(完整版)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用期末復(fù)習(xí)題高等數(shù)學(xué)下冊(cè)(上海電機(jī)學(xué)院)

第八章偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、選擇題1.若u=u(x,y)是可微函數(shù)，且則[A]A.B.C.-1D.12.函數(shù)[D]A.在點(diǎn)(-1,3)處取極大值C.在點(diǎn)(3,-1)處取極大值B.在點(diǎn)(-1,3)處取極小值D.在點(diǎn)(3,-1)處取極小值3.二元函數(shù)的[B]在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微A.充分而非必要條件C.充分必要條件B.必要而非充分條件D.既非充分也非必要條件4.設(shè)u=+2+3+xy+3x-2y-6z在點(diǎn)O(0,0,0)指向點(diǎn)A(1,1,1)方向的導(dǎo)數(shù)[D]A.B.C.D.5.函數(shù)[B]B.在點(diǎn)(1,1)處取極小值C.在點(diǎn)(0,0),(1,1)處都取極大值D.在點(diǎn)(0,0),(1,1)處都取極小值A(chǔ).在點(diǎn)(0,0)處取極大值6.二元函數(shù)在點(diǎn)處可微是在該點(diǎn)連續(xù)的[A]A.充分而非必要條件C.充分必要條件B.必要而非充分條件D.既非充分也非必要條件7.已知,則=[B]A.B.C.D.8.函數(shù)（x>0，y>0）[D]A.在點(diǎn)(2,5)處取極大值C.在點(diǎn)(5,2)處取極大值B.在點(diǎn)(2,5)處取極小值D.在點(diǎn)(5,2)處取極小值9.二元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的是在點(diǎn)處可微的[A]A.必要而非充分條件B.充分而非必要條件C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件10.曲線x=t,y=,z=所有切線中與平面x+2y+z=4平行的切線有[B]A.1條11．設(shè)A.B.2條C.3條D.不存在，則BB.C.D.12．為使二元函數(shù)沿某一特殊路徑趨向的極限為2，這條路線應(yīng)選擇為BA.B.C.D.13．設(shè)函數(shù)滿足，且C.，，則BA.B.D.14．設(shè)A.，則CB.C.D.15．為使二元函數(shù)在全平面內(nèi)連續(xù)，則它在處應(yīng)被補(bǔ)充定義為BA.-1B.0C.1D.16．已知函數(shù)，則CA.B.C.D.17．若，則BA.B.C.D.18．若A.，則在點(diǎn)D處有B.C.D.19．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是AA.C.B.D.兩者大小無法確定20.函數(shù)，則極限（C）.(A)等于121.函數(shù)(B)等于2(C)等于0(D)不存在在點(diǎn)(D).(A)有極大值(B)有極小值(C)不是駐點(diǎn)(D)無極值22.二元函數(shù)在原點(diǎn)處（A）.(B)可微(D)偏導(dǎo)存在，但不可微(A)連續(xù)，但偏導(dǎo)不存在(C)偏導(dǎo)存在，但不連續(xù)23．設(shè)，而，具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則（B）.(A)(B)(C)(D)24．函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)存在的（D）.(A)必要而非充分條件(C)充分必要條件25．函數(shù)(B)充分而非必要條件(D)既非充分又非必要條件的極大值點(diǎn)是（D）.(A)(B)(C)(D)26．設(shè)，則（B）.(A)(B)(C)(D)27．極限（B）.(A)等于28．(B)不存在(C)等于(D)存在且不等于及若在點(diǎn)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則（B）.(A)在點(diǎn)連續(xù)(B)在點(diǎn)連續(xù)(C)(D)A,B,C都不對(duì)29.設(shè)函數(shù)(A)．，則=（A）．(B)．(C)．(D)．30.已知（A）（C）（B）（C）（D）31．函數(shù)z=的定義域是（D）（A.）D={(x,y)|x2+y2=1}（C.）D={(x,y)|x2+y2<1}（B.）D={(x,y)|x2+y21}1}（D.）D={(x,y)|x2+y2，則下列式中正確的是（C）；；32．設(shè)；；33．設(shè)34．已知35.設(shè)，則（D）；；；；；，則（C）；；．，則（B）（D）2.（A）6（B）3（C）-236.設(shè)（B）（A）（C）（B）（D）37.