2022-2023學年福建福州外國語學校高一年級上冊學期階段性測試數(shù)學試題【含答案】

2022—2023學年第一學期階段性測試（高一數(shù)學）滿分：150一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先進行并集運算，然后進行補集運算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2.已知弧長為的弧所對的圓心角為，則該弧所在的扇形面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得扇形的半徑，由此求得扇形面積.【詳解】依題意，扇形的半徑為，所以扇形面積為.故選：B3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、的單調(diào)性，可以得到，可得到大小關(guān)系【詳解】，，，則，所以，故選：B4.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在性定理判斷即可．【詳解】，，，故零點所在區(qū)間為故選：B5.設(shè)，且，則的最小值為（）A.4 B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換求目標式的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由，當且僅當時等號成立.故選：C6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性定義判斷對稱性，再根據(jù)解析式判斷、上的符號，即可確定大致圖象.【詳解】由題設(shè)，且定義域為R，即為奇函數(shù)，排除C，D；當時恒成立；，故當時，當時；所以，時，時，排除B；故選：A.7.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用對數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性列式求解作答.【詳解】函數(shù)中，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因此，，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：D8.已知函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由在區(qū)間上單調(diào)遞減，分類討論，，三種情況，根據(jù)零點個數(shù)求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且方程的兩根為.若時，由解得或，滿足題意.若時，，，當時，，即函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點，因為函數(shù)恰有2個零點，所以且.當時，，，此時函數(shù)有兩個零點，滿足題意.綜上，故選：D二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】先求函數(shù)的定義域，再判斷與的關(guān)系即可求解【詳解】對A，函數(shù)的定義域為R,關(guān)于（0,0）對稱，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意；對B，函數(shù)的定義域為R,關(guān)于（0,0）對稱，且，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對C,函數(shù)的定義域為R,關(guān)于（0,0）對稱，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意；對D,函數(shù)定義域為，不關(guān)于（0,0）對稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；故選：AC10.下列命題是真命題是（）A.B.“”是“”成立的充要條件C.命題“”的否定是“”D.若冪函數(shù)經(jīng)過點，則【答案】CD【解析】【分析】A根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)判斷；B根據(jù)充要條件概念判斷；C根據(jù)特稱命題的否定定義判斷；D函數(shù)冪函數(shù)性質(zhì)判斷.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：由，不能得到，故“”是“”成立的充分不必要條件，故B錯誤；對于C：因為“”的否定是“”，故C正確；對于D：因為冪函數(shù)經(jīng)過點，所以，即，即，故，故D正確.故選：CD【點睛】命題的否定與否命題：否定為條件不變，結(jié)論否定；其中含量詞的命題的否定為量詞轉(zhuǎn)變，結(jié)論否定；否命題為條件與結(jié)論都要改變.11.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時， B.函數(shù)的值域是C.函數(shù)有兩個零點 D.不等式的解集是【答案】ABD【解析】【分析】依題意作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可判斷各選項．【詳解】因為是奇函數(shù)，故，且當時，，故函數(shù)有三個零點C錯誤，當時，，，故A正確，如圖所示易得D正確，由圖可得，則函數(shù)的值域是，故B正確.故選：ABD12.設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).令，以下結(jié)論正確的是（）A. B.為偶函數(shù)C.最小正周期為 D.的值域為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義逐項檢驗即可，對于A，直接求解即可，對于B，取，檢驗可得反例，對于C，直接求解即可；對于D，要求的值域，只需求時的值域即可.【詳解】對于A，，故A正確.對于B，取，則，而，故，所以函數(shù)不為偶函數(shù)，故B錯誤.對于C，則，故C正確.對于D，由C的判斷可知，為周期函數(shù)，且周期為，要求的值域，只需求時的值域即可.當時，則，當時，，故當時，則有，故函數(shù)的值域為，故D錯誤.