第八節(jié)多元函數(shù)極值與最值

一、多元函數(shù)的極值二、最值應用問題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有說明:

使偏導數(shù)都為0的點稱為駐點.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在故時,具有極值定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)例1.求函數(shù)解:第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數(shù)在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為例3.討論函數(shù)極值.例4.討論函數(shù)極值.例5.求由極值.確定函數(shù)二、函數(shù)的最大值于最小值函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達到最值

最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)例6.解:

設水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應存在,的有蓋長方體水問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.例7.求函數(shù)在圓域上的最大值與最小值.三、條件極值（拉格朗日乘數(shù)法）極值問題無條件極值:條件極值:對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制設拉格朗日函數(shù)求二元函數(shù)下的極值.解方程組在條件求駐點.1.設2.解方程組3.可得到條件極值的可疑點.求函數(shù)下的極值.在條件例8.在第一卦限作的切平面，解:設使該平面與坐標面圍成的四面體體積最小，求切點與體積。則切平面的法向量為即切平面方程求函數(shù)滿足條件下的最值.例9求原點到曲線的最長，最短距離.分析：

求函數(shù)滿足條件下的最值.解：例10求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.約束條件:目標函數(shù):作拉氏函數(shù)內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步利用充分條件判別駐點是否為極值