設(shè)由方程（A）確定的隱函數(shù)（B）（B）（C）（D）38.二次函數(shù)A.1＜的定義域是（D）≤4；≤4；B.–1≤＜4；＜4。C.–1≤D.1＜39.在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)是可微分的（B）A.充分必要條件；B.充分非必要條件；C.必要非充分條件；D.非充分又非必要條件。40.拋物面A.上點(diǎn)P處的切平面平行于平面，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（C）；B.；C.；D.41.設(shè)，則︱（B）A.；B.；C.；D.。42.設(shè)二元函數(shù)A.（1，0）；的極小值點(diǎn)是（A）B.（1，2）；C.（-3，0）；D.（-3，2）43.設(shè)（B）（D）1（A）0（B）44.設(shè)（C）-1是由方程決定的隱函數(shù)，則（D）（A）45.設(shè)（B）（C）（D）(B)（A）（B）（C）（D）二、填空題1.2.函數(shù)u=ln()在點(diǎn)M(1,2,-2)的梯度gradu={1,2,-2}3.24.已知是可微函數(shù)，則5.=46．設(shè)，則＝7．曲線8．設(shè)在點(diǎn)，則處的切線與Y軸的正向夾角是9．函數(shù)10．函數(shù)11.函數(shù)的間斷點(diǎn)是在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)是的定義域是12.二元函數(shù)的定義域是13．函數(shù)14.函數(shù)在原點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)為的定義域是15.曲面在點(diǎn)處的法線方程為16．極限17．若，則18．設(shè)有函數(shù)19.函數(shù)，則的極大值點(diǎn)是20．設(shè)函數(shù)則方向?qū)?shù)21．設(shè)函數(shù)22．曲面上一點(diǎn)（1，-1，3）處的切平面方程為23.在點(diǎn)P（0,1,3）處的切平面方程2y+z=5，法線方程，則全微分dz=24、設(shè)25、設(shè)z=26、已知=27.=28.已知，則29.已知,則三、計(jì)算與證明1.設(shè)z=f(x+y,xy)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求解：==2.求平面和柱面的交線上與xoy平面距離最短的點(diǎn)解：設(shè)(x,y,z)是交線上任一點(diǎn)，由已知，距離函數(shù)f(x,y,z)=z又設(shè)令：(1)與(2)相比，得：代入(5),得：，；相應(yīng)的有：從而得交線上的兩點(diǎn)：其中：點(diǎn)，到xoy平面的距離是點(diǎn)到xoy平面的距離是比較得：所求點(diǎn)是3.證明極限不存在證明：當(dāng)(x,y)沿著曲線=x趨于(0,0)時(shí)，＝當(dāng)(x,y)沿著曲線2=x趨于(0,0)時(shí)，＝所以，極限不存在4.設(shè)z=xf(xy,),求解：==5.求曲線x=t-sint,y=1-cost,z=4,在點(diǎn)M(,1,)處的切線及法平面方程解：因?yàn)?1-cost,,1,=sint,=而點(diǎn)M()所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=點(diǎn)M的切向量={1,1,}故點(diǎn)M處的切線方程為點(diǎn)M處法平面方程為:x+y+z=6.求曲面在點(diǎn)(2,1,0)處的切平面方程及法線方程解：令F(x,y,z)=則故因此:點(diǎn)(2,1,0)處的切平面方程為x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0點(diǎn)(2,1,0)處的法線方程為7.已知z=ysin(x+y),求全微分dz及梯度gradz解：，故：dz=[ycos(x+y)]dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dygradz=(ycos(x+y),sin(x+y)+ycos(x+y))8.設(shè)直線在平面上，而平面與曲面相切于點(diǎn)M(1,-2,5),求a,b之值解：點(diǎn)M處曲面的法向量n={2x,2y,-1}點(diǎn)M處切平面方程為2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0即:2x-4y-z-5=0,此即平面之方程由直線可得y=-x-b,z=x-a(x+b)-3代入得:(5+a)x+4b+ab-2=0={2,-4,-1}解得:a=-5,b=-29.設(shè)函數(shù)z=f(u,v),則u,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，其中u=3x+2y,v=，求解：==10.