故選：AC．三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.命題“，”的否定是______．【答案】.【解析】【分析】全稱命題的否定：將任意改為存在并否定原結(jié)論，即可知原命題的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，所以原命題的否定：.故答案為：.14.若角的終邊經(jīng)過點，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義求得，再由誘導公式可求解.【詳解】角的終邊經(jīng)過點,則，所以.故答案為：.15.函數(shù)是冪函數(shù)，且當時，是減函數(shù)，則實數(shù)=_______．【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判斷m是否滿足冪函數(shù)當x∈（0，+∞）時為減函數(shù)即可．【詳解】解：∵冪函數(shù)，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x∈（0，+∞）時，f（x）為減函數(shù)，∴當m=2時，m2+m﹣3=3，冪函數(shù)為y=x3，不滿足題意；當m=﹣1時，m2+m﹣3=0，冪函數(shù)為y=x﹣3，滿足題意；綜上，m=﹣1，故答案為﹣1【點睛】本題考查了冪函數(shù)的定義與圖像性質(zhì)的應用問題，解題的關(guān)鍵是求出符合題意的m值．16.設(shè)函數(shù)的定義域為，若函數(shù)滿足條件：存在，使在上的值域是，則稱為“倍縮函數(shù)”．若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，求出t的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，即滿足存在，使在上的值域是，由復合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)在上是增函數(shù)所以，則，即所以方程有兩個不等的實根，令，則，所以方程變?yōu)椋?則，解得所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）結(jié)合指數(shù)的運算化簡計算即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合對數(shù)的運算化簡計算即可求出結(jié)果；【小問1詳解】【小問2詳解】18.已知函數(shù)的定義域為A，集合.（1）求集合A；（2）若全集，，求；（3）若是的充分條件，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，得到集合A；（2）代入集合B，再按補集交集的定義運算；（3）依題意有，按和兩個類型討論，解出a的取值范圍.【小問1詳解】，函數(shù)有意義，則，解得，函數(shù)的定義域為，∴.【小問2詳解】時，，全集，或，∴或.【小問3詳解】若是的充分條件，則有，當時，有，解得，符合題意；當時，由，則有，解得，綜上可知，a的取值范圍為.19.已知.（1）化簡，并求的值；（2）若，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)誘導公式將化簡，將代入求值即可；（2）利用將變形為，繼而變形為，代入求值即可.【小問1詳解】則【小問2詳解】由（1）知，．則20.已知一次函數(shù).（1）求解不等式：；（2）若在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分式不等式的解法即可的解；（2）要使在上恒成立，只需即可，令，，求出函數(shù)即可的解.【小問1詳解】解：不等式，即，解得或，所以不等式的解集為；小問2詳解】解：要使在上恒成立，只需即可，令，，由函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)在上遞增，所以，所以，解得，所以在上恒成立，實數(shù)m的取值范圍為.21.某電子公司生產(chǎn)某種智能手環(huán)，其固定成本為2萬元，每生產(chǎn)一個智能手環(huán)需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于日產(chǎn)量x（單位：個）滿足函數(shù)：.（1）將利潤（單位：元）表示成日產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）當日產(chǎn)量x為何值時，該電子公司每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？（利潤＋總成本＝總收入）【答案】（1）（2）當月產(chǎn)量為300臺時，公司獲得月利潤最大，其值為25000元【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤為總收入減去總成本，即可得到利潤的解析式；（2）結(jié)合（1）中的解析式，分討討論的取值范圍，結(jié)合配方法與一次函數(shù)的單調(diào)性，求得的最值，同時得到相應的值.【小問1詳解】根據(jù)題意，當時，，當時，，所以.【小問2詳解】當時，，所以當時，；當時，易知是減函數(shù)，所以；綜上：當時，，所以，當月產(chǎn)量為300臺時，公司獲得月利潤最大，其值為25000元.22.已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求a，b的值．（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明．（3）當時，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1），．（2）在上為減函數(shù)，證明見解析．（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，由，，建立方程，結(jié)合奇函數(shù)定義，可得答案；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，利用作差法進行證明，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得