC中,分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM,和CAN,P是邊BC的中點．求證：PM＝PN證明：取AB中點Q,AC中點R連結PQ,PR,MQ,NRPQ∥AC,PQ＝AC＝NRPR∥AB,PR＝MQ∠PQM＝∠PRN<兩邊分別垂直>∴△PQM△NRP,PM＝PN家庭作業(yè)家庭作業(yè)如圖,在等腰中,,是的中點,過作,,且．求證：．本題相對例題簡單一些．連結,則．∵,,∴∴,∴．如圖,已知在中,是邊上的中線,是上一點,且,延長交于,與相等嗎？為什么？延長到,使,連結∵,,∴．∴．又∵,∴∴,而∴,故．如右下圖,在中,若,,為邊的中點．求證：．如右下圖,則取邊中點,連結、．由中位線可得,且．為斜邊上的中線,∴．∴,又∵,即,∴,∴,∴．月測備選月