是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，說明理由。解：不存在。。。11.求u關(guān)于x,y,z的一階偏導(dǎo)數(shù)：解：。12、說明函數(shù)在何時(shí)取得極值，并求出該極值：解：函數(shù)定義域。因?yàn)?，故時(shí)極??；無極大。解方程組，可知函數(shù)駐點(diǎn)分布在直線上。對(duì)于此直線上的點(diǎn)都有。但是恒成立。所以函數(shù)在直線上的各點(diǎn)取得極小值。13.解：而=，。故原式=14.求u的一階全微分：解：15、求函數(shù)在點(diǎn)M（1，2，-2）沿曲線在此點(diǎn)的切線方向上的方向?qū)?shù)。解：，，。在點(diǎn)（1，2，-2）它們的值分別是曲線在該點(diǎn)切線方向余弦為。方向?qū)?shù)為16.解：==a17.求由下式?jīng)Q定的隱函數(shù)z關(guān)于x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)：解：等式兩端對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得。故。利用對(duì)稱性可得18.用拉格朗日法求條件極值：解：設(shè)，解方程組可得。由于當(dāng)或時(shí)都有。故函數(shù)只能在有限處取得極小值（最?。┲担寒?dāng)時(shí)，函數(shù)取得極?。ㄗ钚。┲?9.求極限解：原式20.設(shè)，求.解：.21.求拋物面到平面的最近距離。解：設(shè)在上，到的距離為，則記，令解得：.所以22.求曲面解：曲面上與平面平行的切平面方程。的切平面的法向量為，平面要使的法向量為切平面與平面平行，必有，即解之得，因此為從而求.23．函數(shù).解：因?yàn)樗?4．設(shè)函數(shù)由方程確定，求。解：(方法一)令則，因此.(方法二)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，并注意是的函數(shù)，得解得.25．如何將已知正數(shù)分成兩個(gè)正數(shù)之和，使得為最大，其中、是已知的正數(shù)。解：由拉格朗日乘數(shù)法，令由解得駐點(diǎn).又由題意當(dāng)點(diǎn)趨于邊界或時(shí)，目標(biāo)函數(shù)趨于零，所以連續(xù)函數(shù)在駐點(diǎn)取最大值。因此當(dāng)26．設(shè)解：時(shí)，的值最大，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求27．求曲線在對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的切線及法平面方程。解：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；又參數(shù)方程的切線方向向量為：，故切線方程為，或.而法平面方程為28.求函數(shù).在點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值和最小值。解：在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)為：令則的夾角。要使當(dāng)取最大值，則時(shí)，，即，也就是同向時(shí)，取最大值，即：取最大值同理，要使值，即：當(dāng)取最小值，則，即，也就是反向時(shí)，取最小時(shí)，取最小值29.設(shè)函數(shù)，求，．解：設(shè)，，那么，，，故=+=+30.設(shè)是由所確定的隱函數(shù)，求它在點(diǎn)（1，2，-1）處的偏導(dǎo)數(shù)的值。31.斜邊長(zhǎng)為m的所有直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形直角邊的邊長(zhǎng)．解：設(shè)兩條直角邊的邊長(zhǎng)為x，y，周長(zhǎng)為S，則（1分）并滿足．由（2分）令（3分）解得因?yàn)樗兄苯侨切蔚闹苯琼旤c(diǎn)位于直徑為的半圓周上，最小周長(zhǎng)不存在，從而實(shí)際問題只有最大值，此時(shí)有最大周長(zhǎng)的直角三角形的邊長(zhǎng)均是。32.．設(shè)，而,,求,==（3分）==33.．設(shè)可微，求。34．求曲面在點(diǎn)處的切平面與法線的方程.則,,（3分）（2分）切平面方程為法線方程為即（2分）35.將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)之和，使得為最大.（8分）解：令，則（3分）解得唯一駐點(diǎn)（4分），故最大值為36、已知z=arctan，求。解：37.設(shè),求，38.已知z=arctan，求。解：39、設(shè)z=x2lny，而x=，y=3u-2v，求。解：40．將正數(shù)a分成三個(gè)正數(shù)之和，使